Въведение в комплексно спрегнатите числа

Искам набързо да уточня един термин и после ще обясня нови умения за действия с комплексни числа. В първото видео за комплексното число, записано като a + bi, използвах един термин, който трябва да се ползва по-внимателно. Аз го използвах разговорно, но си има и своето формално значение. Очевидно реалната част на това комплексно число е а. Ограждам реалната част. Също е ясно, че числото е съставено от реално число плюс имагинерно число. Разговорно казано, нарекох това имагинерна част. Използвах имагинерна част за цялото число bi, но тук искам да съм по-внимателен. За да сме точни, как използваме функцията, която ни дава реалната част на z. Тя е равна на а. Функцията за имагинерната част на z ни дава за резултат -- говорехме за това в първото видео -- числото, по което е умножено i, това е само b. Във формалния смисъл на термина имагинерна част, той означава само числото, по което е умноженo i. Но когато мисля за комплексно число, аз мисля за сбора на едно реално число и едно имагинерно. И ако някой ме попита коя част от това число е имагинерно число, щях да посоча цялото събираемо: bi. Но ако въпросът е формулиран „намери имагинерната част“, то тук се има предвид тази функция, и отговорът е b. Надявам се това да изясни нещата. Честно казано, смятам термина „имагинерна част“ за неподходящо именуван, защото цялото събираемо е имагинерно число. Това b не е имагинерно число, но е имагинерната част. То е обикновено реално число. Реалният коефициент пред i. Можеха просто да го нарекат „коефициент пред имагинерната част на z“. Все пак, с това разяснение, искам да въведа термина „комплексно спрегнато“. Ако това е числото z, неговото комплексно спрегнато ще се обозначи като z с чертичка отгоре. Понякога се обозначава просто с малка звездичка. Това е равно на а - bi. Да видим как изглежда на диаграмата на Арганд. Това е реалната ос. А това е имагинерната ос. Да намеря графиката на z. Тази височина е b. Тази ширина е a. Това е числото z. Спрегнатото на z е а - bi. Значи по реалната ос имаме а, но има минус пред имагинерната си част b. Ето така. Това е комплексно спрегнатото на числото z. Можем да си представим нагледно комплексно спрегнатото число като симетричен образ на самото число спрямо оста х, реалната ос. Може да си представиш тази ос като езеро, в което виждаш отражението на комплексното число. Можем да използваме тази графика, за да направим нагледно събиране на числото и спрегнатото му. Можем да ги разглеждаме като позиционни вектори. За да съберем z и неговото спрегнато, взимаме този вектор и го преместваме начало към край. Така събираме z и неговото спрегнато. Полученият вектор с край в тази точка е сбора на z и спрегнатото на z. Можеш да видиш на чертежа, че тази точка е 2а. Нека го изчислим алгебрично. Прибавяме към z, това е а + bi, неговото спрегнато, което е a - bi, какво ще получим? Тези две имагинерни числа се унищожават едно друго. Остава само 2 пъти по а. Можем да го представим обобщено. Всяко комплексно число, събрано с неговото спрегнато е равно на 2 пъти реалната част на това комплексно число. Това също е равно на 2 по реалната част на спрегнатото, защото имат еднакви реални части. Като знаем това, нека помислим за какво са ни полезни комплексните спрегнати. Например при деление: имам 1 + 2i делено на 4 - 5i. Не е очевидно как да опростим този израз. Но не ми харесва да имам i в знаменателя. Искам да преобразувам израза като едно комплексно число. Когато разделям две комплексни числа, резултатът трябва да е пак комплексно число. Но как да го намеря? Мога да умножа числителя и знаменателя по спрегнатото на знаменателя. Умножавам по 4 + 5i / 4 + 5i. Очевидно така умножавам по 1, тъй като имам еднакви числа. Това ни върши работа, защото като умножа знаменателя по неговото спрегнато, ще получа реално число в знаменателя. Нека го направя. Умножавам този израз. В числителя имам 1 по 4 + 5i и 2i по 4, това е 8i, плюс 2i по 5i, това е 10 по i на квадрат, или -10i. В знаменателя имаме израз под формата на a - bi по a + bi. Той става а на квадрат минус b на квадрат. При нас това е 4 на квадрат, или 16... ...тук съм объркал, не трябва да е 4i, това е 4 + 5i. Поправям го. Нали умножихме с частно от две еднакви числа. A горе съм забравил нулата, имах -10. Сега, това е спрегнатото. Бях го объркал с толкова четворки, поправих го вече. Умножението е по 4 + 5i / 4 + 5i. Да умножим знаменателя. Той има форма а - bi по a + bi, което е 4 на квадрат минус 5i на квадрат. Сега да опростим числителя. Да съберем реалните части. 4 - 10 е -6, 5i + 8i e равно на 13i. Това са имагинерните части. В знаменателя е 16 минус квадрата на 5i, i на квадрат е –1, значи 5i на квадрат е –25. Двата минуса се съкращават, става 16 + 25. В знаменателя е 41. Сега можем да го запишем като комплексно число. То е -6/41 плюс 13/41 по i. Успяхме да разделим тези две комплексни числа. Тук използвахме свойството на умножението на комплексно число по неговото комплексно спрегнато. Очевидно спрегнатото на спрегнатото е първоначалното число. Когато взема произволно комплексно число и го умножа по неговото комплексно спрегнато, това ще е а + bi по a - bi, ще получа реално число. Това число ще е а на квадрат минус bi на квадрат, равно на а на квадрат минус, имам минус b на квадрат, общо два минуса, които се унищожават: а на квадрат + b на квадрат. Любопитно е, че това е равно на квадрата от големината на комплексното число. Това е красиво свойство. То прави спрегнатите много полезни, особено при опростяване на дроби от комплексни числа. Надявам се това да ти беше от полза.