Основно съдържание

Курс: Физика – 11. клас (България) > Раздел 2

Урок 15: Движение на флуидите

Какво е обемен поток?

Знаеш много за движението на отделни обекти. Нека поговорим сега за това как да анализираме движението на флуид.

Какво означава обемен поток?

Може да чуеш термина обемен поток (обемен дебит) и да мислиш, че звучи скучно, но благодарение на него си жив. Ей сега ще ти кажа как. Първо трябва да го дефинираме. Обемният поток

Q

на флуид се дефинира като обемът флуид, който преминава през дадена повърхност за единица време. Като например кръглата повърхност, оградена с пунктирани линее на диаграмата по-долу.

Това е страхотен въпрос! Аз не знам и не съм намерил обяснение досега. Ако разбереш защо физиците означават дебит с буквата Q, вместо с някоя друга буква, моля напиши обяснението в коментарите по-долу. Аз поне много бих искал да знам. Мерси!

Възможни обяснения от потребители в секцията за коментари. Латинската дума за количество е Quantitatum.

Тъй като обемният поток (дебит) измерва количеството обем, което преминава през дадена площ за дадено време, уравнението за обемен поток изглежда така:

Q = \frac{V}{t} = \frac{о б е м}{в р е м е}

В международната система SI (International System of Units), мерната единица за обемен поток е кубични метри за секунда

\frac{m^{3}}{s}

, тъй като тя ти казва колко кубични метра флуид преминават за секунда.

Та как обемният поток те поддържа жив? На всеки пет секунди сърцето ти изпомпва кръв с обем приблизително една ламаринена кутийка безалкохолно.

Средностатистическото човешко сърце в покой изпомпва около 330 ml кръв на всеки 4 секунди. Така че обемният поток може да се намери с:

Q = \frac{V}{t} = \frac{330 mL}{4 s} = 83 \frac{mL}{s} = 0,083 \frac{L}{s}

Можем да преобразуваме този резултат в стандартните за системата S.I. мерни единици – кубични метри в секунда

\frac{m^{3}}{s}

, като превърнем литрите в кубични метри по следния начин:

Q = 0,083 \frac{L}{s} \times (\frac{1 m^{3}}{1,000 L}) = 0,000 083 \frac{m^{3}}{s}

Когато е записан в кубични метри в секунда, този дебит изглежда много малък, но това е защото кубичният метър е огромен обем. Кубичният метър е обемът на куб с размери 1 m x 1 m x 1 m. Това е като 2850 ламаринени кутийки безалкохолно.

Обърни внимание, че обемните потоци ще имат много малки числени стойности, когато ги записваме в

\frac{m^{3}}{s}

, защото обемите, с които си имаме работа в много ситуации, са малки в сравнение с кубичния метър. По тази причина много хора избират да използват други мерни единици за обемен поток, като

\frac{mL}{s}

или

\frac{{cm}^{3}}{s}

, така че числата да не излизат така досадно малки.

Има ли друга формула за обемен поток?

Оказва се, че има полезен алтернативен начин за представяне на обемния поток, вместо като

Q = \frac{V}{t}

Обемът на част от флуида в тръба може да бъде записан като

V = A d

, където

A

е площта на сечението и

d

е ширината на въпросната част от флуида. Виж диаграмата по-долу. Можем да заместим с тази формула за обема

V

в израза за обемен поток, при което получаваме:

Не, не е нужно тръбата да е цилиндрична, за да бъде вярно това. Независимо от формата на тръбата, можеш да разглеждаш обем, който има достатъчно малка дебелина, че формата и размерът на сечението да не се променят много. При това положение обемът може да се представи приблизително като площта

A

по малката дебелина

d

. Но тъй като разстоянието

d

се дели на времето

t

, можем да направим дебелината безкрайно малка, при което ще получим моментната големина на скоростта

\frac{d}{t}

за флуида в тази точка.

