Въведение в обратни матрици

Когато просто умножаваме обикновени числа, знаем какво означава понятието реципрочна стойност. Например, ако имаме числото две и го умножим по неговата реципрочна стойност, ще получим едно. Или ако вземем просто някакво произволно число а, различно от нула, и го умножим по реципрочната му стойност, която не е равна на нула, отново ще получим едно. Единицата е число, което, ако го умножим по всяко друго произволно число, ще получим отново първоначалното число. Това е интересно и стои дълбоко в спомените ни, след като сме го учили преди много, много години. Обаче има и нещо друго, което сме виждали при изучаването на функции. Знаем, че ако имаме някаква функция, да я означим с f(х), която ни отвежда от някакво множество от аргументи, което наричаме дефиниционно множество, в друго множество, наречено множество от стойностите на функцията, тогава в много случаи, но не винаги... значи това е функцията f(х), която ни отвежда от х до f(х). В много случаи, но не винаги, съществува друга функция, която ни връща обратно. Тази друга функция наричаме обратна функция на f. Ако приложим обратната функция на f към f(х), ще се върнем там, откъдето сме тръгнали. Ще се върнем отново в х. Знаем също така, че това важи и в обратната посока. Например, ако имаме f от обратната функция на f от х, тогава отново ще получим х. Възниква логичният въпрос дали има аналог на обратната функция или на реципрочната стойност при умножението на числа, когато работим с матрици. Да помислим върху няколко възможности. Да си представим една матрица като трансформация, за което вече сме говорили. Когато разглеждаме матриците като трансформации, те по същество са функции. Това са функции, които взимат една точка в пространство с определена размерност, например координатната равнина, и пренасят тази точка в друга точка и трансформират вектор в друг вектор. Например, да си представим трансформация, която е ротация на 90 градуса по часовниковата стрелка. Знаем как да конструираме матрицата на трансформацията, която на практика е функция. Това, което прави тя, е, че нашата матрица на трансформацията ни показва какво се случва с единичния вектор [1;0], както и какво се случва с единичния вектор [0; 1], когато приложим трансформацията. Когато приложим ротация на 90 градуса по часовниковата стрелка, тогава единичният вектор [1; 0] ще дойде ето тук. Така той се превръща във вектора [0; -1]. Ще го запиша ето тук. Векторът [0; 1] се превръща във вектора [1; 0]. Ще го запиша. Това е ротация на 90 градуса по посока на часовниковата стрелка. Сега можем да разгледаме как би изглеждала ротация на 90 градуса обратно на часовниковата стрелка, когато се движим обратно на часовниковата стрелка, тогава първоначалният вектор [1; 0], който е ето тук, ще се премести ето тук. Той се превръща във вектора [0; 1]. Ще го запиша ето тук. После векторът [0; 1] става ето този вектор, ако извършим ротация на 90 градуса обратно на часовниковата стрелка, тогава той става векторът [-1; 0]. На теория тези две трансформации би трябвало да се компенсират взаимно. Ако извърша трансформация, която първо завърта на 90 градуса по часовниковата стрелка, а после приложа трансформация, която завърта на 90 градуса обратно на часовниковата стрелка, би трябвало да се окажа там, където съм бил в началото. Сега да видим какво се случва, когато комбинираме тези две трансформации, което знаем как се прави. Вече сме разглеждали това. По същество ние умножаваме тези две матрици. Ако трябва да умножиш матрицата [0; -1; 1; 0] (записва матрицата по стълбове) по матрицата [0; -1; 1; 0], (записва матрицата по редове) какво се получава? Добре, да видим – тук горе вляво това е съставяне на две матрици с размер 2 х 2, което е еквивалентно на това да ги умножим, както сме виждали в предишни видео уроци. Първо ще разгледаме този ред и този стълб, (огражда ги) това е нула по нула, плюс 1 по 1. Значи това дава 1. След това взимаме този ред и този стълб. 0 по минус 1, плюс 1 по нула, това е просто нула. След това ще умножим този ред по всеки от тези стълбове. (огражда реда в червено) Минус 1 по 0 е 0, плюс 0 по 1, което дава 0, след това минус 1 по минус 1 дава 1, плюс 0 по 0, всичко това дава 1. Да видим какво се случва, когато комбинираме тези две матрици, които би трябвало да се компенсират взаимно, да видим дали това е така. Получаваме тъждествена трансформация (идентитет) или единичната матрица (квадратна матрица, чиито елементи по главния диагонал са единици, а останалите - нули) Знаем, че тази матрица ето тук, разглеждана като трансформация просто ще изобрази всичко в самото него. Това е наистина интересно, защото, ако разглеждаме тези две трансформационни матрици като функции, ние току-що доказахме, че ако означим това като нашата първа функция, тогава можем да наречем тази нейната обратна функция. На практика ние използваме същата терминология, когато говорим за матрици. Ако означим това като матрицата А, можем да означим тази матрица като А обратна. Ако вземем матрица А и я умножим по нейната обратна матрица, ще получим единичната матрица, която виждаме ето тук. (огражда я в червено) Тук разглеждаме общия случай. Нямам предвид матрици с размери 2 х 2. Това може да е, например, матрица 3 х 3, или 4 х 4 и така нататък. Знаем също така, че бих могъл да дефинирам долната матрица тук като А, а горната матрица като А обратна. Обратният вариант също ще е верен. А обратна по А също ще е еквивалентно на единичната матрица. Така че това е напълно аналогично на това, което видяхме в примерите с тези функции – за една функция и нейната обратна функция, защото, както вече видяхме и казахме, в крайна сметка една матрица може да се разглежда като трансформация, която пък може да се разглежда като функция. Видяхме също, че това е аналогично на начина, по който разглеждаме умножението. Защото можем да използваме умножение като комбинация на трансформации, но можем да го разглеждаме и просто като умножение на матрици. Така че, ако вземем една матрица, ако я умножим по обратната ѝ матрица, това е аналогично да умножим едно число по неговата реципрочна стойност, и получаваме еквивалент на това, което в света на числата би било просто числото 1, но в света на матриците това е единичната матрица. Това е така, защото единичната матрица има хубавото свойство, че ако я умножим по произволна друга матрица, получаваме отново първоначалната матрица, което видяхме в аналогичния случай в света на обикновените числа.