Средна скорост при постоянно ускорение

Целта на това видео е да проучим някои от концепциите или формулите, които може да видиш в традиционен курс по физика. Но още по-важно е да видиш, че те са всъщност доста логични идеи. Нека започнем с прост пример. Да кажем, че – и за целта на това видео, просто за да не трябва да продължавам да повтарям, че това е големината на скоростта, това е посоката на скоростта и така нататък, нека просто приемем, че ако имам положително число – например, ако имах положителна скорост, това означава, че се движа надясно. И да кажем, че ако имам отрицателно число, което няма да видим в това видео, нека приемем, че отивам наляво. И така просто мога да запиша едно число и работим само в едно измерение. Знаеш, че това уточнява какви са големината и посоката. Ако кажа, че скоростта е 5 метра в секунда, това означава 5 метра в секунда надясно. Ако кажа, че е минус 5 метра в секунда, това означава, че е 5 метра в секунда наляво. И просто казваме, за да опростим нещата, нека просто кажем, че започваме с начална скорост от 5 метра в секунда. И, отново, уточнявам и големината, и посоката. Поради това определение тук, знаем, че това е надясно. И да кажем, че имам постоянно ускорение. Имаме постоянно ускорение от 2 метра в секунда в секунда, или 2 метра в секунда на квадрат. И, отново, след като това е положително, то е надясно. И да кажем, че правим това за определена продължителност от време. Промяната ми във времето е – да кажем, че правим това за продължителност от 4 – просто ще използвам s. Няма да използвам секунди и после sec, и после s на различни места s за това видео е секунди. Искам да помисля колко далеч отиваме. Има две неща. Колко бързо се движим след 4 секунди и колко далеч сме стигнали за тези 4 секунди. Нека си начертаем малка графика тук. Това е оста на скоростта, а това тук е оста на времето. Мога да начертая по-права линия. Това е оста на времето. Това е скоростта. Това тук е скоростта. И започвам при 5 метра в секунда. Това тук е 5 метра в секунда. Тоест v с долен индекс i е равно на 5 метра в секунда. И после, с всяка секунда, която изминава, се движа с 2 метра в секунда по-бързо. Понеже това е 2 метра в секунда в секунда. Всяка секунда, която изминава – тоест след 1 секунда ще се движа с 2 метра в секунда по-бързо. Ще бъда на 7. Или, друг начин да мислим за това, е, че наклонът на тази права на скоростта е постоянното ми ускорение. Или имам постоянен наклон тук. Може да изглежда нещо подобно. Какво се е случило след 4 секунди? 1, 2, 3, 4. Това е моето делта t. Крайната ми скорост ще е ето тук. Ще го запиша тук долу, просто понеже се изпречва пред тази дума скорост. Това е v с долен индекс f. Това е крайната ми скорост. Колко ще е тя? Започвам с 5 метра в секунда. Ще направя и като използвам променливите, и като използвам точните числа. Започвам с някаква начална скорост. Индексът i казва i за начална (initial). И с всяка секунда, която изминава, започвам да се движа по-бързо. Ако искам да видя колко по-бързо се движа, умножавам броя секунди – просто умножавам броя секунди, които изминават, по ускорението ми. Отново, това тук, просто записах индекса с, който казва, че това е постоянно (constant) ускорение. И това ще ми каже колко бързо съм се движил. Ако започна в тази точка и умножа продължителността по наклона, стигам ето дотук. Ще стигна до крайната ми скорост. И за да поясня това с числата, тези числа могат да са всякакви, просто ги избирам, за да направя нещата конкретни. Имаш 5 метра в секунда плюс 4 секунди плюс – искам да направя това в жълто – плюс 4 секунди по ускорението ни от 2 метра в секунда на квадрат. И на колко ще е равно това? Секундите се съкращават с едните секунди тук долу. Нека го запиша. Имаме 5 метра в секунда, плюс 4 по 2 е 8. Това "секунда" го няма. И ни остава просто метри в секунда. 8 метра в секунда. Или това е същото нещо като 13 метра в секунда, което ще е крайната ни скорост. И искам да направя пауза. Можеш да направиш пауза и да помислиш самостоятелно. Надявам се, че това ще ти се види логично. Започваме с 5 метра в секунда. С всяка секунда, която изминава, ще се движим с 2 метра в секунда по-бързо. След 1 секунда ще сме при 7 метра в секунда. След 2 секунди ще сме при 9 метра в секунда. След 3 секунди ще сме при 11 метра в секунда. И след 4 секунди ще сме при 13 метра в секунда. Умножаваш изминалото време по ускорението. Това е колко по-бързо ще се движим. Ако вече се движим с 5 метра в секунда... 5 плюс колко по-бързо? 