Основно съдържание

Курс: Физика – 11. клас (България) > Раздел 1

Урок 7: Движение на тяло, хвърлено под ъгъл

Какво е движение на изстреляно тяло в две измерения (направления)?

Научи повече за начина, по който нещата летят във въздуха.

Какво е двумерно свободно падане?

В изблик на фруктозна ярост решаваш да хвърлиш зелен лимон под ъгъл във въздуха. Той описва траектория като показаната с пунктирана линия на диаграмата по-долу. Лимонът е свободно падащо тяло, което се движи в двумерна равнина, под действието единствено на гравитацията.

Да. Обектите, които се движат във въздуха, изпитват някакво съпротивление. Но отчитането на съпротивлението на въздуха е доста сложно, така че често ще приемаме, че силата на съпротивление е пренебрежимо малка (т.е. толкова малка, че можем да я игнорираме). Това невинаги е добро приближение, но е пък е подходящо за обекти, чиято сила на тежестта е много по-голяма от силата на съпротивление на въздуха.

Не забравяй, че силата на съпротивление на въздуха върху движещ се обект расте с увеличаване на скоростта на обекта. Така че обикновено ще разглеждаме ситуации, в които скоростта на обекта е достатъчно малка, от което ще следва, че съпротивлението на въздуха е пренебрежимо малко и можем да го пренебрегваме.

Тъй като силата на гравитацията дърпа надолу, гравитацията ще се отразява само на вертикалната компонента

v_{y}

на скоростта на лимона. Хоризонталната компонента

v_{x}

на скоростта няма да бъде засегната и ще бъде постоянна.

Опитай да приплъзваш точката на диаграмата по-долу, за да видиш, че вертикалната компонента

v_{y}

се променя, но хоризонталната

v_{x}

остава постоянна.

Проверка на концепциите: Каква е стойността на вертикалната компонента на скоростта в момента, когато лимонът е на максимална височина?

Вертикалната компонента на скоростта е нула в момента на максималната височина. Лимонът трябва за момент да спре да се движи вертикално, когато е достигнал максимална височина и да започне да се движи надолу.

Можем да видим това на диаграмата, като привлачим зелената точка с компонентите на скоростта по "х" и "у" нагоре до максималната височина, където вертикалната компонента

v_{y}

на скоростта изчезва.

Как разглеждаме математически свободното падане като двумерно движение?

Най-лесно е да разглеждаме движението във всяка от посоките поотделно. С други думи, ще използваме една система уравнения, за да описваме хоризонталното движение на лимона (т.е. движението на хоризонталната компонента на скоростта му) и друга система уравнения за вертикалното му движение. Това превръща една трудна двумерна задача в две по-прости едномерни задачи. Можем да правим това, защото промяната във вертикалната скорост не променя хоризонталната скорост. Аналогично, ако хвърлим лимона с голяма хоризонтална скорост, няма да променим вертикалното му ускорение. С други думи, ако изстреляш куршум хоризонтално и пуснеш друг куршум в същия момент, те ще достигнат земята в един и същи момент.

Да. Признаваме, че тази идея противоречи на интуицията на много хора, но ако съпротивлението на въздуха е пренебрежимо, и куршумът е изстрелян точно хоризонтално, тогава изстреляният куршум ще се удари в земята точно когато и пуснатият.

Причината е, че хоризонталната скорост не засяга вертикалното ускорение на куршума, така че и двата куршума променят вертикалните си скорости по еднакъв начин (т.е. обстоятелството, че един куршум има и някаква хоризонтална скорост не променя скоростта, с която пада надолу).

Хоризонтална посока:

Няма ускорение в хоризонтална посока, защото гравитацията не избутва свободно падащ обект настрани, а само надолу. Съпротивлението на въздуха би причинило хоризонтално съпротивление, забавяйки хоризонталното движение, но тъй като ще разглеждаме само случаи, в които съпротивлението на въздуха е пренебрежимо малко, можем да допуснем, че хоризонталната скорост е постоянна за свободно падащи обекти.

За да се отчете съпротивлението на въздуха, най-често се използват диференциални уравнения и математически анализ. Това често се прави в инженерните курсове по физика, в които се предполага, че вече е усвоен математическият анализ.

Така че за движението в хоризонтална посока можем да използваме следното уравнение

Δ x = v_{x} t

Винаги, когато скоростта е постоянна в някоя посока, можем да използваме

Δ x = v t

, за да намерим колко се е преместил обектът във въпросната посока.