Q = \frac{V}{t} = \frac{A d}{t} = A \frac{d}{t}

Но членът

\frac{d}{t}

е просто дължината на обема флуид, разделен на времето, което е трябвало на флуида да измине тази дължина, което е просто скоростта на флуида. Така че можем да заменим

\frac{d}{t}

v

в предишното уравнение и да получим:

Q = A v

A

е напречното сечение на участък от тръбата,

v

е скоростта на флуида в този участък. Така че получаваме нова формула за обемния поток

Q = A v

, която често е по-полезна от първоначалната дефиниция на обемен поток, защото площта

A

лесно се определя. Повечето тръби са цилиндрични, което означава, че площта може да се намери с

A = π r^{2}

, а скоростта

v

на флуида е ключова величина в много ситуации.

Обаче внимавай, сега си имаме работа с две величини, означенията на които си приличат. Обемът се записва с главна буква

V

, а скоростта – с малка буква

v

и хората понякога бъркат означенията

V

v

Несвиваемост на течности

Оказва се, че повечето течности са почти несвиваеми. Това означава, че не можеш да поставиш един литър мляко в половинлитров съд, независимо колко голям натиск прилагаш върху млякото.

Не, не наистина. За да сме честни, течностите не са абсолютно несвиваеми. Просто са изключително трудни за осезаемо свиване. Например нужно е налягане 400 пъти по-високо от атмосферното, за да свиеш един кубичен метър вода до 0,98 кубични метра. Така че на практика, освен ако не разглеждаш ситуация с умопомрачително големи налягания, е напълно разумно да предположиш, че течностите са несвиваеми.

Газовете, от друга страна, са много по-лесно свиваеми от течностите, така че пренебрегването на свиваемостта на газ е по-вероятно да предизвика значителни грешки в описанието на поведението му.

Тъй като течностите са несвиваеми, всяка част от течност, преминаваща през тръба, може да променя формата си, но трябва да запазва обема си. Това е вярно, дори ако тръбата променя диаметъра си. На диаграмата по-долу частта течност с обем

V

отляво променя формата си, когато навлиза в стеснения участък от тръбата, но запазва обема си, тъй като течностите са несвиваеми.

Какво е уравнението за непрекъснатост?

Течностите трябва да запазват обема си, докато текат в тръба, тъй като се несвиваеми. Това означава, че обемът течност, който се влива в тръба за определено време трябва да е равен на обема течност, който се излива от същата тръба за същото време, Например ако за един час вкараш 2 m

^{3}

вода в тръба, която вече е пълна с вода, 2 m

^{3}

трябва да изтекат от нея за този час. Единствената друга възможност е течността в тръбата да се сгъсти вътре в тръбата, което не би трябвало да става – или тръбата да се издуе като балон, което приемаме, че не се случва при положение че тръбата е твърда. Запомни, че това важи не само когато разглеждаш точки в началото и в края на тръбата – този аргумент важи със същата сила за влизаща в и излизаща от всеки две сечения на тръбата.

Така че обемният поток

Q

за несвиваем флуид в произволна точка по дължината на тръбата е същият като обемния поток във всяка друга точка по дължината на тръбата.

Това може да се изрази математически с формулата

Q = к о н с т а н т а

или – като изберем произволни две точки от тръбата – можем да изразим математически, че обемният поток е един и същ в произволни две точки от тръбата, като запишем:

Q_{1} = Q_{2}

Сега ако заместим с формулата

Q = \frac{V}{t}

, получаваме:

\frac{V_{1}}{t_{1}} = \frac{V_{2}}{t_{2}}

Или можем да заместим с другата формула за обемния поток

Q = A v

във формулата

Q_{1} = Q_{2}

, при което получаваме:

A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2}

Това уравнение е известно като уравнение за непрекъснатостта на несвиваем флуид – предишните две уравнения също понякога се наричат уравнения за непрекъснатост. Уравнението не е толкова мистериозно, колкото името му предполага, тъй като го изведохме, просто като наложихме изискването за несвиваемост.

