Основно съдържание

Курс: Физика – 11. клас (България) > Раздел 3

Урок 3: Електростатична индукция и кондензатори

Свободни трептения в резисторно-кондензаторна (RC) верига

Естествен отговор на RC верига. Произведението на R и С е наречено времева константа. Написано от Уили МакАлистър.

Резистор-кондензаторната

(RC)

електрическа верига е една от първите интересни електрически вериги, които можем да създадем и анализираме. Разбирането на поведението на тази верига е изключително важно за изучаването на електроника. Разновидности на тази верига могат да се срещнат навсякъде. Понякога специално ще създаваш такава верига, а друг път тя се появява сама.

Проводниците във вериги от реалния живот неизбежно имат други проводими елементи наблизо, например: други проводници, заземителни равнини или кутии от метал. Всеки два проводника, разделени от какъвто и да е изолатор, действат като кондензатор. Тези (обикновено малки, обикновено нежелани) кондензатори взаимодействат с интересуващия ни проводник. Много пъти могат да бъдат игнорирани, но понякога тези така наречени паразитни капацитети играят важна роля в работата на веригата.

Това е една от първите вериги, които срещаме, в които трябва да отчитаме времето. За да развием прецизно разбиране, трябва да използваме методи от висшата математика. Използваме производни, за да опишем резонансна резистор-кондензаторна

RC

верига.

Искаме да разберем свободното трептене в тази верига.

Основни идеи

В една резистор-кондензаторна верига, в която кондензаторът има начално напрежение

V_{0}

, напрежението ще намалее експоненциално според:

v (t) = V_{0} e^{- t / RC}

Където

V_{0}

е напрежението в момент

t = 0

. Това са т.нар. свободни трептения.

Времевата константа за

RC

верига е

τ = R \cdot C

Веригата, която ще разгледаме, съдържа последователно свързани резистор и кондензатор. Каква е реакцията на тази верига при прилагане на напрежение?

Първо помисли логично, за да прогнозираш какво се случва

Веригата, която разглеждаме в тази част, е:

Искаме да знаем какво се случва с

v_{C}

, напрежението в кондензатора, когато включим и изключим ключа.

Често използвана конвенция за наименуване на напреженията и токовете е да използваме имена с малки букви за стойности, които се променят с времето,

v

или

i (t)

. Използваме имена с големи букви, за да предположим постоянни стойности,

V

или

I

. Например напрежението на батерия или захранване може да означим с главна буква, като

VDD

или

VSS

. Главното

V

ни напомня, че напрежението не се променя. Тази конвенция за наименуването не е гарантирана за всяка схема, на която се натъкнеш, но е полезна практика.

Ще анализираме тези въпроси един по един:

Колко е $v_{C}$ ‍, напрежението между краищата на кондензатора,

преди да включим ключа нагоре?
след като включим ключа нагоре?
след като ключът отново падне?

Преди да включим ключа

Започваме анализа си, като определяме началното състояние на веригата, преди нещо да се промени. С ключа в позиция долу можем да начертаем следната еквивалентна верига.

v_{i n}

0

волта и левият край на резистора

R

е свързан с долната част на кондензатора

C

Нека приемем за момента, че веригата е стояла в това състояние дълго време, така че всеки заряд, който може да е бил съхранен в кондензатора в миналото, отдавна е протекъл през резистора, оставяйки

q_{C} = 0

. От това знаем, че напрежението между краищата на кондензатора трябва да е

0

волта, понеже

v_{C} = q / C = 0 / C = 0

Тъй като между краищата на кондензатора има

0

волта, така трябва да е и с резистора, така че токът през резистора

R

(и токът през кондензатора) трябва да е

0

ампера. Веригата е "в стабилно състояние" или "статична", или "в равновесие". Отговорихме на първия въпрос, "Какво е напрежението между краищата на

C

преди ключът да се включи нагоре?".

След като включим ключа нагоре

Сега включваме ключа. Напрежението

v_{i n}

става

V_{BAT}

и нещо ще се промени.

Токът започва да протича навън от положителния терминал на батерията, през

R

C

. Зарядът се натрупва в кондензатора. Натрупващият се заряд генерира покачващо се напрежение между краищата на кондензатора (

v_{C} = q / C

). Времевият период, в който напрежението

v_{C}

се променя, се нарича преходен период.

