Въведение в повърхностния интеграл

В предишното видео изведохме тези две формули. (които са оградени на екрана) Започнахме, като просто разсъждавахме какво означава намирането на частна производна на векторна функция, и аз достигнах до тези – би могло да се каже – странни резултати. Сигурно се чудиш какъв е смисълът от тях. Основната цел е да ти дам подходящи инструменти, които да ти помогнат да разбереш какво представляват повърхностните интеграли. Да помислим за това – ще начертая равнината st, а след това ще видиш как тя се трансформира в повърхнината r. Да го направим. Да кажем, че това е оста t, а това е оста s. Нека нашата векторна функция, функцията от радиус-вектора, да е дефинирана за s в интервала от а до b – избирам съвсем произволни граници – и t в интервала от с до d. Площта, която ни интересува, ако вземем произволни стойности на t и на s в този правоъгълен участък ето тук, тя се изобразява в част от тази повърхнина. Ако изобразим всяка от тези точки, това евентуално ще ни даде повърхнината r. Ще начертая повърхнината r в три измерения. Това е оста х, това е оста у, а после това е оста z. Само искам да си припомним, че тя би могла да изглежда приблизително по този начин. Ако трябваше... тази точка тук, където s е равно на а, и t е равно на с – спомни си – ще начертаем повърхнината, която е определена от функцията на радиус-вектора r от s и t. Значи тази точка ето тук, когато s е равно на а, а t е равно на с, тя може би се изобразява например в тази точка. Ето тук. Когато вземем наредената двойка (а; с) и я въведем в тази функция, ще получим вектор, който сочи към тази точка. Можем да кажем, че получаваме радиус-вектор, който сочи към тази позиция ето тук. После, да кажем, че тази права ето тук, ако приемем, че стойността на s е константа, s е равно на а, и ако се променя само стойността на t от с до d, може би изглежда по този начин. Просто чертая някаква произволна крива. Може би, ако t е константа, равно на с, а стойността на s се променя в интервала от а до b, тогава може би ще получим нещо подобно на това. Не знам. Просто ти давам произволен пример. Значи тази точка ето тук ще съответства на тази точка тук, и когато я въведем във функцията на радиус-вектора r, ще получим вектор, който сочи към тази точка, ето по този начин. Тази точка ето тук в лилаво, когато изчислим r от s и t, тя ще ни даде вектор, който сочи към тази точка ето тук. Можем да разгледаме още няколко точки, просто за да добиеш представа как изглежда тази повърхнина, въпреки че по принцип не искам да усложнявам нещата. Може би – ще използвам този синкав цвят. Така, ако t е равно на d, а стойността на s се променя в интервала от а до b, тогава ще тръгнем от ето тук. Това е когато t е равно на d, а s е равно на a. Когато стойността се променя, може би ще получим нещо подобно. Не знам. Значи тази точка ето тук ще съответства на радиус-вектор, който сочи към тази точка ето тук, а накрая тази отсечка, или тази... когато s е равно на b, а стойността на t се променя в интервала от c до d, ще отидем от тази точка до тази точка. Значи това ще изглежда ето така – о, извинявам се, ще отидем от тази точка в тази точка. Запазваме s равно на b, а t се мени от c до d, и може би изглежда по този начин. Нашата повърхнина първо е този хубав правоъгълник в равнината ts, а после се трансформира в тази странно изглеждаща повърхнина. Тук можем да начертаем и други неща. Да вземем някаква произволна стойност. Ще избера хубав цвят, ще използвам бяло. Или нов не-цвят. Да кажем, че задържим s константа с тази стойност, а t се променя, може би ще изглежда по този начин. Може би ще изглежда някак ето така, не съм сигурен. Може би ще изглежда ето така. Представи си как може да изглежда повърхнината. Като знаем това, искам да помислим какви са тези величини. След това ще онагледим какви са тези величини, като ще използваме резултатите, които получихме в предишното видео, за да направим нещо, което, според мен, ще е полезно. Да изберем произволни стойности на s и на t. Това ще бъде точка – ще я избера ето тук. Това е точката (s;t). Ако въведем тези стойности във функцията, може би тя ще се изобрази... искам да съм сигурен, че това е в съответствие с всичко, което съм начертал – може би ще се изобрази в тази точка ето тук. Тази точка ето тук е r от (s; t) за някакви конкретни стойности s и t. Тук можа да сложа един долен индекс, но по-скоро искам