Основно съдържание

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 2

Урок 3: Частни производни и градиент (статии)

Частни производни (въведение)

Какво представлява частната производна, как се изчислява и какво означава?

Преговор

Основни идеи

За функция на много променливи, например $f (x; y) = x^{2} y$ ‍, частните производни се пресмятат по следния начин:

\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x} & = \underset{\begin{array}{c} Разглеждаме y като константа; \\ диференцираме по х. \end{array}}{\underset{⏟}{\frac{\partial}{\partial x} x^{2} y}} = 2 x y \\ \frac{\partial f}{\partial y} & = \underset{\begin{array}{c} Разглеждаме x като константа; \\ диференцираме по у. \end{array}}{\underset{⏟}{\frac{\partial}{\partial y} x^{2} y}} = x^{2} \cdot 1 \end{aligned}

Използваме символа $\partial$ ‍ (наричан "дел"), за да разграничим понятията обикновена и частна производна. С други думи – да ги диференцираме :)
Въвеждаме този нов вид производна, тъй като когато разглеждаме функция на много променливи, искаме да знаем как стойностите на функцията се променят спрямо всяка една от променливите, когато останалите аргументи са константи.
В контекста на тримерните графики на функции, частната производна $\frac{\partial f}{\partial x}$ ‍ е наклонът на сечението на графиката с равнина с константна стойност на $y$ ‍.

Какво е частна производна?

Допускаме, че вече знаем всичко за обикновената производна

\frac{d f}{d x}

на функцията

f

с една променлива. Този запис на производната според мен е най-интуитивен от всички, защото:

Разглеждаме $d x$ ‍ като "малка промяна в стойността на $x$ ‍".
Разглеждаме $d f$ ‍ като "малка промяна на стойността на $f$ ‍", имайки предвид резултата от изместването $d x$ ‍.

Всъщност, ако познаваш достатъчно добре тази интерпретация на записа

\frac{d f}{d x}

, то всяка друга разновидност на производната ще ти звучи логично.

Например на графиката на

f

"отношението"

\frac{d f}{d x}

е наклонът на графиката на

f

като функция на точката, в която го измерваме.

Как изглежда това обяснение за функции на много променливи?

Нека разгледаме следната скаларна функция на две променливи:

f (x; y) = x^{2} - 2 x y

Нищо не ни спира да напишем същия израз

\frac{d f}{d x}

и да следваме същите дефиниции:

$d x$ ‍ е малка промяна в стойността на $x$ ‍, която този път е само единият от двата аргумента.
$d f$ ‍ е съответната промяна в стойността на функцията $f (x; y)$ ‍.

До тук обаче пренебрегвахме факта, че функцията има още една променлива,

y

. Тъй като дефиниционното множество на функцията е многомерно, можем да променяме аргументите в най-различни посоки, а не само по оста

x

. Какво става, ако променим аргумента

y

d y

? Сега

d f

е промяната в стойността на функцията като резултат от изместването

d y

и производната е

\frac{d f}{d y}

Нито една от двете производни не описва напълно поведението на функцията

f (x; y)

спрямо малки премествания на аргументите ѝ, откъдето идва името частна производна. За да подчертаем разликата, отсега нататък ще използваме символа $\partial$ ‍ вместо $d$ ‍. Например двете частни производни на гореспоменатата функция са

\frac{\partial f}{\partial x}

\frac{\partial f}{\partial y}

Символа

\frac{\partial f}{\partial x}

четем като "частната производна на

f

спрямо

x

\begin{matrix} Може да се разглежда като \\ "малка промяна на \\ изходната стойност на функцията" \\ \begin{matrix} \begin{matrix} Използва се вместо "d" в \\ означението \frac{d f}{d x} за производна, \\ за да се подчертае разликата, че \\ че това е частна производна. \end{matrix} & \begin{matrix} ↗^{\overset{⏞}{\partial f}} ↖ \\ — \\ ↘_{\underset{⏟}{\partial x}} ↙ \end{matrix} & \begin{matrix} Функция \\ на много променливи \\ Показва коя \\ входна променлива \\ се променя с малко. \end{matrix} \end{matrix} \\ Може да се разбира като \\ "малка промяна на x " \end{matrix}

Пример: Пресмятане на частна производна

Нека разгледаме следната функция:

f (x; y) = x^{2} y^{3}

Нека пресметнем

\frac{\partial f}{\partial x}

, частната производна по

x

, в точката

(3; 2)

"Чакай! Но аз не знам как!"

Не се притеснявай, процесът е почти същия като при обикновената производна.