Какво не позволява на

v_{C}

да се покачва вечно? Зарядът се натрупва в кондензатора, докато

v_{C}

не се покачи до същата стойност като напрежението на батерията:

v_{C} = V_{BAT}

. В този момент напрежението между краищата на резистора е

0

волта, така че токът в резистора спира да тече (закон на Ом). Това също означава, че токът (зарядът) спира да протича в кондензатора. Количеството заряд в кондензатора спира да се променя и, следователно, напрежението на кондензатора става постоянно:

v_{c} = V_{BAT}

. Преходният период е приключил.

Отговорихме на втория въпрос, "Какво е напрежението между краищата на

C

след като включим ключа?" След преходния период веригата приема ново стабилно състояние с

v_{C} = V_{BAT}

. Остава там, докато нещо не наруши покоя ѝ.

След като ключът отново се върне надолу

Сега ще превключим ключа отново, връщайки го обратно до отрицателния терминал на батерията (

v_{i n} = 0

). Какво се случва сега?

Това е същата верига, с която започнахме, но този път кондензаторът

C

съхранява някакъв заряд, така че има начално напрежение между краищата му. Поради това сега има разлика в напрежението между терминалите на резистора

R

. Напрежението е

v_{C} = V_{BAT}

в момента, в който ключът се превключи надолу. Следователно трябва да започне да тече ток през

R

(така казва законът на Ом). Зарядът, предоставящ този ток, идва от заряда, съхранен в

C

. Зарядът ще продължи да тече, докато целият заряд, начално съхранен в

C

, се изчерпи.

v_{C}

плавно ще падне до нула волта. Разликата в напрежението между краищата на

R

също пада до нула. Веригата се връща до началното си състояние на равновесие. И така отговорихме на третия въпрос, "Какво е напрежението между краищата на

C

след като ключът се превключи обратно надолу?"

Обобщение

Като използваме само логическото си мислене, знаем, че напрежението на кондензатора

v_{C}

започва от

0

волта, покачва се до

V_{BAT}

, а после отново пада до

0

волта. Казано по друг начин,

v_{C}

преминава от начално стабилно състояние през преходно състояние до ново състояние, после през второ преходно състояние обратно до началното си състояние. Знаем точните стойности на началното и крайното напрежение на всеки преход. Не е зле, но... Какво не знаем? Не знаем колко дълго траят преходните състояния или формата им. Време е да използваме знанаията си от висшата математика, за да получим точно и полезно решение.

Формално извеждане на реакцията на резисторно-кондезаторна $RC$ ‍ резонансна верига

Да започнем с най-простия възможен случай. Веригата съдържа само резистор

R

и кондензатор

C

, свързани заедно. Под "извеждане на реакцията" имаме предвид да определиш

v

i

като функция на времето.

За да накараме веригата да направи нещо (а не просто да си стои), поставяме начален заряд в кондензатора. Това се прави чрез външна верига, която не се вижда. След добавяне на тази енергия пускаме и гледаме каква е реакцията на веригата. Представи си, че кондензаторът е зареден до някакво начално напрежение

V_{0}

от въшна верига, която е била изключена точно преди секунда.

Резултатът, който ще изведем, се нарича свободни трептения в трептящ кръг на

RC

верига. Свободните трептения са реакцията на веригата, когато има начално състояние, но нищо друго не задейства веригата.

Моделирай компонентите

R

C

компонентите на веригата могат да бъдат описани от характеристичните си уравнения напрежение-ток.

