Основно съдържание

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 5

Урок 6: Теорема на Стокс (статии)

Теорема на Стокс

Тази теорема е аналог на теоремата на Грийн за три измерения, като дава връзката между повърхностния интеграл от ротацията на едно векторно поле и криволинейния интеграл по контура на повърхнината.

Преговор

Незадължителни теми, но необходими за по-добро разбиране:

Формална дефиниция на ротация в три измерения

Тази статия цели да разкрие физическия смисъл

Примери за използването на теоремата на Стокс можеш да видиш в следната статия. В настоящата статия целта ни е да разкрием смисъла на теоремата и нейната логика.

Основни идеи

Теоремата на Стокс е версия на теоремата на Грийн в три измерения.

Тя дава връзката между повърхностния интеграл от ротацията на едно векторно поле и криволинейния интеграл на същото векторно поле по контура на повърхнината:

$\overset{\begin{matrix} Повърхностен интеграл от \\ ротацията на векторното поле \end{matrix}}{\overset{⏞}{\underset{S е повърхнина в три измерения}{\underset{⏟}{\iint_{S}}} (rot F \cdot \hat{n}) d Σ}} = \underset{\begin{matrix} Криволинеен интеграл по \\ границата на повърхнината \end{matrix}}{\underset{⏟}{\int_{C} F \cdot d r}}$ ‍
$F (x; y; z)$ ‍ е тримерно векторно поле.
$rot F$ ‍ означава същото като $\nabla \times F$ ‍. Това е тримерната ротация на векторното поле $F$ ‍.
$S$ ‍ е тримерна повърхнина.
$\hat{n}$ ‍ е функция, чиито изходни стойности са единичните нормални вектори към повърхнината $S$ ‍.
$C$ ‍ е границата на повърхнината $S$ ‍
Ориентацията на $C$ ‍ се определя с помощта на правилото на дясната ръка, което означава, че ако насочим палеца на дясната си ръка по посока на единичния нормален вектор $\hat{n}$ ‍ близо до ръба на повърхнината $S$ ‍ и свием пръстите си, посоката, в която сочат пръстите, е посоката на интегриране по контура $C$ ‍.

Тълкуване на криволинейния интеграл в три измерения

F (x; y; z)

е тримерно векторно поле.

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Можем да си представим това векторно поле като съставено от векторите на скоростта на някакъв газ, който се движи в пространството.

C

е някакъв затворен контур вътре в това векторно поле.

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Как можем да интерпретираме криволинейния интеграл от

F

по контура

C

$\oint_{C} F \cdot d r$ ‍

Този интеграл има смисъл само когато отчитаме ориентацията на контура. Диференциалният вектор

d r

представлява малка стъпка по протежение на контура, но в каква посока е тази стъпка? Когато измеренията са три, не можем да кажем просто "по часовниковата стрелка" или "обратно на часовниковата стрелка", защото зависи в коя точка на пространството се намираме, когато разглеждаме кривата. По-долу ще видим как ориентацията се определя математически, но засега е по-лесно просто да приемем някаква ориентация:

Представи си, че си птица, която лети в пространството по протежение на контура

C

, а вятърът духа в съответствие с векторното поле

F

. (В анимацията ти си птица с форма на сфера :)).

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Представи си всяка стъпка (мах на крилете?) от твоето движение по протежение на

C

като един малък вектор

d r

. Да разгледаме скаларното произведение на

d r

и на вектора на скоростта на вятъра от векторното поле

F

, където се намираш. Скаларното произведение ще е положително, когато вятърът ти помага, и отрицателно, когато духа срещу теб.

Сега да разгледаме криволинейния интеграл, който ни интересува:

$\oint_{C} F \cdot d r$ ‍

Можеш да си го представиш като сума на това доколко вятърът ти помага или ти пречи по време на полета. Той измерва тенденцията на флуидния поток да циркулира около контура $C$ ‍. Ако е положителен, значи вятърът помага и можем да кажем, че той циркулира около

C

в посоката на твоята ориентация. Ако е отрицателен, можем да кажем, че вятърът по-скоро циркулира в обратната посока.

