Основно съдържание

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 4

Урок 12: Повърхностни интеграли (статии)

Интеграли за площ на повърхнина

Класна стая на Google

Как се намира площта на параметризирана повърхнина? Това ще ни отведе до по-общата концепция за повърхностни интеграли.

Преговор

Частни производни на параметрични повърхнини
По-точно се увери, че разбираш много добре какво представляват частните производни на функция, която параметризира дадена повърхнина.
Двойни интеграли
Векторно произведение (видео)

Основни идеи

Общ вид на задачата:

$S$ ‍ е някаква повърхнина в тримерно пространство.
$\vec{v} (t; s)$ ‍ е векторна функция, която параметризира повърхнината $S$ ‍.
$T$ ‍ е област в равнината $t s$ ‍ (наричана още параметрично пространство), която съответства на $S$ ‍.

Лицето на повърхнината

S

може да се изчисли с помощта на следния двоен интеграл:

\begin{array}{r} \iint_{T} | \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \times \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} | d t d s \end{array}

Изчисляването на подобен интеграл може да е много трудоемко.

Лице на повърхнина

От геометрията вероятно знаеш как се намират лицата на някои конкретни повърхнини. Например лицето на повърхнината на сфера с радиус

r

е равно на

4 π r^{2}

Но какво може да се направи, когато търсим лицето на някаква произволна повърхнина, дефинирана чрез параметрични функции, които изобразяват някаква област от двумерно параметрично пространство в тримерно пространство? Как можем да намерим такова лице?

Отговорът е да се използва един определен вид двоен интеграл, който ще разгледаме. Това е аналогично на намирането на дължината на дъгата на някаква произволна крива с помощта на определен единичен интеграл или обема на тяло със странна форма с помощта на подходящия троен интеграл.

Пример: Разделяне на части на лицето на повърхнината

Дефинирай параметрична повърхнина със следната функция:

\begin{array}{r} \vec{v} (t; s) = [\begin{array}{c} t^{2} \\ s t \\ s \end{array}] \end{array}

Да означим тази повърхнина като

S

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

При параметричните повърхнини не е достатъчно да определим функцията, която ги параметризира. Трябва да знаем и областта от параметричното пространство, която се изобразява в тази повърхнина. "Параметрично пространство" е сложна дума за мястото, където се намира точката

(t; s)

, което се нарича също така и дефиниционно множество. В този случай да кажем, че това е правоъгълник, определен от

\begin{aligned} - 1 \leq & t \leq 1 \\ 0 \leq & s \leq 3 \end{aligned}

Да наречем този правоъгълник

T

. Ето как вектор

\vec{v}

изобразява правоъгълника

T

от параметричното пространство върху повърхнината

S

в тримерно пространство.

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Процеса на изчисляване на лицето на повърхнината се заключава в три основни стъпки:

Стъпка 1: Разделяне на повърхнината на малки парченца.
Стъпка 2: Изчисляване на площта на всяко парченце.
Стъпка 3: Събиране на тези площи.

След като вече изучихме криволинейните интеграли, двойните интеграли и тройните интеграли, може би вече разпознаваш този метод да разделяме нещата на части и после да ги събираме като общ за процеса на интегриране. Както в тези примери, ние няма да разделяме наистина повърхнината на определен брой парченца и да ги събираме, това вместо нас ще направи самият интеграл.

За да бъдем още по-точни, интегралът, който търсим, ще направи нещо по-добро от това да раздели повърхнината и да събере площите на всички парченца. Той отчита границите, когато разделяме повърхнината на все по-малки и по-малки парченца. Ето защо интегралът изчислява точната стойност на лицето на повърхнината, а не просто я апроксимира (както би се получило при буквалното ѝ разделяне на части).

Стъпка 1: Разделяне на части на повърхнината

За да започнем, да си представим, че разделяме правоъгълника

T

в параметричното пространство на много малки правоъгълничета. На чертежа е показано разделянето му само на няколко правоъгълника, така че да можем да разгледаме всеки от тях, но по принцип идеята е да го разделим на безкрайно много безкрайно малки правоъгълници.

Можеш да си представиш широчината на един от тези малки правоъгълници като

d t

, една малка промяна на параметъра

t

. По същия начин си представи височината му

d s

като малка промяна на параметъра

s

Сега си представи как функцията

\vec{v} (t; s)

изобразява един от тези малки правоъгълници върху повърхнината

S

. В следващата анимация по-голямата част от повърхнината ще е оцветена в тъмно сиво, а само един малък правоъгълник ще е цветен, докато наблюдаваме изобразяването на

T

върху повърхнината

S

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Строго погледнато, правоъгълникът ще стане малко изкривен, когато се изобразява върху

S

. Но когато си представим все по-малки и по-малки правоъгълници, тази кривина става все по-пренебрежимо малка, и можем да приемем, че това малко парченце е плоско.

По същество, когато разглеждаме все по-малки и по-малки правоъгълничета в параметричното пространство, частта от повърхнината

S

, върху която се изобразяват тези правоъгълници, ще изглежда все повече като успоредник.

Следователно нашата задача е да намерим формула, която ни дава лицето на тези успоредници.

Нещата стават трудоемки

Определено този израз е доста сложен. Той включва векторното произведение на две частни производни на векторна функция, на което намираме дължината. Сякаш някой се е опитал да напише най-трудния израз, който може да му хрумне.