да остане общо. Мога да означа тези като – вече използвах а и b. Мога да ги означа като х и у, това ще бъде r от х и от у. Тази точка ще се изобрази в тази точка ето тук. Значи това е ето тази точка или тази тук. Сега да видим какво ще стане, ако вземем... ако се преместим само по посока s. Можем да вземем това като s. Сега да се преместим напред с един диференциал, с едно много малко количество от s. Това ето тук – ще го означа като s плюс някакво много малко разстояние s. Ето това тук. Значи тази точка. Ще използвам по-подходящ цвят, ето това жълто. Значи тази точка ето тук е точката s плюс нашия диференциал от s. Мога да запиша делта s, но искам това да е много малка промяна на s, точка и запетая, t. И в какво ще се изобрази тази точка? Ако въведем тези две точки във функцията r, тогава ще получим образ или точка, която може би ще е ето тук. Искам да поясня. Това ето тук, това е r от (s + ds; t). Това е ето това. Това е точката, когато изместим s с един много малък диференциал, това разстояние ето тук, което приемаме като ds. Това е една много малка промяна на s. След това, когато го изобразим или трансформираме, или когато въведем точката в нашата векторна функция... ще копирам първоначалната векторна функция, за да виждаме добре за какво говорим през цялото време – ще я поставя ето тук. Само да поясня какво правим – когато вземем тази синя точка (s; t) и въведем стойностите s и t във функцията, тогава получаваме вектор, който сочи към тази точка в тази повърхнина ето тук. Когато добавим едно малко ds към стойността на s, получаваме вектор, който сочи към тази жълта точка ето тук. Връщам се към резултатите, които получихме в предишното видео – какво е това? r (s + ds), r от s плюс делта s, диференциалът на s; t – това е ето това тук. Това е векторът, който сочи към тази позиция. Това ето тук е вектор, който сочи към тази синя позиция. А каква е разликата на тези два вектора? Това е от основна операция с вектори, както може би си спомняш. Разликата на тези два вектора – начало към край. Разликата на тези два вектора е равна на този вектор. Ако извадим този вектор от този вектор, ще получим този вектор ето тук – (чертае вектора с оранжево) вектор, който изглежда ето така. Ето на това е равна разликата – на този вектор. И това е логично. Този син вектор плюс този оранжев вектор тук дават този вектор. Това е напълно логично. Начало към край. Така че ето какво представлява това. Сега искам да направя същото нещо в посока t. Свършват ми цветовете. Ще използвам пак розово или може би цикламено. Значи имахме това s и t. Сега ако се преместим малко в тази посока, да кажем, че това е t, това е точката s; t плюс някаква много малка промяна на t, това е ето тази точка ето тук. Това разстояние ето тук е dt, можем да го разглеждаме по този начин. Ако поставим s и t плюс dt в тази векторна функция, какво ще получим? Ще получим вектор, който може би сочи към тази точка, ето тук. Може би да го начертая ето тук. Може би сочи към тази точка ето тук. Вектор, който сочи насам. Това ще се изобрази във вектор, който сочи към тази позиция ето тук. Сега по същата логика, която използвахме в посока s, тази точка или векторът, който сочи към нея, това е r от (s; t + dt). Това е съвсем същото нещо като това тук, и, разбира се, ние вече видяхме това. Това е същото като това тук. Колко е този вектор минус този синия вектор? Този цикламен вектор минус този син вектор? Повтарям, че се надявам, че знаеш как събираме вектори. Ще получим вектор като този. Ще го направя в бяло. Това ще е вектор, който изглежда ето така. Ако можеш да си представиш, ако съберем този син вектор и белия вектор – синият вектор плюс белия вектор ще ни дадат този лилав вектор. Това е логично, щом този цикламен вектор минус синия вектор ще дадат този бял вектор. Тук се случва нещо интересно. Имаме тези двете – това е вектор, който един вид се намира в тази параметризирана повърхнина, когато променим нашето s с едно много малко количество. А това е вектор, който е успореден на нашата повърхнина, ако променим нашето t с едно много малко количество. Сега, може би си спомняш това, а може би не си спомняш, но ние го направихме преди няколко урока. Дължината – ако взема два вектора и намеря тяхното векторно произведение – векторното произведение на а и на b, и взема дължината на получения вектор – спомни си, когато намираме векторното произведение, получаваме