Търсим скоростта, с която стойността на

f

се променя при малко изместване на аргумента

x

, да речем от

(3; 2)

до

(3, 01; 2)

Тъй като изместването е в посока

x

, за нас

y

-координатата е константа. Всъщност можем веднага да заместим

y = 2

, даже преди да пресметнем производната.

f (x; 2) = x^{2} (2)^{3} = 8 x^{2}

Сега търсим просто обикновената производна на функцията

f

по вече единствената променлива

x

Концепция за проверка

Каква е стойността на производната на функцията $f (x; 2) = 8 x^{2}$ ‍, изчислена за $x = 3$ ‍?

Без предварително заместване на $y$ ‍

Сега ще намерим

\frac{\partial f}{\partial x}

в неопределена точка. С други думи, търсим функция, чиито аргументи са всички допустими стойности на

(x; y)

и чиито стойности съответстват на скоростта на изменение на

f

при малка промяна на аргумента

x

Започваме по същия начин, разглеждайки

y

като константа. Този път обаче не можем да заместим конкретна стойност

y = 2

както преди. Вместо това, нека си представим, че

y

е константа, и директно пресметнем производната:

\frac{d}{d x} f (x; y) = \underset{Разглеждаме y като константа}{\underset{⏟}{\frac{d}{d x} (x^{2} y^{3})}} = 2 x y^{3}

Дотук добре, само че тъй като това е частна производна, използваме

\partial

вместо

d

\frac{\partial}{\partial x} f (x; y) = \frac{\partial}{\partial x} (x^{2} y^{3}) = 2 x y^{3}

Сега можеш да заместиш

(3; 2)

и да сравниш с отговора, получен по-горе.

"Е, каква е разликата между

\frac{d}{d x}

\frac{\partial}{\partial x}

? И в двата случая правим едно и също."

Честно, в самото пресмятане няма никаква разлика. Но символът

d

е дефиниран само за функции на една променлива. За щастие, щом стане въпрос за интуитивното значение на производната, единствената разлика е в типа на функцията, която диференцираме.

Графично представяне на частната производна

Нека разгледаме следната функция:

f (x; y) = \frac{1}{5} (x^{2} - 2 x y) + 3

Ето как изглежда тримерната графика на тази функция.

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Да кажем, че се интересуваме от частната производна на

f

по

x

в точката

(2; 0)

\frac{\partial f}{\partial x} (2; 0)

Какво ни казва тази производна за графиката на

f

в точката

(2; 0)

Разглеждаме $y$ ‍ като константа $\to$ ‍ правим сечение на графиката с равнина

При пресмятане на производната разглеждаме аргумента

y

като константа. Съответно за точката

(2; 0)

имаме

y = 0

. В тримерното пространство множеството, определено от това уравнение, е равнина перпендикулярна на оста

y

, минаваща през началото на координатната система.

Равнината

y = 0

, изобразена в бяло, отсича парабола от графиката на

f (x; y)

(параболата е показана в червено). Производната

\frac{\partial f}{\partial x}

е равна на наклона на допирателната към параболата. Защо? Тъй като

\partial x

отново е малка промяна на

x

, а

\partial f

е съответната промяна в крайната стойност на функцията в посока

z

Подобно е значението и на другата производна

\frac{\partial f}{\partial y}

в точката

(2; 0)

. Множеството, за което

x = 2

, също е равнина, но този път перпендикулярна на оста

x

и минаваща през точката

x = 2

. Тази равнина отсича друга крива от графиката и

\frac{\partial f}{\partial y}

е наклонът на тази крива.

Въпрос за размисъл

Отдясно "кривата", образувана при пресичането на графиката на функцията

f (x; y) = \frac{1}{5} (x^{2} - 2 x y) + 3

с равнината, дефинирана от

x = 2

, изглежда като права линия.

Наистина ли това е права?

