Доказателство на теоремата на Стокс - част 6

Прекъснах предишното видео, когато бях изразил криволинейния интеграл по контура на повърхнината чрез dt, в дефиниционното множество на dt. Изразихме на какво е равно скаларното произведение на F и dr. В това видео ще направим още малко алгебрични преобразувания, а после ще приложим теоремата на Грийн. В зависимост от това дали ще ни стигне времето, после ще преобразуваме, за да покажем, че това е съвсем същото нещо като това, което видяхме по-рано, когато изразихме повърхностния интеграл. Да започваме. Този интеграл тук е същото нещо като интеграл от а до b... Сега ще групирам тези неща, които са умножени по dx, dt. Ако ги групирам и после изнеса пред скоби dx, dt, така че ако взема тази част тук и тази част ето тук, (огражда ги) по същество ще разкрия скобите и ще умножа по R. Искам да поясня. Ще разкрия скобите и ще умножа по R. Също така ще групирам това и това ето тук, ще ми остане... и после ще изнеса пред скоби dx,dt. Ще ми остане Р плюс R по частната производна на z относно х, по dx,dt. Ще направя същото нещо за членовете с dy, dt. Това е тази част ето тук. След това ще умножа R по това нещо ето тук. Значи това става плюс Q, плюс R, по – разкривам скобите и умножавам по R – по частната производна на z относно у. Ще изнеса пред скоби dy, dt. После не трябва да забравяме, че всичко това е умножено по dt. Сега това е интересно, понеже започва да прилича много на това, което имаме тук горе, където имаме просто нашето теоретично векторно поле. (посочва с курсора) Всъщност ще копирам това и ще го поставя. Само че не знам дали съм в подходящия слой на моята работа. Ще копирам и ще поставя. Не, така не се получава. Ще опитам още веднъж. Ще опитам да копирам, като отида с един слой по-назад. Аз използвам програма за илюстрации за този урок. Копирам – сега мисля, че проработи – и поставям. Готово. Това е резултатът, който получихме преди. Това е един вид шаблона за сравнение. Но какво се случва тук, ако просто сравним с нашия шаблон? Виждаме, че това е в дефиниционното множество за t. Интегрираме относно t ето тук. Но тогава получаваме тези неща. Имаме някаква функция, която е функция от х и от у, по dx, dt, а после друга функция, която е функция от х и от у, по dy, dt, и интегрираме относно t. Това е точно същото като това, което правим ето тук. Можем да разкрием скобите и да умножим по dt, и получаваме нещо, което изглежда като това ето тук, където М е аналогично на тази част ето тук. (посочва с курсора) Искам да поясня. М – тази част ето тук изглежда като М от шаблона ето тук. Това е умножено по dx, dt, а после това dt, когато разкрием скобите и умножим, тогава тази част ето тук изглежда като N. Така че, можем да кажем, че получихме нещо, което прилича на това. Можем да преработим това по този начин и да се върнем... един вид да обърнем параметризацията наобратно. Значи това ще е равно сега на криволинеен интеграл по 'c1'. Намираме се в равнината ху. Започнахме с контура 'c', но сега сме при контура 'c1'. Това е съвсем аналогично. Това са функции само на х и на у. Всичко това тук е така. Сега това е криволинеен интеграл по контура 'c1' – даже мога да го напиша ето така – интеграл от M, dx, което е логично. Защото ако умножим dt по dx, dt, dt се съкращават, и ни остава само dx. Значи М по dx – ще го напиша по следния начин. Това е равно на Р плюс R по частната производна на z относно х, dx, плюс N... Ще се преместя малко надясно. Плюс N, което е равно на Q плюс R, по частната производна на z относно у, dy. Това сега е наистина интересно, защото тази част, която сега разглеждаме, е напълно аналогична. Надявам се, че не мислиш, че правя някакви вуду магии. Това твърдение е напълно аналогично на това твърдение, където М е ето това, а N е ето това. Така че ние можем да се върнем обратно сега към контура 'c1', който лежи в равнината ху. Това не е оригиналният контур 'c', а сега разглеждаме само контура в равнината ху. Значи това се превръща в това. Но това, което е много важно, когато стигнем до този етап, е, че можем да приложим теоремата на Грийн към този интеграл, за да го превърнем в двоен интеграл по тази област, която е оградена от този контур, оригиналната област, тази област R. Когато променим това, когато си поиграем с него, ще видим, че ще получим съвсем същия резултат, като в предишните видеа. Спирам до тук. Ще видим ще успея ли да го направя в следващото видео.