Раздробяване на парчета на повърхнината

Ако си прочел/а статията за теоремата на Грийн, това ще ти се стори много познато.

Да разгледаме произволна повърхнина

S

в пространството, чиято граница е

C

, като си представи, че

C

е една метална примка, която е потопена в сапунен разтвор и

S

е сапунената мембрана, която ще се превърне в сапунен мехур.

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Да срежем повърхнината на две части и ги означим като

C_{1}

C_{2}

. Ако и двете запазят първоначалната ориентация на

C

, криволинейните интеграли (върху същото векторно поле

F

) по всеки от тези по-малки контури се компенсират в частта, където е направено срязването:

Частите от контурите

C_{1}

C_{2}

, които остават, образуват заедно първоначалната граница

C

. Следователно сумата на криволинейните интеграли върху по-малките части е равна на криволинейния интеграл по целия контур

C

$\underset{унищожават се по протежение на сечението на S}{\underset{⏟}{\oint_{C_{1}} F \cdot d r + \oint_{C_{2}} F \cdot d r}} = \oint_{C} F \cdot d r$ ‍

По-общо погледнато, си представи, че срязваме повърхнината

S

на голям брой малки парченца, като означаваме техните граници с

C_{1}, \dots, C_{n}

, и ги ориентираме по същия начин като

C

. Понеже в три измерения чертежа ще стане твърде претрупан, ще използвам изображението, което видяхме в статията за теоремата на Грийн, което е в две измерения, но по същество логиката е същата.

Криволинейните интеграли по протежение на тези малки затворени контури в частите, където са срязванията на

C

се унищожават, и остава само нещо, което е равно на криволинейния интеграл по целия контур

C

$\underset{Компенсират се по протежение на срязването на S}{\underset{⏟}{\sum_{k = 1}^{n} \oint_{C_{k}} F \cdot d r}} = \oint_{C} F \cdot d r$ ‍

Ротацията за всяко парче

Причината да раздробим повърхнината

S

по този начин е, че криволинейният интеграл около един много малък контур може да се апроксимира чрез ротацията. По-конкретно, нека да разгледаме под лупа едно от тези парченца. Ако то е достатъчно малко, можем да си представим, че то е плоско по същество.

Означаваме контура на това парченце като $‘ ‘ C_{k} "$ ‍.
Избираме някаква точка $(x_{k}; y_{k}; z_{k})$ ‍ върху повърхнината вътре в това парченце.
$\hat{n}$ ‍е единичният нормален вектор към повърхнината в точка $(x_{k}; y_{k}; z_{k})$ ‍. Може би ще попиташ: "Каква е неговата посока?" Свий пръстите на дясната си ръка по посока на контура $C_{k}$ ‍. Изправи палеца си и посоката, в която сочи той, е посоката на вектор $\hat{n}$ ‍.
Нека $d Σ$ ‍ да представлява площта на това малко парченце (по аналогия с използването на една безкрайно малка площ при повърхностния интеграл).

Тогава криволинейният интеграл от

F

по контура

C_{k}

може да се апроксимира по следния начин:

$\underset{\begin{matrix} Интеграл по \\ по контура на парчето \end{matrix}}{\underset{⏟}{\oint_{C_{k}} F \cdot d r}} \approx \overset{Компонент на ротацията, перпендикулярен на парчето}{\overset{⏞}{((rot F (x_{k}; y_{k}; z_{k})) \cdot \hat{n})}} \underset{Площ на парчето}{\underset{⏟}{d Σ}}$ ‍

Ако чувстваш известна несигурност относно това какво представлява ротацията или как един вектор може да представя ротацията, можеш да прегледаш отново тази статия за ротацията.