За резистора избираме следната форма на закона на Ом:

i_{R} = \frac{v}{R}

Съответната зависимост напрежение-ток за кондензатора е:

i_{C} = C \frac{d v}{d t}

Това уравнение

i

v

за кондензатора отразява основната връзка заряд-към-напрежение за кондензатора:

q = C v

Можем да диференцираме двете страни на това уравнение спрямо времето:

\frac{d q}{d t} = C \frac{d v}{d t}

Лявата страна,

d q / d t

, е промяната на заряда и промяната във времето. Това представлява движещ се заряд, или електричен ток. Този член за пръв път е бил използван от Андре-Мари Ампер. Символът, който използваме за тока, е "

i

", от първата буква на френската фраза “intensité du courant électrique.” Заменянето на

d q / d t

i

води до позната зависимост ток-напрежение за кондензатор:

i = C \frac{d v}{d t}

Моделирай веригата

Можем да запишем уравнение, като използваме закона на Кирхоф за тока за двата тока, протичащи навън от горния възел.

i_{C} + i_{R} = 0

C \frac{d v}{d t} + \frac{1}{R} v = 0

Анализирай веригата

Предишното уравнение е обикновено диференциално уравнение от първи ред (ODE). Имаме математическите умения да решим този вид уравнение.

Това е диференциално уравнение, понеже съдържа производни. От "първи ред" е, понеже най-високата производна е първа производна

(d v / d t)

. "Обикновено" е, понеже има само една единична независима променлива (

t

) (за разлика от частните производни при множество независими променливи).

Никога не спира да ме изумява, че символите от схемата са частици от диференциални уравнения. Прости символи, сложни идеи.

Решението на едно диференциално уравнение е някакъв вид функция, в нашия случай това е някаква функция на напрежението спрямо времето

v (t)

v (t)

е решение, ако прави диференциалното уравнение вярно.

C \frac{d v}{d t} + \frac{1}{R} v = 0

(диференциално уравнение)

Откъде идват ODE решенията? Един начин е да направим информирано предположение за решение и да го проверим.

Това ODE е диференциално уравнение с отделящи се променливи. Метод за решаване на диференциални уравнения с отделящи се променливи е включен в края на статията за реакция на резисторно-индукторна RL резонансна верига. В този метод няма нужда от допускания.

Във видеото на Сал за диференциални уравнения с отделящи се променливи се разглежда в дълбочина в този метод за решаване. Той говори за предполагането на решение, когато решава диференциални уравнения от втори ред.

Докато се взираш в диференциалното уравнение, прегледай в кошчето за отпадъци в ума ти за някакви знания за функциите.

Двата члена в уравнението трябва да дадат сбор от нула. Това предполага, че първата производна на функцията трябва да има същата форма като самата функция. Претърси паметта си за функция, чиято първа производна изглежда точно като самата функция. Хммм...

Функция, която отговаря на това изискване, е някакъв вид показателна функция,

e^{x}

, понеже производната на показателната функция е друга показателна функция.

\frac{d}{d t} e^{α t} = α e^{α t}

За да решим диференциалното си уравнение, ще направим смело предположение за вида на решението. (Тази част изисква смелост.) После ще заместим решението в уравнението и ще определим няколко константи, специфични за веригата. (Тази част изисква изчисления.) Ако намерим константи, които правят уравнението вярно, тогава предложената функция е решение на уравнението и печелим.

Предложеното ни решение е показателна функция, декорирана с променливи параметри

K

s

v (t) = K e^{s t}

$t$ ‍ е времето
$v (t)$ ‍ е напрежението като функция на времето
$K$ ‍ и $s$ ‍ са константи, които трябва да открием
- $K$ ‍ е член за амплитудата, който прави напрежението по-голямо или по-малко.
- $s$ ‍ е степенният показател. Той трябва да има мерни единици, които съкращават времето. Тоест мерните единици на $s$ ‍ са $1 / t$ ‍.

Нека проверим, за да видим дали предложеното ни решение работи...

Замести

v (t) = K e^{s t}

в диференциалното уравнение:

C \frac{d}{d t} (K e^{s t}) + \frac{1}{R} (K e^{s t}) = 0

Намери производната в първия член

\frac{d}{d t} (K e^{s t}) = s K e^{s t}

Замести

s K e^{s t}

обратно в диференциалното уравнение:

s C K e^{s t} + \frac{1}{R} K e^{s t} = 0

Сега можем да изнесем

K e^{s t}

(s C + \frac{1}{R}) K e^{s t} = 0

Това уравнение представлява специфичната ни верига с предложеното решение. Почти сме готови. След това намираме две константи и гледаме дали уравнението е вярно.