Частната производна

\frac{\partial f}{\partial y}

в точката

(2; y)

ни дава наклона на правата,

- \frac{4}{5}

, без значение каква е стойността на

y

. Всъщност частната производна на тази функция не зависи от

y

\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial y} & = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{1}{5} (x^{2} - 2 x y)) \\ = \frac{1}{5} (0 - 2 x) \\ = - \frac{2}{5} x \end{aligned}

Графично това означава, че за различни стойности на

x

съответните сечения на графиката винаги ще бъдат прави, тъй като производната е константа спрямо променливата

y

. Нещо повече, наклонът на тази права е

- \frac{2}{5}

пъти разглежданата стойност на

x

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Математически език

Ето някои от начините за произнасяне на израза

\frac{\partial f}{\partial x}

"Частната производна на $f$ ‍ спрямо $x$ ‍"
"Частната производна на $f$ ‍ по $x$ ‍"
"Де-f, де-x"
"Дел-f, дел-x"

Друг начин за записване

За обикновената производна

\frac{d f}{d x}

понякога използваме съкратения запис

f^{'}

. За частни производни използваме следните означения:

\begin{aligned} f_{x} & \leftrightarrow \frac{\partial f}{\partial x} \\ f_{y} & \leftrightarrow \frac{\partial f}{\partial y} \\ f_{⟨ някаква променлива ⟩} & \leftrightarrow \frac{\partial f}{\partial ⟨ същата променлива ⟩} \end{aligned}

Бележка относно "дел" (del)

Въпреки че е прието символът

\partial

да се нарича "del", това може да е объркващо, защото "del" се използва и за символа "набла"

\nabla

, с който ще се запознаем в следващата статия.

Формална дефиниция

Макар че е полезно да разглеждаме

d x

\partial x

като малки промени на стойността на

x

, дойде време да се сблъскаме и с точната математическа дефиниция. На коя граница е равна производната

\partial x

В математическия анализ понятието "малко изместване" или "малка промяна на стойността" се разглежда като граничната стойност, когато това изместване клони към нула. Например обикновената производна е равна на следната граница:

\begin{array}{r} \frac{d f}{d x} (x_{0}) = lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h} \end{array}

$h$ ‍ е съответното "малко изместване", което наричаме $d x$ ‍.
$h \to 0$ ‍ означава, че търсим границата, когато $h$ ‍ клони към $0$ ‍.
$f (x_{0} + h) - f (x_{0})$ ‍ е промяната на стойността на функцията, която наричаме $d f$ ‍.

Дефиницията на частната производна изглежда почти по познатия ни начин. Ако

f (x; y, \dots)

е функция на много променливи, то една от нейните частни производни изглежда така:

\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x} (x_{0}; y_{0}; \dots) & = lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h; y_{0}; \dots) - f (x_{0}; y_{0}; \dots)}{h} \end{aligned}

Аналогично, частната производна по

y

изглежда така:

\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial y} (x_{0}; y_{0}; \dots) & = lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0}; y_{0} + h; \dots) - f (x_{0}; y_{0}; \dots)}{h} \end{aligned}

Идеята е, че

h

, малката промяна в стойността на аргумента, се добавя към съответната променлива, спрямо която пресмятаме производната.

Това е формалната дефиниция на частната производна.

Въпрос за размисъл: Какво означава тази дефиниция за графиката на функцията? Какво е

h

? Какво означава границата

h \to 0

Обобщение

За функция на много променливи, например $f (x; y) = x^{2} y$ ‍, частните производни се пресмятат по следния начин:

\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x} & = \underset{\begin{array}{c} Разглеждаме y като константа; \\ диференцираме по х. \end{array}}{\underset{⏟}{\frac{\partial}{\partial x} x^{2} y}} = 2 x y \\ \frac{\partial f}{\partial y} & = \underset{\begin{array}{c} Разглеждаме x като константа; \\ диференцираме по у. \end{array}}{\underset{⏟}{\frac{\partial}{\partial y} x^{2} y}} = x^{2} \cdot 1 \end{aligned}

Използваме този символ $\partial$ ‍, който прилича на извита буква 'd', и често го наричаме "дел" (del), за да различаваме частните производни от обикновените производни на функции с една променлива.
Въвеждаме този нов вид производна, тъй като когато разглеждаме функция на много променливи, искаме да знаем как стойностите на функцията се променят спрямо всяка една от променливите, когато останалите аргументи са константи.
В контекста на тримерните графики на функции частната производна $\frac{\partial f}{\partial x}$ ‍ е наклонът на сечението на графиката с равнина с константна стойност на $y$ ‍.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Анализ на функции на много променливи

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 2

Преговор

Основни идеи

Какво е частна производна?

Как изглежда това обяснение за функции на много променливи?

Пример: Пресмятане на частна производна

Без предварително заместване на y‍

Графично представяне на частната производна

Разглеждаме y‍ като константа →‍ правим сечение на графиката с равнина

Математически език

Друг начин за записване

Бележка относно "дел" (del)

Формална дефиниция

Обобщение

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Без предварително заместване на $y$ ‍

Разглеждаме $y$ ‍ като константа $\to$ ‍ правим сечение на графиката с равнина