Ето как обосноваваме логически тази апроксимация:

rot F (x_{k}; y_{k}; z_{k})

е вектор, който показва как флуидът, който се движи във векторното поле

F

, се завърта около точката

(x_{k}; y_{k}; z_{k})

. Например, ако си представиш малка топка за тенис, която се движи в пространството, като центърът ѝ е в точката

(x_{k}; y_{k}; z_{k})

, векторът

rot F (x_{k}; y_{k}; z_{k})

показва как се върти топката под въздействие на вятъра, който духа наоколо. Това означава, че векторът е насочен по протежение на оста на въртене, а големината му е пропорционална на скоростта на въртене.

Скаларното произведение на този вектор на ротацията и вектор

\hat{n}

, който е единичният нормален вектор към повърхнината, това използва компонента на вектора на ротацията, който е перпендикулярен на повърхнината. Това описва скоростта на ротация на флуида в самата повърхнина. От друга страна, ротацията на флуида в това малко парченце се описва също така с криволинеен интеграл по границата на това малко парченце:

\oint_{C_{k}} F \cdot d r

Този интеграл е равен на много малко число (тъй като

C_{k}

е много къса част от контура), но

rot F (x_{k}; y_{k}; z_{k})

дава число, което не зависи от размера на парченцето, което съдържа точката

(x_{k}; y_{k}; z_{k})

. Ето защо на практика ние мащабираме, т.е. смаляваме съответния компонент на ротацията, като коефициентът на мащабиране е площта на малкото парченце.

$\underset{\begin{matrix} Интеграл по \\ по контура на парчето \end{matrix}}{\underset{⏟}{\oint_{C_{k}} F \cdot d r}} \approx \overset{Компонент на ротацията, перпендикулярен на парчето}{\overset{⏞}{((rot F (x_{k}; y_{k}; z_{k})) \cdot \hat{n})}} \underset{Площ на парчето}{\underset{⏟}{d Σ}}$ ‍

(За да вникнеш задълбочено в тази апроксимация, виж формалната дефиниция на ротацията в три измерения.)

Повърхностен интеграл от ротацията

Като комбинираме идеите от последните две точки, получаваме:

$\begin{aligned} \underset{\begin{array}{c} Интеграл по контура \\ на цялата повърхнина \end{array}}{\underset{⏟}{\oint_{C} F \cdot d r}} \\ ↓ \\ \underset{Сума от интегралите по контурите на парченцата}{\underset{⏟}{\sum_{k = 1}^{n} \oint_{C_{k}} F \cdot d r}} \\ ↓ \\ \underset{Ротационна апроксимация върху всяко парченце}{\underset{⏟}{\sum_{k = 1}^{n} rot F (x_{k}; y_{k}; z_{k}) \cdot \hat{n} d Σ}} \end{aligned}$ ‍

Колкото на по-дребни парченца раздробяваме, последната сума клони към стойността на повърхностния интеграл от

(rot F \cdot \hat{n})

върху повърхнината

S

. (Ако това е непознато за теб, прегледай статията за повърхностни интеграли).

$\begin{aligned} \sum_{k = 1}^{n} rot F (x_{k}; y_{k}; z_{k}) \cdot \hat{n} d Σ \\ ↓ Когато раздробяваме S на все по-малки парченца \\ \iint_{S} rot F \cdot \hat{n} d Σ \end{aligned}$ ‍

Като обобщим всичко дотук, получаваме следното удивително равенство, познато като теорема на Стокс:

$\begin{array}{r} \oint_{C} F \cdot d r = \iint_{S} rot F \cdot \hat{n} d Σ \end{array}$ ‍

Може би ще възразиш, че започнахме с апроксимация на криволинейния интеграл върху всяко парченце, а сега правим извод, който е равенство, което не съдържа апроксимация. Имаш право!

В статията за теоремата на Грийн, където използваме почти същата логика, само че за две измерения, направихме няколко уточнения по въпроса как изчезва апроксимацията. Ако ти е любопитно, ти препоръчвам да приложиш същите разсъждения към теоремата на Стокс и повърхностните интеграли.

Това упражнение ще ти бъде още по-полезно, ако познаваш добре формалното определение за ротацията в три измерения.