трети вектор, който е перпендикулярен на тези двата. Но ако искаш просто да намериш дължината на този вектор, тя е равна на площта на успоредника, образуван от а и от b. Какво означава това? Ако това е вектор а, а това е вектор b, ако намерим тяхното векторно произведение, ще получим трети вектор, който е перпендикулярен на тези два вектора, който един вид излиза от страницата. Това е векторното произведение на а и b. Но дължината на това – векторното произведение дава един вектор. Дължината на този вектор, ако се запитаме колко голям е този вектор, каква е неговата дължина – тя е равна на площта на успоредника, образуван от а и от b. Доказах това във видео уроците по линейна алгебра, но може би ще го докажа отново и сега. Имам предвид, че понеже... но няма да навлизам в такива подробности. Доказвал съм го преди, няма да правя това видео прекалено дълго. Успоредникът, дефиниран от а и от b – просто си представи 'а', после още една успоредна версия на 'а', ето тук, и друга успоредна версия на b ето тук. Това е успоредник, дефиниран от а и от b. Като се върнем към нашата примерна повърхнина, ако намерим векторното произведение на оранжевия и на белия вектор, ще получим площ от повърхнината, площта на този успоредник, определен от тези два вектора. Така че, ако вземем успоредното на това, то ще изглежда ето така, а след това успоредно на този оранжевия, то ще изглежда приблизително така. Ако намерим векторното произведение на това и на това, тогава ще получа площта на този успоредник. Сега можем да кажем, че това е повърхнина, взимаме един такъв успоредник, но си спомни, че това са едни малки промени. Представи си, че една повърхнина може да се раздели на много малки промени на успоредниците, или на безкрайно много успоредници. Колкото повече успоредници имаме, толкова по-добро приближение на повърхнината ще получим. Това не е по-различно, отколкото когато първо намирахме интеграли. Ние апроксимирахме площта под кривата с помощта на правоъгълници. Колкото повече правоъгълници имаме, толкова по-добра е апроксимацията. Да наречем тази малка промяна на повърхнината делта сигма, за една малка промяна на повърхнината. Можем даже да кажем, че площта на повърхнината на тази повърхнина е безкрайна сума от тези безкрайно малки делта сигми. Всъщност има специален начин за записване на това. Площта на повърхнината е равна на – можем да интегрираме повърхнината, като начинът на записване обикновено е главна буква сигма, за разлика от площта или... значи интегрираме повърхнината, и използваме двоен интеграл, защото имаме две посоки, нали? Повърхнината е един вид огъната двумерна структура. Намираме безкрайната сума на всички делта сигма. Това е площта на повърхнината. Ето това е d сигма. Сега току-що намерихме, че d сигма може да се представи – тази стойност, тази площ на тази малка част от повърхнината, площта на този успоредник, може да се представи като векторното произведение на тези два вектора. Ще го запиша ето тук. Това не е прецизно математическо доказателство. Целта ми тук е да ти покажа логиката на това какво представлява повърхностния интеграл Можем да запишем, че d сигма е равно на векторното произведение на оранжевия вектор и на белия вектор. Оранжевият вектор е този, но можем да го запишем и по този начин. Това е резултатът, който получихме в предходното видео. Ще го запиша в оранжево. Значи частно r относно – свършва ми мястото – относно s, ds, което... d сигма е дължината на това векторно произведение, а не просто самото векторно произведение. Векторното произведение представлява вектор, което ще ни е полезно, когато започнем да работим с векторни повърхностни интеграли, а сега го приеми по този начин. Значи този оранжев вектор е равен на това. Намираме векторното произведение на този вектор и на този бял вектор. Този бял вектор е същото нещо като този, което видяхме, че е същото като това. Частно r относно t, dt. Видяхме, че ако намерим дължината на този вектор, тя е равна на малката промяна на площта, или е равна на площта на този малък успоредник ето тук. Може би си спомняш, а може и да не си спомняш, че ако вземем тези... само искам да поясня. Това и това са вектори, нали? Когато намираме частните производни на една векторна функция, получаваме отново вектор. Това ds е число. Това е число и това е число (подчертава ds и dt). Може би си спомняш, когато в линейната алгебра, или когато за пръв път