Въведение в границите, клонящи към безкрайност

Вече имаме много опит в намирането на граници на функции, т.е. ако търся границата на f(x). Това, върху което ще помислим, е: към какво клони f(x), когато x клони към някаква стойност a? Това ще бъде равно на някаква граница. Всичко, което сме правили досега, е когато a е крайна стойност. Но когато гледаш към графиката на функцията f точно ето тук виждаш, че нещо интересно се случва. Когато x става все по-голяма и по-голяма стойност изглежда, че функцията f се приближава все по-близо до 2. Изглежда, че имаме хоризонтална асимптота в точката y = 2. Подобно, когато x става повече и повече отрицателно, също изглежда, че имаме хоризонтална асимптота в точката y = 2. Има ли някакво означение, което може да използваме, когато мислим за това каква е графиката, когато x става много по-голяма стойност, или когато x става все по-малка и малка стойност. И отговорът тук е "граници в безкрайност". Ако искаме да помислим каква е тази графика, към какво клони функцията, когато x нараства все повече, може да мислим за границата на f(x), когато x клони към плюс безкрайност. Следователно това е означението, а аз няма да ти предоставя формалното определение за това точно сега. В бъдещи уроци може да го направим. Но идеята е, когато x нараства все повече и повече, изглежда ли, че функцията клони към някаква крайна стойност, така че да имаме хоризонтална асимптота там? И в тази ситуация изглежда, че клони. Изглежда, че клони към стойността 2. И за тази конкретна функция границата на f(x), когато x клони към минус безкрайност, също изглежда, че клони към 2. Тези стойности не винаги ще бъдат същите. Може да имаш случай, може би имахме, когато имаш друга функция. Нека да начертая една хоризонтална асимптота точно ето тук. Може да си представиш функция, която изглежда ето така. Ще я направя по този начин и може би прави нещо смахнато като това. След това слиза надолу и прави нещо такова. Тук границата, когато x клони към безкрайност, все още е 2, но границата, когато x клони към минус безкрайност, точно ето тук, ще бъде –2. Разбира се, има много случаи, при които, когато се приближаваш към безкрайност или минус безкрайност, всъщност не се приближаваш към някаква крайна стойност. Нямаш хоризонтална асимптота. Но целта на този урок е просто да те запознае с това означение. И граници в безкрайност, или може да кажеш граници в минус безкрайност, имат различно формално определение, отколкото някои от границите, които разглеждахме преди, при които се приближаваме към крайна стойност. Но интуитивно имат смисъла, че това са именно граници.