Функции на много променливи

Привет! Приветстваме те в математическия анализ на функции с много променливи. Мисля, че трябва да започнем със слона в стаята. Аз, за съжаление, не съм Сал, но все пак ще те науча на малко математика. Казвам се Грант. Аз съм голям почитател на математиката. Обичам да правя анимации на нещата, когато е възможно, а това е много полезно, когато става въпрос за анализ на функции с много променливи. Първото нещо, с което веднага се сблъскваме, е понятието много (две или повече) променливи, което разделя математическия анализ, както знаем, и имаме тази нова тема, която сега ще учим. Бих казал, че всичко опира до функции с много променливи, но това не отговаря на въпроса, защото какво е функция с много променливи? Принципно, функциите, с които сме свикнали да работим досега в обикновения математически анализ, имат един аргумент, някакво число, което е техен аргумент, и после функцията връща едно единствено число. Можем да наречем това функция с една променлива. Това тук е една единствена променлива. Функция с много променливи е нещо, което включва две или повече променливи. Знаеш, че обикновено ги записваме като х, у, всъщност не е важно какви букви използваме, може да са х, у, z. х_1, x_2, x_3, цял куп неща, но като начало, често разглеждаме само две променливи, и изходният резултат на функцията ще зависи и от двете. Обикновено ще получим просто едно число, така че си представи число, което зависи по някакъв начин от х и у, например х^2 + у, а резултатът може да е вектор, нали? Можеш да си представиш нещо, което има множество аргументи, f(х, у), и резултатът също зависи от тези променливи, като, тук просто си измислям, например 3х + 2у. Това не е изсечено в камък, но е прието обикновено да се счита, че ако има няколко стойности, които участват в резултата, например ако е вектор, ако тези няколко стойности, които са аргументи, ще ги напиша ето така малко встрани, представи си ги като точки в пространството. Защото, когато гледаш нещо като това ето тук, и имаш х и у, можеш да си ги представиш като две различни числа. Това е числовата ос, като точката х е някъде върху нея, може би това е 5, може би е 3, това няма значение. После имаш друга числова ос, това е у, и можеш да си ги представиш като отделни числа. Но може би е по-точно да наричаме това математически анализ на функции на много променливи, защото, практически, вместо да разглеждаме тези х и у като различни неща, всеки път, когато видим нещо като това, ще разглеждаме равнина х,у. И да си представим една отделна точка. Можеш да разглеждаш това като функция, която приема точката като число, или точката като вектор. Много хора, когато започнат да преподават анализ с много променливи, те просто скачат в анализа, и тук има много забавни неща, частни производни, градиенти, интересни неща, които ще учиш. Но аз възнамерявам първо в няколко видеоурока да разгледаме различните начини да визуализираме различните функции с две или повече променливи. Така че аз малко предварително ще разгледам част от тях наистина много бързо, само да разпаля любопитството ти и да видим какво предстои. В следващите няколко видеа ще ги разгледаме много, много подробно. Първо: графики. Когато имаме функция на много променливи, графиките стават тримерни. Но това се отнася само за функции, които са двумерни, т.е. имат два аргумента на входа, които можем да си представим, че са разположени в тази ху равнина, и за всяка двойка (х, у) имат едно- единствено число като резултат, като височината на графиката съответства на този резултат. Ще можеш да научиш много повече за това в специалното видео по темата, но тези функции също така могат да бъдат визуализирани само в две измерения, като "сплескаме" нещата. Там визуализираме цялото входно пространство в съответстващ цвят за всяка точка. Такъв е случаят, в който имаме някаква функция, в която има двумерен вход, например f(х, у) тук виждаме равнината ху, цялото входно пространство, а този резултат е просто някакво число, например като х^2, тук конкретно е х^2, но ти знаеш, че може да е и нещо по-сложно, а цветът показва приблизително размера на резултата, а тези линии, наречени контурни линии, ни показват кои входни аргументи имат еднаква изходяща стойност. Повтарям, че това ще го разглеждаме много по-подробно. Това са много хубави графики, много по-удобни от тримерните графики, просто да спомена. После ще разглеждаме повърхнини в тримерно пространство. Те приличат на графиките, но всъщност са нещо съвсем различно, което можеш да си представиш, когато чертаеш в две измерения, като аз обичам да ги сплесквам един вид. Тук имаме един вид двумерен вход, който се движи в три измерения, и тук виждаш как изглежда изходът на това, без да обръщаме внимание как сме го получили. наричат се още параметрични повърхнини. Друго интересно нещо са векторните полета, където всяка входна точка е свързана с някакъв вектор, което е изходът на функцията тук. Значи това е функция с двумерни входящи стойности, и двумерни изходящи стойности, защото всички тези са двумерни вектори. Забавната част с тях е, че ти един вид можеш, да си ги представиш като флуиди, които се движат, това все едно са куп капчици, като вода, които сякаш текат насам. И това един вид ни дава представа за определящата ги функция. Това е едно от красивите неща, свързани с анализа с много променливи. Ще имаме много работа с това. Сега един вид просто разпалвам апетита ти. Не се притеснявай, ако не ти става ясно на момента. Един от най-любимите ми начини да разсъждавам за функциите на много променливи е просто да взема входното пространство, в този случай това е функция, която има за входни стойности точки в двумерно пространство, и да ги гледам как се движат към изхода, така че това е функция, която също така има изход в две измерения. Аз просто ще наблюдавам всяка отделна точка как се движи натам, където трябва да отиде. Това изглежда доста сложно, поне в началото, но като добиеш повече опит с тях, те всъщност са много интересни, и имат чудесна връзка с линейната алгебра. Повечето хора, които учат анализ с много променливи, или в бъдеще, или едновременно с него, ще учат също и линейна алгебра, но разглеждането на функциите като трансформации е чудесен начин за връзка между двете. След казаното дотук, ще спра да скачам по тези теми набързо и в следващите видео уроци ще ги разгледам много по-подробно, като се надявам, че ще придобиеш добра представа какво представляват функциите на много променливи.