Оператор на Лаплас

Сега ще се запознаем с оператора на Лаплас, наричан още лапласиан или оператор делта. Операторът на Лаплас е такъв оператор, който действа по същия начин като операторите за диверегенция или за градиент, или за ротация, даже като операторите за производна. В тези оператори на входа има някаква функция и на изхода получаваме някаква друга функция. В този случай да кажем, че имаме функция на много променливи, например f, която има двумерен аргумент, f от х и у. Можеш да си представиш, че графиката ѝ е нещо подобно, където входното пространство е равнината ху, значи всяка от точките (х; у) лежи в тази равнина, а изходната стойност представлява височината на графиката. Операторът на Лаплас от f се записва като триъгълник с удебеление отдясно (делта). Резултатът от неговото действие е нова скаларна функция от х и у. Значи той ни дава нова функция, която на входа има двумерен аргумент, а на изхода има просто едно число. Той е като втора производна, защото по начина, по който е дефиниран, е дивергенцията на градиента на нашата функция f. Дефинира се като дивергенцията на градиента на f. Често ще виждаш това записано като обърнатия триъгълник набла – скаларното произведение на набла и набла от f. Спомни си, че ако f е една скаларна функция, тогава градиентът на f е векторно поле, някакво векторно поле. Но дивергенцията на векторно поле представлява отново някаква скаларна функция. По този начин това прилича на втора производна. Да видим дали можем да разберем логически значението на всичко това. Градиентът, спомни си, ни дава наклона на най-стръмното изкачване. Имаме векторно поле като входно пространство за х. Всеки един от векторите сочи по направлението, в което трябва да се придвижим, така че тази графика един вид е един хълм пред теб, който ти показва в каква посока да се движиш, за да достигнеш до целта си възможно най-бързо. Ако това ти е непознато или не разбираш логиката, ти препоръчвам да гледаш отново видео уроците за градиент и графики и каква е връзката между тях. За тази конкретна графика, която ти показвам тук, там, където имаме някакъв връх, с всички точки около него, посоката, която трябва да следваш, е към върха на този хълм. Когато имаме някаква вдлъбнатина, някакво дере ето тук, всички посоки, които трябва да следваш, за да се увеличи максимално бързо стойността на функцията, трябва директно да се отдалечиш от тази минимална стойност, която можем да наречем локален минимум. Сега временно ще скрия чертежа, за да можем да разгледаме полето на градиента много добре. Сега да помислим какво представлява дивергенцията. Дивергенцията – и пак повтарям, че ако това ти е непознато, трябва да се върнеш и да гледаш видео уроците за дивергенция – при дивергенцията си представяме, че това векторно поле съответства на някакъв флуиден поток. Представи си, че това са водни молекули и че във всеки даден момент те се движат по направление на вектор, който е свързан с тях. Например, ако имаме една водна молекула, която в началото се намира ето тук, започваме да се движим по направление на този вектор, после следваме векторите, които са около нея, и накрая тя изглежда се оказва ето тук. Изглежда, че на това място се събират много водни молекули. В същото време ето тук водните молекули се отдалечават, когато следват посоката на тези вектори, и се отдалечават от тази точка. Когато те се отдалечават по този начин, когато имаме много вектори, които сочат навън, това показва, че тук дивергенцията е положителна, защото те се отдалечават. Ето тук дивергенцията е положителна. В обратния случай, когато всички водни молекули един вид се събират в една точка, тогава имаме отрицателна дивергенция. В друга област, да кажем че това е някаква централна точка, в която някои молекули се приближават, но други молекули се отдалечават, като поне на тази илюстрация изглежда, че молекулите, които се отдалечават, не го правят нито по-бързо, нито по-бавно от тези, които се приближават. Така че тук ще има нулева дивергенция. Сега да помислим какво може да означава, когато разглеждаме дивергенцията на градиентното поле на f. Ще изтрия тези означения, които направих тук отгоре. Точките с голяма дивергенция, в които наблюдаваме голяма дивергенция – защо в тях векторите сочат навън? Ако отново покажа чертежа – причината те да сочат навън е понеже посоката на най-стръмното изкачване винаги е нагоре, а ние се намираме в долината. В обратния случай, когато дивергенцията е силно отрицателна, понеже молекулите се насочват към някаква точка, тогава защо векторите сочат към тази точка? Това е градиентът на полето, така че те сочат към тази точка, защото от всяка точка наоколо трябва да се движим по посока нагоре към върха на хълма. С други думи, дивергенцията на градиента е много висока в точките, в които имаме някакъв минимум, където всички околни точки са по-високо. Но дивергенцията на градиента е ниска в точките, които приличат на максимум, защото когато изчислим функцията във всички околни точки на тази входна точка, тогава ще получим по-малка стойност. Този оператор на Лаплас е един вид мярка за това колко минимална е тази точка (х; у). Лапласианът ще има голяма положителна стойност, когато стойността на f в тази точка е по-малка от стойностите на f, изчислени в съседните точки. Стойността на оператора на Лаплас ще бъде много отрицателна, ако стойността на f в дадената точка е по-голяма от стойностите на функцията в съседните точки. Това е донякъде аналогично на втората производна в математическия анализ, когато имаме някаква графика, или просто някаква функция на една променлива, тогава втората производна на f ще бъде малка, ще има отрицателна стойност в точките, в които имаме локален максимум. Но ето тук втората производна на f ще бъде положителна за точките, в които има локален минимум. По същата причина лапласиан също е един вид аналогичен на втора производна за скаларни функции на много променливи. В следващото видео ще разгледаме конкретни примери за лапласиан.