Събиране на вектори по дължина и посока

Дадено е, че вектор а има дължина четири единици и посока 170 градуса спрямо положителната посока на оста х. Вектор b има дължина три единици и посока 240 градуса спрямо положителната посока на оста х. Трябва да се намери дължината и посоката на вектор а плюс b. Постави видеото на пауза и опитай да решиш задачата самостоятелно. Добре, сега да решим задачата заедно. Начинът, по който аз ще подходя към нея, е да представя двата вектора в компонентата им форма. След това ще събера съответните им компоненти. Тогава ще опитам да изчисля дължината на вектора на сбора, както и посоката на сбора. Какъв е х-компонентът на вектор а? Има няколко начина да определим промяната на х, но можем да опитаме този, в който се използва тригонометрия. Това вече го преговорихме или сме го правили в други видео уроци. Най-простият начин да разсъждаваме в този случай е, че промяната на х тук е равна на дължината. Знаем, че вектор а има дължина 4 единици по косинус от ъгъла, който векторът сключва с положителната част на оста х, т.е. по косинус от 170 градуса. Това тук е нашият х-компонент, 4 по косинус от 170 градуса. Колко е у-компонентът? Компонентът у е равен на промяната на у ето тук. (показва на чертежа) Както вече сме го разглеждали в други видео уроци, това е равно на дължината на вектора по синуса от ъгъла, който той сключва с положителната посока на оста х, значи по синус от 170 градуса. Тук бихме могли да използваме калкулатор, за да пресметнем приблизителните стойности. След това можем да направим съвсем същото и за вектор b. Вектор b, по съвсем същата логика, има х-компонент, който е равен на дължината на вектора – която е три единици, това ни е дадено в условието – значи ще бъде 3 по косинус от този ъгъл, който е 240 градуса. След това компонентът у е равен на дължината на нашия вектор, която е 3, по синус от 240 градуса. Когато искаме да намерим сборът на двата вектора, ще го запиша ето тук, вектор а плюс вектор b, можем просто да съберем съответните компоненти. Това е равно на 4 по косинус от 170 градуса плюс 3 по косинус от 240 градуса. Компонентът у е равен на 4 по синус от 170 градуса, плюс 3 по синус от 240 градуса. Сега ще използвам калкулатора си, за да пресметна тези стойности. Казахме 170 градуса. Взимам косинус от това, по 4, което ни дава това. (показва на екрана) След това резултата събираме с това тук. (показва на екрана) Ще отворя скоби. Взимам косинус от 240. Косинус от 240, по 3, затварям скобите, е равно на това – приблизително минус 5,44. Значи това е приблизително минус 5,44. После, ако взема 170 градуса, намираме синус от 170 градуса и го умножаваме по 4. След това към резултата добавяме – отварям скоби – пиша 240 градуса, синус от това, умножавам по три, затварям скобите. Това е приблизително равно на минус 1,90. Значи това е приблизително минус 1,90. Това съответства с нашата логика. Ако сборът на векторите има два отрицателни компонента, това означава, че векторът на сбора ще се намира в трети квадрант. Ако използваме метода за събиране на вектори "начало към край", ако вземем вектор b и го поставим ето тук, (показва на чертежа) виждаме, че полученият вектор векторът на сбора е в трети квадрант. Това е логично, защото компонентите х и у са отрицателни. Но в задачата не се търси кои са компонентите на сбора. В задачата се търси дължината и посоката на вектора на сбора на тези два вектора. За да я намерим, трябва да използваме още малко тригонометрия, и всъщност и малко геометрия. Промяната на х, например, е тази стойност ето тук, когато се придвижваме от началото до края на вектора. Това е минус 5,44. Ако просто разглеждаме дълъжината, абсолютната стойност, то тогава тази отсечка има дължина 5,44. По същия начин промяната на у е отрицателна, защото се придвижваме надолу спрямо оста у. Но ако разгледаме този триъгълник, дължината на тази страна на триъгълника е 1,90. Съгласно питагоровата теорема дължината на хипотенузата, която е равна на дължината на нашия вектор, хипотенузата на квадрат е равна на сбора от квадратите на дължините на тези две страни. Друг начин да разглеждаме това е, че дължината на този вектор, който можем да запишем като дължината на вектор а плюс вектор b, е равна на – по-скоро приблизително равна на, защото вече закръглихме двете стойности тук, равна е на корен квадратен от 5,44 на квадрат, плюс... Това е така, защото ни интересува само абсолютната стойност на дължината на тази страна. Можем да го разглеждаме като промяната на х. Но ако имаме минус 5,44 и го повдигнем на квадрат, то става положително. След това имаме плюс 1,90 на квадрат. Отново мога да използвам калкулатор за пресмятанията. Това е равно на, приблизително равно на 5,44 на квадрат, плюс 1,9 на квадрат, което е дава това. (показва резултата на екрана) Сега намираме корен квадратен от полученото. Това е приблизително равно на 5,76, което е търсената дължина. За да определим посоката на вектора на сбора, трябва да определим колко е този ъгъл ето тук. (показва на чертежа с червено). Може би виждаш, че тангенс от този ъгъл, този ъгъл тита ето тук, е равен на – ще напиша приблизително равно, понеже използваме приближения – промяната на у върху промяната на х. Значи минус 1,90 върху минус 5,44. Можем да кажем, че ъгъл тита е приблизително равен на аркустангенс (обратната функция на тангенс) от минус 1,90, върху минус 5,44. Само след секунда ще видим дали това ще ни даде желания от нас отговор. Да пробваме по този начин. Ако вземем минус 1,9, делено на минус 5,44, тогава получаваме това, което е логичен резултат. (показва резултата на екрана) Минус делено на минус дава плюс. Сега да опитаме да пресметнем аркустангенс от тази стойност. Тук натискам .... и после пресмятам обратната функция на тангенс. Така получавам приблизително 19,25 градуса. Това ни даде, че ъгълът е приблизително 19,25 градуса. Въпросът ми към теб е дали това ти се струва правилно? 19,25 градуса ни отвеждат в първи квадрант. Получаваме вектор, който изглежда приблизително така. (чертае) Този ъгъл е 19,25 градуса. Очевидно, това не е векторът, който ние търсим. Ние търсим вектор в трети квадрант. Причината да получим този резултат е, че когато пресмятаме обратната функция на тангенса на повечето калкулатори, те дават стойност на ъгъла, която е между минус 90 градуса и плюс 90 градуса. Докато тук ние получаваме ъгъл, който ни отвежда в трети квадрант. Значи трябва да направим корекция. За да направим корекция, просто ще добавим 180 градуса, за да получим ъгъла, който ни интересува. В този случай дължината на вектора е приблизително 5,76, а посоката на вектора е приблизително 19,25 плюс 180 градуса, което дава 199, 25 градуса. Готово, задачата е решена.