Факториел и преброяване на възможните места

В това видео ще се запознаем с пермутациите, което е сложна дума за нещо доста елементарно, а това е броят начини, по които могат да се подредят нещата. Колко различни начина има? И за да стане малко по-ясно, нека да видим един пример с диван. На моят диван могат да седнат точно три човека. Отляво на дивана е място 1, в средата на дивана е място 2, а място 3 е в дясната част на дивана. Нека да имаме трима души, които ще седнат на тези три места: човек А, човек В и човек С. По колко различни начини могат да седнат тези трима души на тези три места? Спри видеото и виж дали можеш да го определиш самостоятелно. Има няколко начина да подходим към това. Първият начин е да опитаме да изброим всички възможности. Може да стане систематично. Можеш да кажеш: Ако А седне на място едно, след това В може да седне на място две, а С да седне на място три. Сещам се и за друг вариант. Ако А седне на място едно, можем да разменим В и С. Ще изглежда ето така. И това са всички варианти, всички пермутации, когато А е седнал на място едно. Сега да сложим някой друг на първото място. Нека В да седне на първото място, може А да е в средата и С да е в десния край. Може В да е на място едно, а после да разменим А и С. Значи С и после А. Ако поставим С на място едно, може А да е в средата, а В да е в десния край. Или ако С е на първото място, може В да е в средата, а А да е в десния край. И това наистина са всички пермутации, като можем да преброим, че има едно, две, три, четири, пет, шест. Това не беше много трудно. В общия случай, когато разглеждаме пермутациите на шест неща, или три неща на три места, можем да го направим на ръка. Но става много сложно, ако например имаме 100 места и 100 човека, които ще седнат на тях. Как да ги определим математически? Начинът да го направим е, и този начин ще използваш за произволен брой хора на произволен брой места, като просто надградим това, което направихме тук. Ние започнахме с място едно и определихме колко варианта има, колко различни хора могат да седнат на място едно, ако още никой не е сядал преди това. Видяхме, че трима различни човека могат да седнат на място едно. Виждаме го ето тук. Тук А е на място едно, тук В е на място едно, а тук С сяда на място едно. За всеки от тези варианти колко хора могат да седнат на място номер две? Видяхме, че когато А седне на място едно, има две различни възможности кой ще седне на място две. Когато В седне на място едно, отново има две възможности за място две. Когато С седне на място едно... това си е чиста скороговорка... има два различни варианта за място номер две. Значи отново има два варианта. Друг начин да го разглеждаме е, че когато един човек вече е седнал, за което има три различни варианта, и остават двама души, които могат да седнат на второто място, и го видяхме ето тук, където написахме пермутациите. Значи колко пермутации има за място едно и място две? Тук трябва да ги умножим. За всеки от тези три варианта имаме по два различни варианта, за всеки от тези варианти за седалка номер едно, имаме два варианта за място две. А какво става с място три? Ако знаем кой седи на място едно и на място две, тогава има само един човек, който може да седне на място три. Можем да кажем също, че ако двама души вече са седнали, има само един човек, който може да седне на място три. И математически можем да изразим това като 3 по 2 по 1. И вероятно тук разпознаваш математическата операция факториел, което просто означава, че започваме с това число, и после го умножаваме по всяко число, което е с едно по-малко от предходното, едно по-малко от това, докато не стигнем чак до едно. Това е три факториел, който е равен на шест, точно колкото получихме тук. И за да оценим колко мощен инструмент е това, нека да разширим нашия пример. Нека да имаме пет места. Едно, две, три, четири, пет. И имаме пет човека – А, В, С, Д и Е. По колко различни начина могат тези пет човека да седнат на пет места? Паузирай видеото и опитай самостоятелно. Може би веднага ще кажеш, че това е 5 факториел, което е равно на 5 по 4, по 3, по 2, по 1. 5 по 4 е 20. 20 по 3 е 60. После 60 по 2 е 120. Накрая 120 по 1 е 120. И това е много логично. Ако никой не е седнал, тогава има пет различни варианта за място номер едно. И после за всяка от тези възможности има четири човека, които могат да седнат на място две. После за всяка от тези 20 възможности за място едно и две има трима човека, които могат да седнат на място три. За всяка от тези 60 възможности има двама души, които могат да седнат на място четири. И след като знаем кой седи на първите четири места, знаем кой ще седне на петото място. И така получаваме тези 120 варианта.