Определяне на ориентацията

Ориентацията на повърхнините се определя от посоката на техните единични нормални вектори. Например често ще срещаш повърхнини, ориентирани чрез насочени навън единични нормални вектори (макар че не за всички повърхнини е указано дали единичните нормални вектори са насочени навън, или навътре).

Ориентацията на кривите се определя от избраната посока на техните допирателни вектори.

За да можем да използваме теоремата на Стокс, ориентацията на повърхнината и нейния контур трябва "да са в съответствие". В противен случай равенството трябва да се мащабира с коефициент

- 1

. Съществуват няколко начина да опишем това съответствие, като всички те описват едно и също нещо:

Когато гледаш към повърхнината по такъв начин, че всички единични нормални вектори сочат към теб, тогава контурът е с посока, обратна на часовниковата стрелка.
Ориентацията на кривата трябва да е в унисон с правилото на дясната ръка. Това означава, че когато насочиш палеца на дясната си ръка по посока на единичен нормален вектор в близост до ръба на повърхнината, посоката, в която сочат свитите ти пръсти, е посоката, в която контурът съответства на ориентацията на повърхнината.
Когато се движиш по граничния контур и тялото ти е обърнато в посоката на единичния нормален вектор, трябва да се движиш по такъв начин, че повърхнината да бъде винаги вляво от теб.

Сапунени балончета

Ето едно много интересно твърдение, свързано с теоремата на Стокс: Самата повърхнина няма значение, има значение нейната граница.

Представи си, например, един затворен контур в пространството и всички възможни повърхнини, на които той може да бъде граница; всички различни сапунени балончета, които могат се получат от този един единствен контур:

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

За произволно векторно поле

F (x; y; z)

повърхностният интеграл

\iint_{S} rot F \cdot \hat{n} d Σ

ще бъде един и същ за всички тези повърхнини. Не е ли удивително! Тези повърхностни интеграли сумират напълно различни стойности в най-различни точки в пространството, а винаги са еднакви, защото имат обща граница.

Това показва колко специални са ротационните векторни полета, понеже при повечето векторни полета повърхностните интеграли изцяло зависят от конкретната повърхнина. Ако си учил/а за потенциални векторни полета, това е аналогично на независимостта от контура и начинът, по който това показва колко специални са градиентните векторни полета.

Какво се случва, когато няма граница?

Ако имаш затворена повърхнина, например нещо като сфера или тор, тогава не съществува граница. Това означава, че "криволинейният интеграл по границата" е нула и теоремата на Стокс изглежда по следния начин:

$\begin{array}{r} \iint_{S} rot F \cdot \hat{n} d Σ = 0 \end{array}$ ‍

Ако отново си представиш, че раздробяваме повърхнината, за да получим криволинейни интеграли върху голям брой малки парченца, това означава, че всички тези интеграли се компенсират и накрая не остава нищо.

Обобщение

Теоремата на Стокс е версия на теоремата на Грийн в три измерения.

$\overset{\begin{matrix} Повърхностен интеграл от \\ ротационно векторно поле \end{matrix}}{\overset{⏞}{\underset{S е тримерна повърхнина}{\underset{⏟}{\iint_{S}}} (rot F \cdot \hat{n}) d Σ}} = \underset{\begin{matrix} Криволинеен интеграл по \\ границата на повърхнина \end{matrix}}{\underset{⏟}{\int_{C} F \cdot d r}}$ ‍

Криволинейният интеграл $\int_{C} F \cdot d r$ ‍ ни казва в каква степен флуидът, който се движи във векторното поле $F$ ‍ се завърта около границата $C$ ‍ на повърхнината $S$ ‍.
Повърхностният интеграл отляво може да се разглежда като събиране на всички ротации на малките парченца от повърхнината $S$ ‍. Векторът $rot F$ ‍ описва ротацията на флуида във всяка точка, а неговото скаларно произведение с единичния нормален вектор към повърхнината $\hat{n}$ ‍ дава компонента на ротацията на флуида, който се намира върху самата повърхнина.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.