Основно съдържание

Курс: Физика за напреднали/колеж 1 > Раздел 6

Урок 2: Еластични сблъсъци и запазване на импулса на тяло

Какво представлява запазването на импулса?

Научи какво означава запазването на импулса и как се използва.

Какъв е принципът за запазване на импулса?

Във физиката терминът запазване се отнася за нещо, което не се променя. Това означава, че променливата в едно уравнение, която представя една консервативна величина, е константа във времето. Тя има същата стойност преди и след едно събитие.

Има много консервативни величини във физиката. Обикновено те са много полезни за предсказване на иначе доста сложни ситуации. В механиката има три фундаментални величини, които са консервативни. Те са импулс, енергия и момент на импулса. Запазването на импулса се използва най-често за описване на удари между тела.

Както при другите принципи за запазване, и тук има уловка: запазването на импулса се прилага само за изолирана система от тела. В този случай изолирана система е такава, върху която не влияе външна на системата сила, т.е. няма външен импулс. В практическия пример на сблъсък между две тела това означава, че трябва да включим двете тела и всичко друго, което прилага сила към което и да е от телата за каквото и да е време в системата.

Ако индексите

i

f

бележат първоначалния и крайния импулс на телата в една система, тогава принципът за запазване на импулса гласи, че:

p_{1 i} + p_{2 i} + \dots = p_{1 f} + p_{2 f} + \dots

Защо импулсът се съхранява?

Запазването на импулса всъщност е директно следствие от третия закон на Нютон.

Да разгледаме удар между две тела: тяло А и тяло В. Когато двете тела се сблъскат, има сила от В върху А –

F_{AB}

– но заради третия закон на Нютон, има друга сила, която е равна по големина, но противоположна по посока, от А върху В –

F_{BA}

F_{AB} = - F_{BA}

Силите действат на телата, когато са в контакт. Продължителността на контакта на телата –

t_{AB}

t_{BA}

– зависи от спецификите на ситуацията. Например при две меки топки ще отнеме повече време, отколкото при две билярдни топки. Обаче времето трябва да е еднакво и за двете топки.

t_{AB} = t_{BA}

Впоследствие промяната на импулса, усетена от телата А и В, трябва да е равна по големина и обратна по посока.

F_{AB} \cdot t_{AB} = - F_{BA} \cdot t_{BA}

Ако си спомним на какво е равна промяната в импулса, следва че промяната в импулсите на телата е равна, но обратна по посока. Това може да се запише като сумата от промяната в импулсите да е равна на нула.

\begin{aligned} m_{A} \cdot Δ v_{A} & = - m_{B} \cdot Δ v_{B} \\ m_{A} \cdot Δ v_{A} + m_{B} \cdot Δ v_{B} & = 0 \end{aligned}

Какво е интересното при запазването на импулса?

Има поне четири интересни неща – понякога нелогични – за запазването на импулса:

Импулсът е векторна величина, следователно трябва да използваме векторно събиране, когато сумираме импулсите на множество тела, които изграждат една система. Нека разгледаме система от два подобни обекта, отдалечаващи се един от друг в противоположни посоки с еднаква скорост. Интересното е, че противоположно насочените вектори се унищожават взаимно, следователно импулсът на системата ще е нула, макар че двете тела се движат.
Ударите са особено интересни за анализиране, ако използваме запазването на импулса. Това е защото ударите обикновено се случват бързо, следователно времето, в което блъскащите се тела си взаимодействат, е кратко. Кратко време за взаимодействие означава, че импулсът, $F \cdot Δ t$ ‍, породен от външни сили като триене по време на удара, е малък.
Често е лесно да се измери и да се следи импулсът, дори при сложни системи от много тела. Нека разгледаме сблъсъка между две шайби за хокей на лед. Сблъсъкът е толкова силен, че разбива едната шайба на две парчета. Кинетичната енергия вероятно не е съхранена при сблъсъка, но импулсът ще се запази.
Като приемем, че знаем масите и скоростите на всички части точно след удара, можем пак да използваме запазването на импулса, за да разберем ситуацията. Това е интересно, защото в контраст с това, би било невъзможно да се използва запазването на енергията в тази ситуацията. Много трудно ще бъде да се изчисли точно колко работа е извършена при счупването на шайбата.

Сблъсъците с "недвижими" тела са интересни. Разбира се, няма истински недвижими тела, но някои са толкова тежки, че изглеждат такива. Нека разгледаме случай на гумена топка с маса $m$ ‍, движеща се със скорост $v$ ‍ към тухлена стена. Тя удря стената и отскача със скорост $- v$ ‍. Стената е добре закрепена към земята и не помръдва, но импулсът на топката все пак се променя с $2 m v$ ‍, тъй като скоростта преминава от положителна в отрицателна.

Ако импулсът се съхранява, тогава импулсът на Земята и стената също трябва да се е променил с

2 m v

. Просто не го забелязваме, защото Земята е много по-тежка от гумената топка.

Какви задачи можем да решаваме, използвайки запазването на импулса?