Колко начина има да направим лявата страна да е равна на нула? Три начина: Всеки от трите члена може да е нула,

K

или

e^{s t}

, или

(s C + 1 / R)

Тривиално решение е

K = 0

. Това е равностойно на поставяне на началния заряд на кондензатора на

0

и веригата просто си стои там и не върши нищо. Това е толкова скучно.

Друго тривиално решение е да направим

e^{s t} = 0

. Постави

s

да е равно на коя да е отрицателна стойност и постави

t

да стига до

+ \infty

. Степенният показател

e^{- \infty}

напълно изчезва, което означава, че стоим безкрайно време, чакайки кондензаторът напълно да разреди заряда си. Отново, не е интересно.

По-интригуващо решение възниква от третия избор:

s C + \frac{1}{R} = 0

Това уравнение е вярно, ако:

s = - \frac{1}{RC}

Дотук предложеното ни решение изглежда така:

v (t) = K e^{- t / RC}

Почти сме готови. Остава ни само да намерим

K

. Проучи началните условия на веригата. Припомни си, че кондензаторът в началото беше зареден до напрежение

V_{0}

. Ако наречем този момент

t = 0

, тогава

v (0) = V_{0} = K e^{- \frac{0}{RC}}

При което получаваме

K = V_{0}

Открихме

s

K

, за да направим диференциалното уравнение вярно. Готови сме. Барабани, моля...

Общото решение за свободните трептения в една резисторно-кондензаторна

RC

верига е:

v (t) = V_{0} e^{- t / RC}

Времева константа

Степенният показател не може да има мерни единици. Това означава, че произведението

RC

e^{- t / RC}

трябва да има мерни единици за време, за да съкрати времето

t

в числителя. Това означава

омове \cdot фаради = секунди

, нещо, което може би не ти беше хрумнало.

Произведението на

R

C

се нарича времева константа на тази верига и обикновено се означава с гръцката буква

τ

(тау).

τ = RC

И записваме решението като:

v (t) = V_{0} e^{- t / τ}

Когато

t

е равно на времевата константа, степенният показател на

e

става

- 1

, а степенуваният член е равен на

1 / e

, или около

0, 37

. Времевата константа определя колко бързо експоненциалната крива слиза до нула. След като измине време, равно на

1

времева константа, напрежението спада до

37 %

от началната си стойност.

Пример 1

За да определим свободното трептение на веригата,
нека

R = 3 k Ω

C = 1 μ F

V_{0} = 1, 4 V

a. Изрази $v (t)$ ‍
b. Колко е $v (t)$ ‍, когато $t = RC$ ‍ ?
c. Построй графиката на $v (t)$ ‍

Решение на пример 1

a. Изрази $v (t)$ ‍

v (t) = V_{0} e^{- t / RC}

v (t) = 1, 4 e^{- \frac{t}{3 k Ω \cdot 1 μ F}}

v (t) = 1, 4 e^{- \frac{t}{3 \cdot 10^{3} \cdot 1 \cdot 10^{- 6}}}

v (t) = 1, 4 e^{- \frac{t}{3 \cdot 10^{- 3}}}

v (t) = 1, 4 e^{- \frac{t}{3 ms}}

b. Колко е $v (t)$ ‍, когато $t = RC$ ‍ ?

Произведението

RC

се измерва с мерни единици секунди.

τ = RC = 3 \cdot 10^{3} \cdot 1 \cdot 10^{- 6}

τ = 3 \times 10^{- 3} = 3 ms

v (3 ms) = 1, 4 e^{- \frac{3 ms}{3 ms}}

v (3 ms) = 1, 4 e^{- 1}

v (3 ms) = 1, 4 \cdot 0,367 9

v (3 ms) = 0,515 волта

(оградено на диаграмата по-долу)

c. Построй графиката на $v (t)$ ‍

Окръжността

ни показва отговора за част b:

v (t) = 0,515 V

, когато

t = RC = 3 ms

Полезен съвет

Когато времето е равно на времевата константа

RC

, напрежението е спаднало от началната си стойност с коефициент

1 / e

, или е спаднало с приблизително

37 %

от началната си стойност. Това е вярно за всяко начално напрежение и за всяко произведение

RC

Пример 2

Нека

R = 1 k Ω

C = 1 pF

, и

V_{0} = 1, 0 V

a. Напиши израза за v(t).
b. Каква е времевата константа?
c. Построй графиката на $v (t)$ ‍.
d. Колко времеви константи са нужни, за да спадне напрежението с $95 %$ ‍ от началната си стойност?