Друг начин да мислиш за това е, че постоянна хоризонтална скорост означава

a_{x} = 0

. Така че ако заместим с

a_{x} = 0

в кинематичната формула

Δ x = v_{0 x} t + \frac{1}{2} a_{x} t^{2}

, получаваме просто

Δ x = v_{0 x} t

. И всъщност няма нужда да му казваме началната хоризонтална скорост, тъй като хоризонталната скорост е постоянна. Като заместим

v_{0 x}

с простото

v_{x}

, пак получаваме

Δ x = v_{x} t

Забележка: Не забравяй в уравнението за движение по абсцисата "x" (в хоризонтална посока) да включваш само величините, отнасящи се за хоризонталата. Ако знаем две от тези променливи, можем да решим уравнението и да намерим третата.

Вертикална посока:

Двумерно движещите се свободно падащи обекти изпитват постоянно ускорение надолу заради гравитацията

a_{y} = - 9, 8 \frac{m}{s^{2}}

. Тъй като вертикалното ускорение е постоянно, можем да намерим вертикална променлива с някоя от четирите кинематични формули, които са дадени по-долу.

1. v_{y} = v_{0 y} + a_{y} t

2. Δ y = (\frac{v_{y} + v_{0 y}}{2}) t

3. Δ y = v_{0 y} t + \frac{1}{2} a_{y} t^{2}

4. v_{y}^{2} = v_{0 y}^{2} + 2 a_{y} Δ y

Забележка: Не забравяй тук да включваш само величините, отнасящи се за . Ако знаем три от тези променливи, можем да решим уравнението и да намерим някоя от останалите.

Забележка: За даден процес интервалът време

t

има същата стойност както в уравненията по вертикалата, така и в уравненията по хоризонталата. Това означава, че ако намерим времето

t

, можем да заместим с получената стойност във всяко от двете уравнения. Това се използва в много задачи. Често човек трябва да намери времето

t

, като използва уравненията по вертикалата, и след това да замести с тази стойност в уравненията по хоризонталата (или обратното).

Какво е объркващото при двумерното свободно падане?

Много често хората се опитват да заместват с вертикални компоненти в уравненията за хоризонтални компоненти или обратното. Независимото анализиране на всяка посока (хоризонтална и вертикална) на свободно падащ обект работи успешно, само ако спазваш различните посоки (

x

y

) да са в техните уравнения.

Начални скорости, които са насочени диагонално трябва да бъдат разложени на вертикална и хоризонтална компонента. Хората понякога се затрудняват да разложат вектор на компоненти. Виж тази статия за помощ с тригонометрията, която е нужна за разлагане на вектори на компоненти.

Когато обект е изстрелян хоризонтално, началната вертикална скорост е нула

v_{0 y} = 0

(виж пример 1 по-долу). На много начинаещи им е трудно да проумеят, че един обект може да има ненулева хоризонтална компонента на скоростта и нулева вертикална такава.

Как изглеждат решени примери за двумерно свободно падане?

Пример 1: Хоризонтално хвърлен балон с вода

Балон с вода е хвърлен хоризонтално със скорост от

v_{0} = 8, 31 \frac{m}{s}

от покрива на сграда с височина

H = 23, 0 m

Какво разстояние изминава балонът хоризонтално, преди да се удари в земята?

Можем за начало да начертаем диаграма, която включва дадените променливи.

Веднъж намерим ли времето

t

, ще можем да намерим хоризонталното преместване от уравнението

Δ x = v_{x} t

. За да намерим времето, нека използваме това, че знаем три променливи по вертикалата (

Δ y = - 23, 0 m

v_{0 y} = 0

a = - 9, 8 \frac{m}{s^{2}}

Вертикалната компонента на началната скорост е нула (

v_{0 y} = 0

) тъй като балонът е хвърлен хоризонтално. За да има балонът ненулева вертикална компонента на началната си скорост, трябва да е хвърлен диагонално под ъгъл – или нагоре, или надолу.

Вертикалното преместване е

- 23 m

, тъй като балонът пада надолу по цялата височина на сградата.

