Основно съдържание

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 4

Урок 14: Поток в три измерения (статии)

Единичен нормален вектор на повърхнина

Научи как може да се определи векторът, който е перпендикулярен, или както още казваме – нормален – към дадена повърхнина. Нужно е да можеш да изчисляваш поток в три измерения.

Преговор

Частни производни на параметрични повърхнини
- Увери се, че много добре познаваш частните производни на функция, която параметризира повърхнина и какво представлява тя.
Векторно произведение (видео)

Основни идеи

Ако една повърхнина е параметризирана с функцията $\vec{v} (t; s)$ ‍, единичният нормален вектор към тази повърхнина е следният:
$\begin{array}{r} \pm \frac{(\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} (t; s)) \times (\frac{\partial \vec{v}}{\partial s} (t; s))}{| (\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} (t; s)) \times (\frac{\partial \vec{v}}{\partial s} (t; s)) |} \end{array}$ ‍
Винаги съществуват две възможности за избор на функцията на единичния вектор. Ако дадената повърхнина е затворена, например нещо като тор или сфера, тогава тези варианти могат да се опишат като вектори, сочещи навън и навътре.
Това е удобно за идеята за поток в три измерения, който ще разгледаме в следващата статия.

Единичен нормален вектор

Нека е дадена някаква повърхнина

S

. Ако вектор в някаква точка от повърхнината

S

е перпендикулярен на

S

в тази точка, то той се нарича нормален вектор (към

S

в тази точка). Казано още по-точно, този вектор е перпендикулярен на допирателната равнина на

S

в тази точка, или е перпендикулярен на всички допирателни вектори на равнината

S

в тази точка.

Когато един нормален вектор е с дължина

1

, той се нарича единичен нормален вектор. Обърни внимание, че винаги съществува двойка единични нормални вектори, които имат точно противоположни посоки:

Защо е важно това за нас? За да изчисляваме повърхностни интеграли във векторно поле, известно още като тримерен поток, трябва да намерим израза за единичния нормален вектор към дадената повърхнина. Това е векторна функция на много променливи, която има тримерни аргументи (както съответната повърхнина), и чиито стойности са тримерни вектори.

Пример: Как изчисляваме единичния нормален вектор

Дадена е повърхнина, описана от следната параметрична функция:

$\begin{array}{r} \vec{v} (t; s) = [\begin{array}{c} t + 1 \\ s \\ s^{2} - t^{2} + 1 \end{array}] \end{array}$ ‍

В интервала, в който

- 2 \leq t \leq 2

- 2 \leq s \leq 2

, тази повърхнина изглежда по следния начин:

Предполагаме, че знаеш, че двете частни производни на една параметрична повърхнина дават вектори, които са допирателни към повърхнината, но имат различни посоки.

Стъпка 1: Намиране на нормалния вектор (не е задължително да е единичен)

Проверка на концепцията: Кое от следните предложения ни дава вектор, който е перпендикулярен на повърхнината, параметризирана от

\vec{v}

в точката

\vec{v} (1; - 2)

Избери един отговор:
(Избор А)
$\begin{array}{r} (\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} (1; - 2)) \times (\frac{\partial \vec{v}}{\partial s} (1; - 2)) \end{array}$ ‍
(Избор Б)
$\begin{array}{r} (\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} (1; - 2)) \cdot (\frac{\partial \vec{v}}{\partial s} (1; - 2)) \end{array}$ ‍
(Избор В)
$\begin{array}{r} (\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} (1; - 2)) + (\frac{\partial \vec{v}}{\partial s} (1; - 2)) \end{array}$ ‍

Първият отговор е верен:
$\begin{array}{r} (\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} (1; - 2)) \times (\frac{\partial \vec{v}}{\partial s} (1; - 2)) \end{array}$ ‍
Ако това не е ясно за теб, гледай отново видеото за векторно произведение.
Двете векторни частни производни, $\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} (1; - 2)$ ‍ и $\frac{\partial \vec{v}}{\partial s} (1; - 2)$ ‍, са допирателни към повърхнината в точката $\vec{v} (1; - 2)$ ‍. Тяхното векторно произведение ни дава вектор, който е перпендикулярен едновременно и на двата вектора, така че това е нормалният вектор към повърхнината в тази точка.

