Двумерна ротация на векторно поле

Привет! Сега ще разгледаме ротацията на векторното поле. Ротацията е едно от тези много интересни понятия във векторния анализ и ще ти достави огромно удовлетворение, когато се запознаеш с него, дори ако единствената причина за това е че е много красиво в графично отношение. Има два различни варианта – двумерна ротация и тримерна ротация. Съвсем естествено ще започнем с двумерния вариант и после ще надградим до тримерната версия. В настоящото видео искам само да ти покажа логиката как изглежда визуално ротацията на векторно поле. Ротацията е свързана с разглеждането на векторното поле като флуиден поток. Говорили сме за това в други видео клипове, особено в тези, свързани с дивергенцията, ако си гледал/а, но си спомни, че тогава един вид си представяме, че всяка точка в пространството е частица, например газова или водна молекула. Тъй като при векторното поле свързваме всяка точка в пространството с някакъв вектор, и, ако си спомняш, не е задължително да начертаем всеки отделен вектор, а чертаем само една малка извадка, но по принцип към всяка точка в пространството има прикрепен вектор. Можеш да си представиш, че всяка частица, всяка една такава газова или водна молекула се движи във времето по такъв начин, че векторът на нейната скорост във всеки момент от време е вектор, който е свързан с нея. Когато частицата се движи в различни точки от пространството и векторът на скоростта ѝ се променя, тя може да прави завой или да се ускорява, при което се променя нейната скорост. В крайна сметка получаваме траекторията на тази точка. И понеже всяка отделна точка се движи по този начин, можем да си представим един поток, което е един вид обобщена представа за векторното поле. В този конкретен пример това конкретно векторно поле, което съм изобразил – ще нанеса сини точки на различни места в пространството, като всяка от тях можеш да приемеш като водна молекула или нещо от този сорт, а аз ще пусна анимацията да се движи. Във всеки даден момент, ако следиш движението на тези сини точки, те се движат заедно с векторите, с които са свързани, а ако тези вектори не са показани, можем да си представим, че такива вектори са свързани с дадените точки. И докато си съставяме представа какво се случва с целия поток, искам да обърнеш внимание на няколко отделни участъка. Първо да разгледаме този участък тук отдясно. Ето тук. Да се концентрираме върху това, което се случва в тази област. Ще пусна анимацията. Това, което най-силно прави впечатление в този участък, е завъртането обратно на часовниковата стрелка. Това съответства на идеята, че векторното поле извършва ротация тук, като аз ще обясня конкретно какво означава ротация, но точно сега искам да добиеш представа за този участък, в който имаме ротация обратно на часовниковата стрелка, като казваме, че това е положителна ротация. Ако разгледаме друг участък, в който има ротация, но по посока на часовниковата стрелка, в обратната посока, тогава я наричаме отрицателна ротация. Ще започна ето тук. В обратния случай, когато разгледаме участък, в който няма ротация, например тук в центъра виждаме някои точки, които идват отгоре вдясно и отдолу вляво, а излизат от участъка от другите страни. Но няма сумарна ротация. Ако поставиш една клонка във водата на това място, тя няма да се завърти. Това са участъци, в които казваме, че имаме нулева ротация. Така, в общия случай, областите с ротация по часовниковата стрелка съответстват на отрицателна ротация. Областите с ротация обратно на часовниковата стрелка съответстват на положителна ротация, а когато няма завъртане казваме, че ротацията е нулева. В следващия видео клип ще разгледаме какво означава това от гледна точка на съответната функция, която дефинира векторното поле, и как можем да разглеждаме информацията за частните производни на тази функция, за да оценим стойностно ротацията на флуида. Като е важно, че това се отнася не само до ротация на флуиди. Ако разглеждаме векторните полета в различен контекст, ако само си представим, че те представляват флуид, макар на практика да не са, представата за въртене и ротация всъщност има определено значение по напълно неочакван начин. Оказва се, че градиентът е свързан с ротацията, въпреки, че не е задължително да смятаме, че градиентът е свързан с ротацията на флуид. В електромагнетизма представата за ротация на флуид също има определено значение, въпреки че там на практика не участват флуиди. Така че това понятие има по-широко приложение от това, което разгледахме, но това е един много добър начин за онагледяване, който да имаме предвид, когато разглеждаме векторни полета.