Ускорението във вертикална посока за свободно падащ обект винаги е земното ускорение

a_{y} = - g = - 9, 8 \frac{m}{s^{2}}

Така че ще използваме кинематична формула за вертикалната посока, за да намерим времето

t

. Не знаем крайната скорост

v_{y}

и засега не ни трябва да намерим

v_{y}

, така че ще използваме кинематичната формула, в която крайната скорост не фигурира.

Δ y = v_{0 y} t + \frac{1}{2} a_{y} t^{2} (използваме "вертикалната" кинематична формула, в която не присъства крайна скорост)

- H = (0) t + \frac{1}{2} (- g) t^{2} (заместваме с известните вертикални стойности)

t = \sqrt{\frac{2 H}{g}} (намираме буквеното решение за времето t)

t = \sqrt{\frac{2 (- 23, 0 m)}{- 9, 8 \frac{m}{s^{2}}}} = 2, 17 s (заместваме с числата, за да намерим времето на полета)

Сега трябва да заместим с времето

t

в уравнението за хоризонталното направление, за да намерим хоризонталното преместване

Δ x

Δ x = v_{x} t (използваме уравнението за хоризонталното отместване)

Δ x = (8, 31 \frac{m}{s}) (2, 17 s) (заместваме с времето на полета и v_{x})

Намерихме времето на полета

t = 2, 17 s

в изчисленията по-горе, като използвахме "вертикалните" уравнения.

Големината на хоризонталната компонента на началната скорост е равна на цялата големина на началната скорост

8, 31 \frac{m}{s}

, тъй като балонът е хвърлен хоризонтално. Ако балонът беше хвърлен диагонално под ъгъл нагоре или надолу, щеше да се наложи да използваме тригонометрия, за да намерим хоризонталната компонента на началната скорост.

Δ x = 18, 0 m (пресмятаме и отпразнуваме)

И така, балонът се удря в земята на

18, 0 m

хоризонтално от ръба на сградата.

Да, да решаваш задачите буквено е супер, защото така на практика решаваш всяка възможна задача от този тип.

Например ако заместим с израза за времето

t = \sqrt{\frac{2 H}{g}}

и началната скорост

v_{0}

във формулата за хоризонтално отместване

Δ x = v_{x} t

, ще получим формулата долу:

Δ x = v_{0} \sqrt{\frac{2 H}{g}}

Тази формула ще е вярна за всеки свободно падащ обект, хвърлен хоризонтално с произволна скорост

v_{0}

от ръба на сграда с височина

H

. Само трябва да заместим с височината и големината на началната скорост за конкретната задача и тази формула ще ни даде отговора какво хоризонтално разстояние е изминал свободно падащият обект, преди да се удари в земята.

Пример 2: Тиква, изстреляна под ъгъл

Тиква е изстреляна с топ от скала с височина

H = 18, 0 m

с начална скорост с големина

v_{0} = 11, 4 \frac{m}{s}

под ъгъл

θ = 52, 1^{\circ}

, както е показано на диаграмата по-долу.

Каква е големината на скоростта на тиквата точно преди да се удари в земята?

Ще можем да определим големината на крайната скорост на тиквата, ако можем да определим компонентите на крайната скорост (

v_{x}

v_{y}

Ние търсим скоростта на тиквата, точно преди да се удари в земята, така че няма да предполагаме, че крайната скорост е нула.

Освен това, когато тиквата се удари в земята, ускорението вече няма да е

a_{y} = - 9, 8 \frac{m}{s^{2}}

, тъй като ударът ще предизвика огромно неизвестно ускорение. Кинематичните формули са верни само за времеви интервали, в които ускорението е постоянно. Това означава, че по принцип не включваме времето, в което свободно падащият обект се удря в земята, тъй като обикновено нямаме информация за ускорението по това време.

Но преди да можем да направим това, трябва да намерим компонентите

v_{0 x}

v_{0 y}

на началната скорост

v_{0}

, като използваме дефинициите за синус и косинус.

cos θ = \frac{прилежащ}{хипотенуза} = \frac{v_{0 x}}{v_{0}} (използваме дефиницията за косинус)

v_{0 x} = v_{0} cos θ (изразяваме v_{0 x})

v_{0 x} = (11, 4 \frac{m}{s}) cos (52, 1^{\circ}) (заместваме с числените стойности)

v_{0 x} = 7, 00 \frac{m}{s} (пресмятаме, за да намерим v_{0 x})

(Забележка: ако това е неразгадаемо математическо вещерство за теб, виж тази статия, която ще ти помогне при разлагането на вектори на компоненти.