Това е един много сложен израз, който съдържа двете векторни частни производни и векторно произведение. Ако вече си изчислявал/а повърхностни интеграли, вероятно ти е познат този израз и колко трудно е неговото пресмятане.

Да повторим как се дефинира вектор

\vec{v} (t; s)

$\begin{array}{r} \vec{v} (t; s) = [\begin{array}{c} t + 1 \\ s \\ s^{2} - t^{2} + 1 \end{array}] \end{array}$ ‍

Проверка на концепцията: Сега да изчислим векторното произведение на частните производни на

\vec{v}

. Ще направим това за една произволна точка

(t; s)

, което означава, че компонентите на получения отговор ще бъдат функции от

t

и от

s

. Както описахме в предишната задача, това ще ни даде функция, описваща нормалните вектори към повърхнината.

$\begin{array}{r} (\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} (t; s)) \times (\frac{\partial \vec{v}}{\partial s} (t; s)) = \end{array}$ ‍
$\hat{i} +$ ‍
$\hat{j} +$ ‍
$\hat{k}$ ‍

Сега да изчислим частните производни. Първо да изчислим частната производна спрямо $t$ ‍:
$\begin{array}{r} \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} = [\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial t} (t + 1) \\ \frac{\partial}{\partial t} (s) \\ \frac{\partial}{\partial t} (s^{2} - t^{2} + 1) \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 t \end{array}] \end{array}$ ‍
След това изчисляваме частната производна спрямо $s$ ‍:
$\begin{array}{r} \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} = [\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial s} (t + 1) \\ \frac{\partial}{\partial s} (s) \\ \frac{\partial}{\partial s} (s^{2} - t^{2} + 1) \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 s \end{array}] \end{array}$ ‍
Сега да намерим векторното им произведение:
$\begin{aligned} [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 t \end{array}] \times [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 s \end{array}] & = det (\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 0 & - 2 t \\ 0 & 1 & 2 s \end{array}) \\ = (0 - (- 2 t)) \hat{i} + (0 - 2 s) \hat{j} + (1 - 0) \hat{k} \\ = 2 t \hat{i} + - 2 s \hat{j} + 1 \hat{k} \end{aligned}$ ‍
Ако го запишем като вектор с посока нагоре, получаваме:
$\begin{array}{r} [\begin{array}{c} 2 t \\ - 2 s \\ 1 \end{array}] \end{array}$ ‍

Например, ако заместим

(t; s) = (1; - 2)

, ще получим следното:

$\begin{array}{r} [\begin{array}{c} 2 (1) \\ - 2 (- 2) \\ 1 \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 1 \end{array}] \end{array}$ ‍

Това е вектор, който е перпендикулярен на повърхнината в точката

\vec{v} (1; - 2)

. Обаче това не е единичен вектор, както се вижда, когато изчислим дължината му:

$\sqrt{2^{2} + 4^{2} + 1^{2}} = \sqrt{4 + 16 + 1} = \sqrt{21}$ ‍

Стъпка 2: Да го превърнем в единичен нормален вектор

Получаваме следния израз

\begin{array}{r} [\begin{array}{c} 2 t \\ - 2 s \\ 1 \end{array}] \end{array}

, който ни дава нормалния вектор във всяка точка

\vec{v} (t; s)

. Следващата стъпка се състои в преработката на този израз, за да получим единичния нормален вектор.