Решение на пример 2

a. Напиши израз за $v (t)$ ‍

v (t) = V_{0} e^{- t / RC}

v (t) = 1, 0 e^{- \frac{t}{1 k Ω \cdot 1 pF}}

v (t) = 1, 0 e^{- \frac{t}{1 \cdot 10^{- 9}}}

v (t) = 1, 0 e^{- \frac{t}{1 ns}}

b. Каква е времевата константа?

τ = RC = 1 k Ω \cdot 1 pF

τ = 1 \cdot 10^{+ 3} \cdot 1 \cdot 10^{- 12}

τ = 1 \times 10^{- 9} = 1 ns

с. Построй графиката на $v (t)$ ‍.

Окръжността

показва отговора за част d.

d. Колко времеви константи са нужни, за да спадне напрежението до $95 %$ ‍ от началната си стойност?

Като разчитаме диаграмата по-горе, виждаме напрежението да пада до

(1 - 0, 95) \cdot 1 V = 0, 05

волта около

3

nsec, което съответства на

3

времеви константи. Тази точка е оградена от

окръжността

Друг полезен съвет

Всяко преходно състояние

RC

е почти приключило след

3

времеви константи. Това е вярно за всяко начално напрежение и за всяко произведение

RC

Обобщение

Свободното трептение на една резонансна

RC

верига е показателна функция:

v (t) = V_{0} e^{- t / RC}

Където

V_{0}

е напрежението в момента

t = 0

времевата константа на една

RC

верига е

τ = RC

Епилог

функция $e^{x}$ ‍

Функцията

e^{x}

или нараства (

x > 0

), или се разпада (

x < 0

) с някаква скорост в зависимост от

x

. Има много други функции със същата обща форма. Всяка функция от вида

y^{x}

има същата обща форма. Но щом можем да получим същата форма с различни стойности на

y

като

2^{x}

или

10^{x}

, защо се приема за толкова специално това ирационално число

e

? Причината да обичаме

e

повече от всеки друг избор е, че

e

е единственото число, за което производната на

y^{x}

е същата като функцията. Тоест наклонът на графиката на

e^{x}

за всяко

x

е равен на стойността на

e^{x}

\frac{d e^{x}}{d x} = e^{x}

Точно същото нещо.

Експоненциалните зависимости се срещат в природата

Задачата, която току-що решихме, за реакцията на резисторно-кондензаторна RC резонансна верига, е представителна за явления, които често се наблюдават в природата. Експоненциалната функция е много добър математически модел за описване на това как нещата растат или се разпадат. Примери за това са радиокативното разпадане на урана, растежът на населението, намаляването на сумите на вноските за лихви по ипотечните кредити, нагряването и охлаждането и други процеси от реалния живот. Най-общо казано: Експоненциалните функции се наблюдават в ситуации, в които количеството промяна е пропорционално на количеството от нещото, което имаме. За нашата резонансна RC верига скоростта на изменение на напрежението е пропорционална на напрежението. Кривата е стръмна, когато напрежението е високо, и по-плоска, когато напрежението спадне.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Физика – 11. клас (България)

Курс: Физика – 11. клас (България) > Раздел 3

Основни идеи

Първо помисли логично, за да прогнозираш какво се случва

Преди да включим ключа

След като включим ключа нагоре

След като ключът отново се върне надолу

Обобщение

Формално извеждане на реакцията на резисторно-кондезаторна RC‍ резонансна верига

Моделирай компонентите

Моделирай веригата

Анализирай веригата

Времева константа

Пример 1

Решение на пример 1

Полезен съвет

Пример 2

Решение на пример 2

Друг полезен съвет

Обобщение

Епилог

функция ex‍

Експоненциалните зависимости се срещат в природата

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Формално извеждане на реакцията на резисторно-кондезаторна $RC$ ‍ резонансна верига

функция $e^{x}$ ‍