Производни по направление и наклон

Привет! Днес ще разгледаме как можем да интерпретираме производната по направление във връзка с графиките на функциите. Тук имам графика на функция на много променливи, f от (х; у) равно на х на квадрат по у. В последните няколко урока разгледахме какво представлява производната по направление, нейното формално определение и как може да се изчисли чрез градиента. В общия случай ситуацията може да е следната: имаш някакъв вектор, който се намира в дефиниционното множество, което в този пример е равнината ху. В настоящия пример нека това да е векторът [1;1]. Производната по направление, която записваме чрез символа за градиент, само че поставяме като долен индекс нашия вектор, производната по направление на нашата функция... тя има същата входна стойност... Трябва е един вид да определим как се променя функцията, когато входната стойност се измести в тази посока. Ще ти покажа какво имам предвид – представи си, че срязваме тази графика с някаква равнина, която не е задължително да е успоредна на оста х или на оста у. Същото направихме при частните производни, когато използвахме равнина, която съответства на постоянна стойност на х или на постоянна стойност на у, но сега това е равнина, която един вид показва движението по направлението на нашия вектор, и както в много други случаи, аз ще срежа графиката по направлението на тази равнина, и за да се вижда добре, ще оцветя мястото, където това сечение пресича графиката. Този вектор ето тук, това малко v, приемам, че лежи в равнината ху и определя посоката на тази равнина, с която правим това сечение. В равнината ху имаме този вектор, това е векторът [1;1], който сочи един вид в диагонална посока. След това с тази равнина срязваме графиката. Ако искаме да интерпретираме производната по направление тук, ще поставя някакви реални стойности. Да кажем, че търсим производната за точката (-1; -1), защото приемаме, че тази равнина минава през началото на координатната система. Искам да съм сигурен, че точката, в която намирам производната, лежи в тази равнина, но можеш да си представиш друг вектор, който сочи в същата посока, но един вид го движиш напред-назад. Ако пресмятаме това, тогава можем да интерпретираме това като наклон. (показва формулата вляво) Но трябва много да внимаваме, можем да го разглеждаме като наклон, но това е в случай, когато имаме единичен вектор, когато дължината на вектор v е единица. Не е задължително да е така, можеш по-късно да отчетеш различната дължина, но разсъжденията са по-лесни, когато това е единичен вектор. Когато дойда тук, вместо да кажа, че това е вектор [1;1], ще кажа, че това е произволен вектор, който сочи в същата посока, но има дължина единица, и в този случай това е корен квадратен от 2, върху 2 за всеки от компонентите. Помисли откъде идват тези стойности (с използване на питагоровата теорема) но това е вектор с дължина 1 и сочи в тази посока. Ако изчисляваме производната в точка като (-1; -1), можем да нанесем това на графиката, за да видим къде се намира реално, а в този случай това е... опа, разместих графиката. Това е ето тази точка тук, и ако погледнеш отгоре, (показва точката) виждаш че това е точката (-1; -1). Искаме да намерим наклона в тази точка, един вид разглеждаме допирателната в тази точка, допирателната към тази крива, и искаме да определим какъв е нейният наклон, и причината производната по направление да ни даде този наклон е... ако използваме друг начин на записване, може да е от полза да видим какво представлява тази производна по направление, затова някои я записват като частно f, и частно v. Можеш да си представиш една малка стъпка тук в направлението на вектор v, така че това е едно малко изместване, малко частно изменение по направлението на вектор v. След което си задаваме въпроса какво изменение на стойността на функцията ще предизвика това. Височината на графиката съответства на стойността на функцията. Когато тази първоначална промяна клони към нула, тогава предизвиканата промяна на функцията също клони към нула, а това отношение, отношението частно f към частно v ни дава наклона на тази допирателна права. Това е един добър начин за записване, но причината да използваме другия начин на записване като набла с индекс v1 е, че той ни подсказва как да изчислим производната, когато това е необходимо. Ако вземем градиента на f, само векторната функция, градиента на f, и ако го умножим скаларно по вектора... Всъщност да го направим, за да видим какво ще се получи. Ще го запиша ето тук, като ще използвам различен цвят. Градиентът на f, преди всичко, е вектор, чиито компоненти са частните производни на f – частната производна на f по отношение на х, и частната производна на f по отношение на у. За да намерим частната производна на f по отношение на х, приемаме, че х е променлива, а у е константа, така че частната производна е 2 по х, по у. Когато намираме частната производна по отношение на у, разглеждаме у като променлива, а х като константа, Производната на константа по променлива ни дава просто константата х на квадрат. Ако искаме да изчислим стойността в точката (-1; -1), тогава заместваме: 2 по минус 1, по минус 1, това дава 2. После минус 1 на квадрат дава 1. Това е градиентът в тази точка, което означава, че ако искаме да сметнем градиента на функцията f по вектор v – можем да дойдем ето тук – това е [2; 1]... ние намерихме градиента в точката, която ни интересува. След това намираме скаларното произведение, по вектор v в този случай, корен квадратен от 2, върху 2; корен квадратен от 2, върху 2. Отговорът, който получаваме – умножаваме първите два компонента 2 по, корен от 2, върху 2, е равно на корен от 2, плюс ... а после умножаваме вторите компоненти, това е 1 по корен от 2, върху 2... значи плюс корен от 2, върху 2, и това е отговорът – това е наклонът. Но това се получава само тогава, когато векторът е единичен вектор, което показах в предишния урок, където разгледахме формалното определение за производна по направление. Ако умножим вектор v по 2 – ето тук ще заместя вектор v с вектор 2 по v – първо ще си разчистя място. Ако търсим производната на f по направление 2 по v, начинът да я изчислим е като отново умножим скаларно градиента по 2 по вектор v, умножаваме ги скаларно, като можем да изнесем това. Това просто ще удвои стойността на цялото нещо. v, тук започваме с v, сега ще бъде 2 по стойността му, производната удвоява стойността си, но това не ни е нужно, защото виждаме, че тази равнина, с която правим сечение, вместо да е в направлението на вектор v, на единичния вектор, тя е в направлението на вектор 2 по v, а това е същата равнина, правим същото сечение. И ние искаме да имаме същия наклон, така че това ще обърка всичко. Много е важно, когато разглеждаме нещата в контекста на наклона, да не забравяме, че когато използваме формулата за наклона на графиката в направление на вектор v, за да намерим производната по направление, умножаваме скаларно функцията f и вектора v, и винаги задължително трябва да разделим на дължината на вектор v, да делим на неговата дължина. Така винаги ще получаваме това, което искаме, което е един начин да сме сигурни, че наистина намираме производната по направлението на даден единичен вектор. Някои хора даже дефинират производната по направление по този начин, като ето това, като нещо, в което нормализираме (посочва формулата, оградена в жълто) дължината на този вектор. На мен това не ми харесва, но мисля, че причината е, че те разсъждават в контекста на наклона, приемат скоростта на изменение като наклон на графиката. Както винаги, искам да подчертая, че графичната логика е нещо хубаво, визуалната логика е страхотна, винаги трябва да търсиш начин да разглеждаш нещата визуално, но при анализа на функции на много променливи графиката не е единственият инструмент. Можеш да разглеждаш нещата по-общо просто като малко преместване в посоката на вектор v, и когато вектор v няма дължина 1, тогава преместването не съответства на реалната дължина, а е някакъв мащабиращ коефициент по този вектор. Можеш да гледаш видеото с формалното определение за производната по направление, ако искаш повече информация за това. Но мисля, че това е добър начин да добием представа какво представлява производната по направление.