Проверка на концепцията: Кой е единичният нормален вектор към нашата повърхнина в точката

\vec{v} (1; - 2)

$\hat{i} +$ ‍
$\hat{j} +$ ‍
$\hat{k}$ ‍

Както вече казахме, когато заместим $(t; s) = (1; - 2)$ ‍ в общия израз за нормалния вектор, получаваме:
$\begin{array}{r} [\begin{array}{c} 2 (1) \\ - 2 (- 2) \\ 1 \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 1 \end{array}] \end{array}$ ‍
Този вектор има следната дължина:
$\sqrt{2^{2} + 4^{2} + 1^{2}} = \sqrt{4 + 16 + 1} = \sqrt{21}$ ‍
За да го превърнем в единичен вектор, ще го мащабираме от вектор с дължина $\sqrt{21}$ ‍ до вектор с дължина $1$ ‍. За целта разделяме всеки компонент на $\sqrt{21}$ ‍:
$\begin{array}{r} [\begin{array}{c} 2 / \sqrt{21} \\ 4 / \sqrt{21} \\ 1 / \sqrt{21} \end{array}] \leftarrow Единичен вектор \end{array}$ ‍

Проверка на концепцията: В общия случай кой е единичният нормален вектор към нашата повърхнина в произволна точка

\vec{v} (t; s)

като функция от

t

s

$\hat{i} +$ ‍
$\hat{j} +$ ‍
$\hat{k}$ ‍

Общият израз за нормален вектор (не непременно единичен) е:
$\begin{array}{r} [\begin{array}{c} 2 t \\ - 2 s \\ 1 \end{array}] \end{array}$ ‍
Като функция от $t$ ‍ и $s$ ‍, този вектор има дължина
$\sqrt{(2 t)^{2} + (- 2 s)^{2} + 1} = \sqrt{4 t^{2} + 4 s^{2} + 1}$ ‍
За да превърнем израза за нормалния вектор в такъв за единичен нормален вектор, разделяме всеки от компонентите му на неговата дължина:
$\begin{array}{r} [\begin{array}{c} 2 t / \sqrt{4 t^{2} + 4 s^{2} + 1} \\ - 2 s / \sqrt{4 t^{2} + 4 s^{2} + 1} \\ 1 / \sqrt{4 t^{2} + 4 s^{2} + 1} \end{array}] \end{array}$ ‍

И ето така получихме единичен нормален вектор.

Заместваме произволна точка

(t_{0}; s_{0})

в този израз и получаваме вектор, който има дължина

1

и е нормален към повърхнината, параметризирана с функцията

\vec{v}

в точката

\vec{v} (t_{0}; s_{0})

Определяне на ориентацията

Обърни внимание, че ако умножим функцията за единичния нормален вектор по

- 1

, отново получаваме единичен нормален вектор. Просто полученият вектор ще сочи в противоположната посока. Изборът на посока на единичните нормални вектори към дадена повърхнина се нарича ориентация на повърхнината.

Ще разбереш важността на това в следващата статия за тримерния поток. Накратко, определянето на ориентацията на дадена повърхнина е аналогично на това да определим посоката на едномерна крива.

Когато повърхнината е затворена, както например при сфера или тор, двата варианта за единични нормални вектори често се наричат обърнат навън и обърнат навътре единичен нормален вектор.

Обобщение

Когато е дадена повърхнина, параметризирана с функцията $\vec{v} (t; s)$ ‍, за да се намери изразът за единичния нормален вектор към повърхнината, трябва да се следват тези стъпки:
Стъпка 1: Определяне на нормалния (не е задължително да е единичен) вектор чрез намирането на векторното произведение на двете частни производни на функцията $\vec{v} (t; s)$ ‍:
$\begin{array}{r} (\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} (t; s)) \times (\frac{\partial \vec{v}}{\partial s} (t; s)) \end{array}$ ‍
Стъпка 2: Преобразуването на вектора в единичен нормален вектор чрез разделяне на неговата собствена дължина:

$\begin{array}{r} \frac{(\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} (t; s)) \times (\frac{\partial \vec{v}}{\partial s} (t; s))}{| (\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} (t; s)) \times (\frac{\partial \vec{v}}{\partial s} (t; s)) |} \end{array}$ ‍

Можеш също така да умножиш израза по $- 1$ ‍, при което отново се получава единичен нормален вектор.
Причината да научим как се прави това е за да можем да изчислим тримерен поток.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.