си срещнал/а векторно произведение, че когато намирахме векторното произведение на вектори, които имат скаларни множители, тогава можем да изнесем тези множители (числа) извън скоби. Така че ако изнесем това число и това число, по същество ги изнасяме извън това векторно произведение. Това ще бъде равно на дължината на векторното произведение на частно r относно s – векторното му произведение с частно r относно t, а после всичко това по тези двете ето тук – по ds и dt. Написах това тук, и може би нашата площ на повърхнината, ако намерим сумата на всички тези малки d сигма, но няма очевиден начин как можем да пресметнем това. Но ние знаем, че всички d сигма са равни на – ако умножим всички малки ds и dt. Значи взимаме всички малки ds и dt. Това е ds по dt, нали? ds по dt тук, ds по dt е точно тук. Ако умножим това по векторното произведение на частните производни, това по това ще ни даде тази площ. Ако сумираме всички тези, умножени по тези, или това по това, ако сумираме тези за цялата област, тогава ще получим сумата на всички успоредници в тази област. Получаваме площта на повърхнината. Можем да запишем... Знам, че това малко се движи в кръг. Трябва да поразсъждаваш малко. Повърхностните интервали са нещото, което ми е най-трудно да си представя, но се надявам, че всичко това е логично. Можем да кажем, че това нещо ето тук, сумата на всички малки успоредници в тази повърхнина или площта на повърхнината е равна – вместо да сумираме в повърхнината, да сумираме всички ds по dt в тази област ето тук. Разбира се, трябва да намерим и векторното произведение тук. Знаем как да го направим. Това е двоен интеграл. Ще вземем двоен интеграл ето тук, можем да кажем в тази област, или този участък ето тук. Тази област е същото нещо като тази цялата област, ето тук, от това нещо. Ще го запиша в жълто. Векторното произведение на частната производна на r относно s, и частната производна на r относно t. ds и dt. Буквално умножаваш... изглежда много объркано как ще се пресметне това, но ние успяхме да изразим този така наречена повърхностен интеграл – това е един много прост повърхностен интеграл – като нещо, което всъщност можем да изчислим. В следващите няколко видеа ще ти покажа примери, в които ще го изчислим. Сега това нещо тук ни дава площта на повърхнината. Но ако във всяка точка ето тук – значи ето тук, това, което направихме в двата израза, е, че ние просто намираме площта на повърхнината на всеки от тези успоредници и след това ги събираме. Това е, което правим. Но какво ще стане, ако свържем всеки от тези малки успоредници – ако имаме някаква стойност, която е дефинирана от трета функция f от х, от у и от z? Значи всеки успоредник, който е много малък, около някаква точка, можем да кажем, че това е центърът на успоредника, но това не е задължително да е център. Но може би центърът му е в някаква точка в тримерното пространство, и ако има някаква друга функция f от х, от у и от z, тогава ще получим стойността в тази точка. Това, което искаме да направим, е да намерим какво ще се случи, ако за всеки от тези успоредници трябва да умножим по стойността на функцията в тази точка? Можем да го напишем по следния начин. Това е там, където – представи си – функцията е просто 1. Просто умножаваме площта на всеки успоредник по 1. Можем да си представим, че умножаваме всеки от тези малки успоредници (изразени с d сигма) по f от (х; у; z), и това ще бъде съвсем същото нещо, когато всеки от тези малки успоредници (изразени с ds и dt) просто умножаваме по f от (х; у; z). Така че интегрираме в този участък, в тази област от f от (х; у; z), а след това умножаваме по дължината на частната производна на r относно s, векторното ѝ произведение с частната производна на r относно t, ds, dt. Разбира се, ние интегрираме относно s и t. Надявам се, че можем да изразим тази функция чрез s и t, и трябва да можем, защото тук имаме параметризация. Винаги, когато видим тук х, това всъщност е х като функция от s и t. у е функция от s и t. z е функция от s и t. Това може да ти се стори много объркано и трудно. Визуализацията на това, обяснението защо правим това, е, че това има приложение във физиката. Това е трудно да се онагледи. По-лесно е да се онагледи директно повърхностната площ. В следващите няколко урока ще видим, че е доста дълго изчисляването на тези задачи, но всъщност те не са чак толкова трудни. Просто трябва малко упоритост.