Упражнение 1a: Отдръпването на оръдието сигурно е познато на всеки, който е гледал пиратски филми. Това е класическа задача за запазване на импулс. Нека разгледаме оръдие с маса 500 kg на колела, изстрелващо гюле с маса 2 kg хоризонтално от кораб. Гюлето напуска оръдието със скорост 200 m/s. С каква скорост ще се отдръпне оръдието в резултат на това?

Оръдието, с индекс

о

, и гюлето, с индекс

г

, в началото са стационарни. Тъй като моментът е съхранен, знаем, че през цялото време

p_{о} + p_{г} = 0

В този случай цялото движение е хоризонтално, затова можем да използваме скаларната величина за скорост.

m_{о} \cdot v_{о} + m_{г} \cdot v_{г} = 0

\begin{aligned} \frac{m_{г} v_{г}}{m_{о}} & = - v_{о} \\ \frac{2 kg \cdot 200 m / s}{500 kg} & = - 0, 8 m / s \end{aligned}

Упражнение 1b: Да предположим, че оръдието е повдигнато да стреля под ъгъл

α = 30^{\circ}

спрямо хоризонтала. Каква ще е скоростта на отдръпването в този случай? Къде е отишъл допълнителният импулс?

Тъй като оръдието може да се търкаля само по палубата на кораба, ние се интересуваме само от хоризонталната компонента на импулса. Като начертаем триъгълник и използваме тригонометрия, можем да намерим хоризонталната компонента на скоростта

v_{х}

\begin{aligned} v_{х} & = v_{г} \cdot \cos (α) \\ = 173 m / s \end{aligned}

Тогава можем да продължим:

\begin{aligned} \frac{m_{г} v_{х}}{m_{о}} & = - v_{о} \\ \frac{2 kg \cdot 173 m / s}{500 kg} & = - 0, 69 m / s \end{aligned}

Вертикалната компонента на импулса действа за момент, за да избута лодката надолу във водата.

Упражнение 2a: Глава на стик за голф с маса

m_{c} = 0, 25 kg

е размахана и се удря в стационарна топка за голф с маса

m_{b} = 0, 05 kg

. Високоскоростно видео показва, че стикът се движи с

v_{c} = 40 m / s

, когато докосва топката. Те са в контакт за

t = 0, 5 ms

; след това топката се движи със скорост

v_{b} = 40 m / s

. Колко бързо се движи стикът, след като е ударил топката?

Преди удара само стикът се движи, затова общият импулс

p

на системата стик-топка е:

\begin{aligned} p & = 0, 25 kg \cdot 40 m / s \\ = 10 kg \cdot m / s \end{aligned}

След удара този импулс е споделен между стика и топката. Знаем скоростта на топката, затова можем да намерим скоростта на стика.

\begin{aligned} \frac{p - m_{т} v_{т}}{m_{с}} & = v_{с} \\ = 32 m / s \end{aligned}

Упражнение 2b: Каква е средната сила върху стика, породена от топката за голф от предната задача?

Знаем, че скоростта на стика се променя с 8 m/s при удара с топката, затова можем да намерим ускорението:

\begin{aligned} a & = \frac{Δ v}{Δ t} \\ = \frac{32 \frac{m}{s} - 40 \frac{m}{s}}{0, 5 \cdot 10^{- 3} s} \\ = \frac{- 8, 0 m / s}{0, 5 \cdot 10^{- 3} s} \\ = - 16 \cdot 10^{3} m / s^{2} \end{aligned}

Следователно знаем, че силата е:

\begin{aligned} F & = m_{c} a \\ = (0, 25 kg) (- 16 \cdot 10^{3} m / s^{2}) \\ = - 4, 0 kN \end{aligned}

Може би е изненадващо, че една малка голф топка може да упражни толкова голяма сила. Силата също е приложена върху много малка контактна повърхност, правейки налягането много високо. Затова голф топките и стиковете трябва да са направени много здрави.

Упражнение 3: Да предположим, че ръгби играч с маса 100 kg е в покой върху ледена пързалка. Приятел хвърля ръгби топка с маса 0,4 kg към него със скорост 25 m/s. С плавно движение той поема топката и я хвърля обратно в същата посока със скорост 20 m/s. Каква е скоростта на играча след хвърлянето?

В тази задача цялото движение, което ни интересува, е почти успоредно на земята, затова можем да използваме скаларната форма на импулса и да дефинираме положителна скорост, като посоката да е от приятеля към играча. Тук ще използваме индексите

т

и

за топката и играча, и

н

к р

за начална и крайна скорост. Ще започнем със записването на сумата от импулсите преди и след събитието:

\begin{aligned} m_{т} v_{т н} + m_{и} v_{и н} & = m_{т} v_{т к р} + m_{и} v_{и к р} \\ m_{т} (v_{т н} - v_{т к р}) & = m_{и} v_{и к р} \end{aligned}

Когато поставим числата, трябва да се уверим, че крайната скорост на топката е в отрицателната посока.

\begin{aligned} v_{и к р} & = \frac{m_{т}}{m_{и}} (v_{т и} - v_{т к р}) \\ = \frac{0, 4 kg}{100 kg} (25 m / s + 20 m / s) \\ = 0, 18 m / s \end{aligned}

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.