Области от първи тип в три измерения

В това видео и следващите няколко искам да разгледаме различните видове области в три измерения. Това ще бъде полезно за разглеждането на това как се изчисляват различни двойни и тройни интеграли и също така за някои интересни доказателства в анализа на функции на много променливи. Първият вид области, който е кръстен по подходящ начин, се нарича област от първи тип ( type 1 region). Първо ще дам официалното определение. Надявам се, че формалното определение ще ти се стори логично. После ще начертая няколко области от първи тип, след което ще ти покажа какво не може да е област от първи тип, защото понякога това е много важен въпрос. Област от първи тип, можем да я означим с R, е множеството – тези малки къдрави скобки означават множество – е множеството от всички стойности на х, на у и на z... Това е множеството от всички точки в три измерения, такива че х и у принадлежат на някакво дефиниционно множество, те са членове на – това означава този символ – членове са на някакво дефиниционно множество D, а стойността на z се променя между две функции от х и от у. Ще го запиша ето тук. Значи f1 от (х; у) е един вид долната граница на z. f1 е по-малко от или равно на z, а z е по-малко от или равно на друга функция от (х; у), z е по-малко от или равно на f2 от (х; у). Сега ще затворя къдравите скоби, за да покажа, че всичко това е множество. Това е множество от стойностите на х, у и z. По този начин дефинираме това множество. Как би изглеждала една типична област от първи тип? Една много проста област от първи тип е сферата. Ще начертая една сфера. Там където сферата се пресича от равнината ху – това тук всъщност е дефиниционното множество D. Ще го направя със синьо. Ще се постарая максимално да начертая дефиниционното множество – това е множеството на входящите стойности за една сфера. Центърът на тази сфера е в началото на координатната система, но логиката е същата, когато центърът е във всяка друга точка. Това е дефиниционното множество. Тогава f1 от (х;у), което е долната граница на z, е долната половина на сферата. Това не се вижда добре тук, но това е – тези контури ето тук са в долната половина. Даже мога да оцветя тази част тук. Долната повърхнина на нашата сфера е f1 от (х;у), а f2 от (х;у), както се досещаш, ще бъде горната половина на сферата, горната полусфера. Изглежда по този начин. Това, което чертая тук, определено е област от първи тип. Както ще видиш, това може да е област от първи тип, от втори тип, или може да е област от трети тип. Но това определено е област от първи тип. Друг пример на област от първи тип – това даже е още по-очевидно. Ще начертая отново осите на координатната система, и ще начертая някакъв цилиндър. Само искам да поясня, че нашето дефиниционно множество, равнината ху не е задължително да принадлежи на нашата област – да си представим цилиндър, който е под – всъщност ще го начертая над – цилиндърът е над равнината ху. Значи това е дъното на цилиндъра. То е ето тук. Повтарям, че не е задължително да е центриран около оста z. Правя го по този начин само за това видео. Всъщност бих могъл да го начертая и малко по-добре. Това е долната повърхнина на нашия цилиндър, а после горната повърхнина на цилиндъра може да е ето тук. Те дори не е задължително да са плоски. Могат да са извити по някакъв начин. В този случай, за този цилиндър – ще го начертая малко по-прилежно. За този цилиндър ето тук дефиниционното множество са всички стойности, които може да приемат х и у. Значи нашето дефиниционно множество ще бъде тази област ето тук в равнината ху. След това за всяка двойка (х; у) – f1 от (х;у) определя долната граница на областта. Значи f1 от (х; у) е ето това тук. Даваш ми някакви двойки (х; у) в това дефиниционно множество D и аз изчислявам функцията за тези точки и това ще съответства на тази повърхнина ето тук. После f2 от (х; у) – отново, даваш ми двойки (х; у) в дефиниционното множество, и аз изчислявам стойността на f2 за тези точки, което ще ни даде тази повърхнина ето тук. Казваме, че z приема всички стойности между тях, така че това всъщност е това цялото тяло – целият обем на това тяло. По същия начин тук z може да приеме всяка стойност между тази цикламена повърхнина и тази зелена повърхнина. Така ще се запълни целият обем, така че това е тримерна област. Сега може би се чудиш кои области не са от първи тип. Да помислим върху това. Това ще бъдат области, които не дефинираме по този начин. Ще се постарая максимално да го начертая. Представи си фигура, която прави нещо изчанчено като това. Тук има една голяма – можем да си го представим като страничен изглед на дъмбел. Страничен изглед на дъмбел– може би трябва малко да го заобля. Това е горният край на дъмбела – или на пясъчния часовник, или на дъмбела. Изглежда приблизително така. Старая се максимално с чертежа. Ще изглежда приблизително така. Причината защо това не може да се дефинира по този начин – това става очевидно, ако разгледаме едно напречно сечение. Няма начин да дефинираме две функции, които да са долна граница и горна граница по отношение на z. Дори ако кажеш, че може би дефиниционното множество включва всички стойности на х и у, които са допустими... да видим колко добре ще се справя с чертежа. Ако кажеш, че стойностите на х и на у – ще се опитам да начертая цялото нещо малко по-добре. Можеш да кажеш, че за нещо като този дъмбел... Ще почистя тази част ето тук. За нещо като този дъмбел – ще изтрия тази част тук. Значи за един подобен дъмбел, може би дефиниционното множество е ето тук. Това са всички стойности на х и у, които са допустими. Но за да се получи формата на дъмбел, за всяка двойка (х; у) z ще приема – няма да има само горна и долна граница, а z да приема всички стойности между тези две граници. Само да го начертая по-добре. Значи нашият дъмбел може би е центриран около оста z. Това е средата на дъмбела, а после отива насам по този начин. След това тук горе, оста z... изглежда по този начин. След това отива под равнината ху, и прави нещо подобно. Отива под равнината ху и изглежда по този начин. Обърни внимание, че за всяка дадена двойка (х; у) това ще е – ако искаме да бъде област от първи тип, трябва да кажем, че това тук е горната повърхнина. Можем да кажем, че това е долната страна. Но обърни внимание, че z не може да приема всички междинни стойности. Един вид трябва да прекъснем това, ако искаме да получим нещо подобно на това. Трябва да разделим това на две отделни области, като това ще бъде долната област, а това тук ще бъде горната област. Значи това тяло с форма на дъмбел не е област от първи тип, но можем да го разделим на две отделни области от първи тип. Надявам се, че това ти е полезно. Всъщност друг начин да го разглеждаме, може би по-лесен начин – ако гледаме от тази посока, и ако разглеждаме само по отношение на z, у, ако разглеждаме само това какво се случва в равнината zy – това тук е z, това тук е у – тогава нашето тяло с форма на дъмбел ще изглежда по този начин – максимално се старая да начертая тази форма на дъмбел. Ако вземем някаква двойка (х; у), може би х даже да е нула, и ако се намираме ето тук върху оста у, обърни внимание, че z не е функция само от у. Тук в горната част има две възможни стойности на z, които то приема за дадена стойност на у – има две възможни стойности на z за дадено у. Така че не можем да дефинираме това само чрез функция за долната граница и функция за горната граница.