В момента имаме един изцяло теоретичен израз за площта на един от тези малки успоредници:

\begin{array}{r} | (\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} (t_{A}; s_{A}) d t) \times (\frac{\partial \vec{v}}{\partial s} (t_{A}; s_{A}) d s) | \end{array}

Ако искаш да видиш какво се крие зад него, ти препоръчваме да поработиш над него.

Преработване на израза: Като имаме предвид определението

\vec{v} (t; s)

, с което започнахме,

\begin{array}{r} \vec{v} (t; s) = [\begin{array}{c} t^{2} \\ s t \\ s \end{array}] \end{array}

да се преработи изразът, даден в предишния въпрос, за да се получи функция от

t

s

d t

d s

Лице на успоредник:

d t d s

Стъпка 3: Интегриране

Докъде стигнахме. След като раздробихме правоъгълника

T

в параметричното пространство на множество малки правоъгълничета, казахме, че те се превръщат в успоредници в повърхнината

S

. По-точно всеки от тях се превръща в някакво леко изкривено парченце от

S

, което можем да апроксимираме като успоредник. Колкото по-малък е първоначалният правоъгълник, толкова по-точна е апроксимацията.

След това, след доста изчисления, намираме площта на един от тези малки успоредници:

(\sqrt{s^{2} + 4 t^{2} + 4 t^{4}}) d t d s

където

$(t; s)$ ‍ описва местоположението на първоначалния малък правоъгълник.
$d t$ ‍ е неговата широчина.
$d s$ ‍ е неговата височина.

За да съберем площите на всички тези малки успоредници, съставяме двоен интеграл от тази величина върху областта

T

. Само ти припомням, че

T

е дефинирано като областта, за която

\begin{aligned} - 1 \leq & t \leq 1 \\ 0 \leq & s \leq 3 \end{aligned}

Като използваме тези граници, ето как изглежда двойния интеграл, който представя площта на повърхнината

S

\begin{array}{r} \int_{0}^{3} \int_{- 1}^{1} (\sqrt{s^{2} + 4 t^{2} + 4 t^{4}}) d t d s \end{array}

Това е трудно да се решава на ръка, тъй като намирането на примитивната функция на

\sqrt{s^{2} + 4 t^{2} + 4 t^{4}}

е сложно. Можем да намерим отговора с помощта на калкулатор или програми като Wolfram Alpha:

\begin{array}{r} \int_{0}^{3} \int_{- 1}^{1} (\sqrt{s^{2} + 4 t^{2} + 4 t^{4}}) d t d s \approx 12,615 3 \end{array}

Важното тук е да запомним как се конструира подходящият двоен интеграл и да разсъждаваме за това да съберем малките парченца площ върху самата повърхнина.

Обобщение: това не беше лесно

Обобщавайки всичко, което направихме в предишния пример, площта на нашата параметрична повърхнина

S

се изразява като следния интегралl

\begin{array}{r} \iint_{T} | \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \times \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} | d t d s \end{array}

където

S

се описва с параметричната функция

\vec{v} (t; s)

, приложена към областта

T

на равнината

t s

Вече имаш представа как става това, но още веднъж подчертаваме, че това може да е много трудно за изчисляване.

Първо трябва да се намерят двете частни производни на векторната функция и ако ги преброим за всеки компонент, това са общо $6$ ‍ частни производни
След това намираме векторното произведение на тези два вектора на частните производни, което само по себе си изисква решаването на детерминанта, чиито компоненти са вектори и функции.
След това намираме дължината на това векторно произведение.
След всичко това ни очаква двойният интеграл. А самото съставяне на двойния интеграл не винаги е лесно, особено ако областта, върху която интегрираме, не е правоъгълна.
Всичко това се случва, като предполагаме, че знаем функцията $\vec{v} (t; s)$ ‍ и областта $T$ ‍. Но понякога е дадена само повърхнина, която е неявно дефинирана, например сфера с уравнение $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ ‍. В такъв случай трябва да се параметризира повърхнината, както и да се определи на коя област в параметричното пространство принадлежи тази повърхнина.

Когато решаваме всичко това, е много важно да сме добре организирани и търпеливи. Решаването на само един такъв повърхностен интеграл се равнява на решаването на

10

задачи в обикновения математически анализ.

Разсъжденията, които се правят, са много полезни, когато разглеждаме повърхнини в тримерната геометрия по принцип, не само в конкретния случай за изчисляване на площ на повърхнина. Например, според теб как работят компютърните графики? Много често, създаването на тримерно изображение означава да се раздели повърхнината на многоъгълници, които да изобрази компютърът. Дори ако това не включва решаването на повърхностни интеграли, по същество разсъжденията как да се направи това е много сходно и включва векторни произведения на частни производни и други подобни.

Ако искаш повече информация и практика върху тази тема, виж следващата статия, която съдържа още един решен пример от начало до край. Ако имаш желание да решаваш паралелно, си подготви доста бели листи.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Анализ на функции на много променливи

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 4

Преговор

Основни идеи

Лице на повърхнина

Пример: Разделяне на части на лицето на повърхнината

Стъпка 1: Разделяне на части на повърхнината

Стъпка 2: Намиране на площта на успоредника

Нещата стават трудоемки

Стъпка 3: Интегриране

Обобщение: това не беше лесно

Искаш ли да се присъединиш към разговора?