Тази стойност, която намерихме за хоризонталната компонента на началната скорост

v_{0 x} = 7, 00 \frac{m}{s}

ще бъде също така и хоризонталната компонента на крайната скорост

v_{x} = 7, 00 \frac{m}{s}

, тъй като хоризонталната компонента на скоростта остава постоянна за целия полет (допускаме, че съпротивлението на въздуха е пренебрежимо малко и го пренебрегваме).

За да намерим вертикалната компонента на началната скорост, ще използваме същата процедура като по-горе, но със синус вместо с косинус.

sin θ = \frac{срещулежащ}{хипотенуза} = \frac{v_{0 y}}{v_{0}} (използваме дефиницията за синус)

v_{0 y} = v_{0} sin θ (решаваме за v_{0 y})

v_{0 y} = (11, 4 \frac{m}{s}) sin (52, 1^{\circ}) (заместваме с числените стойности)

v_{0 y} = 9, 00 \frac{m}{s} (пресмятаме, за да намерим v_{0 y})

Тъй като вертикалната компонента

v_{y}

се променя за свободно падащо тяло, докато то се движи във въздуха, ще трябва да намерим вертикалната компонента

v_{y}

на крайната скорост, като използваме кинематична формула за вертикалното направление. Тъй като не знаем времето

t

на полета, и засега не ни трябва да го намираме, ще използваме кинематичната формула, в която

t

не присъства.

v_{y}^{2} = v_{0 y}^{2} + 2 a_{y} Δ y (използваме кинематичната формула, в която времето не фигурира)

v_{y}^{2} = (9, 00 \frac{m}{s})^{2} + 2 (- 9, 8 \frac{m}{s^{2}}) (- 18 m) (заместваме с известните стойности)

v_{y}^{2} = 434 \frac{m^{2}}{s^{2}} (пресмятаме)

v_{y} = \pm \sqrt{434 \frac{m^{2}}{s^{2}}} = \pm 20, 8 \frac{m}{s} (взимаме корен квадратен)

v_{y} = - 20, 8 \frac{m}{s} (избираме отрицателната стойност, тъй като тиквата ще се движи надолу)

Сега, като знаем хоризонталната и вертикалната компонента на скоростта, можем да използваме питагоровата теорема, за да намерим големината на крайната скорост.

v^{2} = v_{x}^{2} + v_{y}^{2} (използваме питагоровата теорема)

v^{2} = (7, 00 \frac{m}{s})^{2} + (- 20, 8 \frac{m}{s})^{2} (заместваме със стойностите на хоризонталната и вертикалната компонента на крайната скорост)

v^{2} = 482 \frac{m^{2}}{s^{2}} (пресмятаме)

v = 21, 9 \frac{m}{s} (взимаме корен квадратен)

21, 9 \frac{m}{s}

е големината на крайната скорост на тиквата в момента, преди да се удари в земята. Връзката между крайната скорост и компонентите ѝ е показана на диаграмата по-долу.

Също можем да намерим ъгъла

ϕ

на крайната скорост, като използваме дефиницията за тангенс:

tan ϕ = \frac{срещулежащ}{прилежащ} = \frac{v_{y}}{v_{x}}

tan ϕ = \frac{20, 8 \frac{m}{s}}{7, 00 \frac{m}{s}}

Само ще намерим големината на ъгъла между хоризонтала и крайната скорост, така че просто ще заместим с големината на хоризонталната и вертикалната скорост.

Причината да правим това е. че калкулаторът често не може да ни каже дали минусът е дошъл от числителя или от знаменателя на тангенса, което го прави леко несигурен източник на информация в кой квадрант лежи ъгълът. За да избегнем този проблем със знака минус, можем просто да начертаем в коя посока сочи крайната скорост, да третираме страните на триъгълника (компонентите на скоростта) като положителни, след което да намерим големината на търсения ъгъл.

Сега като вземем аркустангенс от двете страни, получаваме

t a n^{- 1} (tan ϕ) = t a n^{- 1} (\frac{20, 8 \frac{m}{s}}{7, 00 \frac{m}{s}})

Лявата страна става само

ϕ

и можем да намерим стойността на дясната страна, като заместим и пресметнем, при което получаваме:

ϕ = 71, 4^{\circ}

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.