Но уравнението е много полезно, особено в тази си форма, тъй като то гласи, че величината

A v

има постоянна стойност навсякъде в тръбата. С други думи, независимо къде в тръбата избереш да пресметнеш

A v

, стойността винаги ще се окаже едно и също число за дадената тръба, ако флуидът е несвиваем.

Тоест ако площта

A

на сечението на тръба намалее, то скоростта

v

на течността там трябва да се увеличи, така че произведението

A v

да си остане същото. Това означава, че течностите се забързват, когато достигнат по-тесен участък на тръбата и се забавят, когато достигнат по-широк. Това съответства на опита от ежедневието – помисли какво се случва, когато запушиш с палец част от отвора на маркуч, ефективно намалявайки площта му

A

. Водата трябва да излиза с по-висока скорост,

v

, за да се запази обемният поток

A v

. Това е причината тесни дюзи, които намаляват площта (

A

), поставени на маркучи, да предизвикват значителна промяна в скоростта

v

на флуида в тази точка.

Как изглеждат решени примери, които включват обемен поток?

Пример 1: Къща-мечта

Много богата жена, която обича безалкохолни, построява къща с цилиндрична тръба, по която тече безалкохолно от долния етаж до спалнята ѝ на горния етаж. Безалкохолното навлиза в първия етаж на къщата през тръба с напречно сечение 0,0036 m

^{2}

, по която се движи със скорост 0,48 метра в секунда. В спалнята на богатата дама чучурът, през който безалкохолното тече, има сечение 0,0012 m

^{2}

Каква е скоростта на безалкохолното, когато излиза от чучура в спалнята на дамата?

A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2} (Започваме с уравнението за непрекъснатост, тъй като течностите са несвиваеми.)

v_{2} = (\frac{A_{1}}{A_{2}}) v_{1} (Решаваме уравнението за скоростта на безалкохолното в спалнята.)

v_{2} = \frac{0,003 6 m^{2}}{0,001 2 m^{2}} (0, 48 m/s) (Заместваме със стойностите за площ и скорост.)

v_{2} = 1, 44 m/s (Пресметяме и отпразнуваме!)

Забележка: Можехме да решим тази задача, просто като забележим, че сечението,

A_{2}

, на тръбата в спалнята е

\frac{1}{3}

от сечението на тръбата на първия етаж

A_{1}

. Това означава, че безалкохолното трябва да се движи три пъти по-бързо по тръбата в спалнята, отколкото на първия етаж, за да могат произведенията

A v

да са еднакви.

Пример 2: Кексчета с кокосово мляко

Готвач иска винаги да има кокосово мляко на разположение и затова инсталира тръба от склада до кухнята. Тръбата в склада, където кокосовото мляко се движи със скорост 0,25 метра в секунда, има радиус 4 cm. Кокосовото мляко тече от тръбата в кухнята със скорост 1 метър в секунда.

Какъв е радиусът на тръбата, през която изтича кокосовото мляко в кухнята?

A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2} (Започваме с уравнението за непрекъснатост, тъй като течностите са несвиваеми.)

π (r_{1})^{2} v_{1} = π (r_{2})^{2} v_{2} (Заместваме с формулата π r^{2} за напречното сечение на цилиндричната тръба.)

(r_{1})^{2} v_{1} = (r_{2})^{2} v_{2} (Съкращаваме общия множител π .)

(r_{2})^{2} = (r_{1})^{2} \frac{v_{1}}{v_{2}} (Решаваме уравнението за квадрата на радиуса на тръбата в кухнята.)

r_{2} = r_{1} \sqrt{\frac{v_{1}}{v_{2}}} (Взимаме корен квадратен от двете страни.)

r_{2} = (4 cm) \sqrt{\frac{0, 25 m/s}{1, 0 m/s}} (Заместваме със стойностите за радиуса и скоростите.)

r_{2} = 2 cm или 0, 02 m

(Пресмятаме и отпразнуваме!)

Забележка: Заместихме с радиуса,

r_{1} = 4 cm

, в сантиметри, което означава, че получихме отговора в сантиметри.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.