Параметрични криви

Да разгледаме още визуализации на функции. Да кажем, че е дадена функция, която има само един аргумент t. Нейната изходна стойност е някакъв вектор. Векторът зависи от t. Компонентът х на вектора е t по косинус от t. Компонентът у на вектора е t по синус от t. Това е пример за параметрична функция. Може би трябва да кажа параметрична функция с един параметър. Параметър е просто друг термин за аргумент на функцията. Един параметър. В този случай t е единствен параметър. Това, което прави тази функция параметрична, е че когато искаме да начертаем графиката ѝ, стойността на функцията е многомерна. Може би си мислиш, когато трябва да си представиш нещо такова, че тук реално имаме едномерен аргумент, а имаме двумерна стойност на функцията. хайде да построим графиката. Това означава да вземем тези три стойности и да ги начертаем. Но това, което е даже още по-добро, е да разгледаме пространството на стойностите на функцията. В този случай пространството на стойностите на функцията е двумерно. Ще начертая една координатна равнина. Сега да изследваме функцията в няколко различни точки и да видим как изглежда. Може би най-лесното място да я изследваме е нула. f от 0 е равно на... и за двата компонента имаме нула по нещо. Нула по косинус от нула е просто нула. Нула по синус от нула също е просто нула. На тази входяща стойност съответства тази изходяща стойност. Можеш да си го представиш като вектор, който е безкрайно малък или просто е точката в началото на координатната система, който начин си избереш. Да видим друга точка, за да добием представа какво друго може да се случи. Ще избера пи върху 2. Причината да избера пи върху 2 от всички възможни числа, е това, че знам стойностите на функциите синус и косинус от пи върху две. Значи t е равно на пи върху 2, косинус от пи върху две... Вероятно се чудиш колко е косинус от пи върху 2 и колко е синус от пи върху 2. Можеш да начертаеш една единична окръжност, за да определиш това. Опа. Проблем е да пиша, докато говоря. Синус от пи върху две. Знаем, че ако начертаем единичната окръжност, тогава пи върху две ще ни отведе на една четвърт оборот. Това е ето тук. Косинус от пи върху 2 е равно на х-компонентът на тази точка. Така че първият компонент става просто нула. Синус от пи върху две е у-компонентът на тази точка. Синус от пи върху две е равно на едно. Това означава, че нашият вектор като цяло има х-компонент нула и после у-компонент пи върху две. Как ще изглежда това – знаем, че у-компонента е пи върху две, което ще бъде 1,7 ето тук горе. Нямаме х-компонент. Ще получим този вектор. Сигурно се досещаш, че ако направиш това за всички различни точки като аргумент на функцията, ще получиш много различни вектори с различни посоки и дължини. Ако ги начертаеш, няма да начертаеш просто стрелките, защото това са цял куп вектори. Така че просто ще нанесем точките, които съответстват на изходните стойности, просто върховете на всички вектори. Сега тук ще ти покажа една анимация. Само малко да почистя дъската. Ще ти покажа една анимация, в която t ще принадлежи на интервала от 0 до 10. Ще го запиша. Стойностите на t започват от нула и стигат до 10. Сега просто ще видим кои стойности, кои вектори принадлежат на множеството от стойностите на функцията. Каква крива се получава, когато свържем върховете на тези вектори? Ето я анимацията. Всички входни стойности са в интервала от 0 до 10. И получаваме тази спирална крива. Може би се чудиш защо стойностите на косинус от t и синус от t, мащабирани с коефициент t, дават тази спирала. Това означава, че когато t е нула, имаме тази нула ето тук. Когато t е 10, тогава стойността е ето тук. Недостатъкът на построяването на графиката по този начин е, че никога не знаем какви са междинните стойности. Просто един вид се досещаме. Може би за едно стойността е ето тук. Може би за две е ето тук. И един вид се надяваш, че те са равномерно разпределени, когато се движим ето тук. Но тази информация не ни е известна. Губим информацията за аргумента. Получаваме формата на кривата. И ако искаш, досещаш се, ако търсим аналитичен начин да опишем кривата, съществуват някои параметрични функции, които са подходящи. Като не те интересува скоростта на изменение. Но само да ти покажа кога тя може да има значение, ще анимирам отново същото нещо – друга функция, която дава същата крива. Но тя започва наистина много бързо да се изменя, след което се забавя. Тази функция не е точно t по косинус от t, t по синус t, както първоначалната ни функция. Всъщност, това означава, че... само да изтрия това. Когато започва бавно, можем да кажем, че може би... Всъщност тя започна бързо, нали? За едно трябва да е стигнала доста далече ето тук. После за 2 идва ето тук. За 3, виждаш – все още се изменя много бързо. Но по времето, когато достигнеш до края, тя започва да се изменя много бавно, например 7 е ето тук, 8 е ето тук, като почти не напредва, когато достига до 10. Така че може да има две различни функции, които да притежават една и съща крива. Тук специфичният термин е "параметризация". Функцията параметризира дадена крива, ако, когато представяме графично стойностите на функцията, получаваме тази крива. В следващото видео ще ти покажа, че може да съществуват функции с двумерни входни данни и тримерни изходни стойности, които създават повърхности в тримерно пространство.