13 метра в секунда. Това тук горе е 13 метра в секунда. Ще направя малка пауза тук. Надявам се, че това е логично. Цялата идея на това е да ти покажа, че тази формула, която често ще видим в много книги по физика, не е нещо, което случайно е изникнало от въздуха, а всъщност е напълно логично. Следващото нещо, за което искам да говоря, е какво е общото разстояние, което бихме изминали. Знаем от последното видео, че разстоянието е просто площта под тази крива тук. То е просто площта под тази крива. Казваш си, че това тук е странна форма. Как да изчисля площта ѝ? И можем да използваме проста геометрия, за да я разделим на две различни области, площите на които са лесни за изчисляване. Или две прости форми. Можеш да разделиш това на тази синя част, този правоъгълник тук. Лесно е да намерим площта на правоъгълник. И можем да го разделим на тази лилава част. Този триъгълник тук. Лесно е да намерим площта на триъгълник. И това ще е общото разстояние, което сме изминали. И дори това, надявам се, ще ти се види логично. Понеже тази синя площ е колко далеч щяхме да сме отишли, ако не ускорявахме. Ако просто се движехме с 5 метра в секунда за 4 секунди. Ако изминеш 5 метра в секунда по – това са 1 секунда, 2 секунди, 3 секунди, 4 секунди. Движиш се от време 0 до време 4, промяната във времето ти е 4 секунди. Ако се движиш с 5 метра в секунда за 4 секунди, ще изминеш 20 метра. Това тук е 20 метра. Това е площта. 5 по 4. Тази лилава или цикламена област ти казва колко по-надалеч от това отиваш, понеже ускоряваш, понеже се движиш все по-бързо и по-бързо, и по-бързо. И е доста лесно да изчислим тази площ. основата тук все още е 5, понеже това са 5 изминали секунди. Каква е височината тук? Височината тук е крайната ми скорост минус началната ми скорост. Или тя е промяната в скоростта, заради ускорението. И промяната в скоростта, заради ускорението... 13 минус 5 е 8. Или тя е това 8 тук. Тя е 8 метра в секунда. Тази височина тук е 8 метра в секунда. Основата тук е 4 секунди. Това е изминалото време. Каква е площта на този триъгълник? Площта на триъгълник е 1/2 по основата – която е 4 секунди – по височината, която е 8 метра в секунда. Секундите се съкращават. 1/2 по 4 е 2, по 8 е равно на 16 метра. Общото разстояние, което сме изминали, е 20 плюс 16, е 36 метра. Това е общото – мога да кажа общото преместване. И, отново, то е надясно, след като е положително. Това е нашето преместване. Искам да направя точно същото изчисление, но ще го оставя във формата с променливата и това ще ни даде друга формула, която много хора често запомнят наизуст. Но аз искам да разбереш, че тя е напълно логична формула и произлиза от разсъждението, през което преминахме в това видео. Каква е площта? Отново, ако просто помислим за променливите... Площта на този триъгълник тук е началната скорост по промяната във времето. Това е синият правоъгълник ето тук. И после плюс – какво трябва да направим – имаме, отново, промяната във времето по височината. Което е крайната ни скорост. Което е по крайната ни скорост минус началната ни скорост. Всички тези са вектори. Те са положителни, което ни казва, че отиваме надясно. И не просто умножаваме основата по височината. Това ще ни даде площта на целия този правоъгълник. Трябва да го вземем наполовина, понеже триъгълникът е само половината от този правоъгълник. Тоест по 1/2. И това е площта. Това е лилавата площ. Това не е лилаво. Това е лилавата площ. Това е площта на това. Това е площта на това. Нека малко ги опростим. Нека изнесем делта t. Ако изнесеш делта t, получаваш делта t по няколко неща, v с индекс i – началната ти скорост. Изнесохме това. Плюс тези неща. Плюс това нещо тук. И можем да умножим по това 1/2. Изнесохме делта t. И нека умножим 1/2 по всяко от тези неща. Това ще е плюс 1/2 по vf, по крайната ни скорост. Това не е правилният цвят, нека го направя в правилния цвят, за да разбереш какво правя. Това е 1/2. Тоест плюс 1/2 по крайната ни скорост. Минус 1/2 по началната ни скорост. Искам да направя това в синьо. Извинявай, днес ми е трудно да сменям цветовете. Минус 1/2 по началната ни скорост. И до какво ще се опрости това? Имаме нещо плюс 1/2 по още нещо минус 1/2 по това първоначалното нещо. Колко е vi - 1/2vi? Нещо минус половината от себе си, просто ще имаш половината останало. Тези два члена, този член и този член, ще се опростят до 1/2vi. 1/2 от началната ни скорост плюс 1/2 от крайната ни скорост. И всичко това бива умножено по промяната във времето. Или времето, което е изминало. И това ни дава разстоянието. Разстоянието, което сме изминали. Или друг начин да мислим за това – нека изнесем това 1/2. Получаваш, че разстоянието е равно на промяната във времето по – изнасяме 1/2 – (vi + vf). Това не е правилният цвят. (vi + vf) Това е интересно. Изминатото разстояние е равно на 1/2 от първоначалната ни скорост плюс крайната ни скорост. Ако просто вземеш, това количество тук, то е просто аритметичната – винаги ми е трудно да кажа тази дума – то е аритметичната средна стойност на тези две числа. И ще определя това като нещо ново. Ще нарека това средна скорост. Но трябва да сме много внимателни с това. Това тук е средната скорост. Единствената причина да мога просто да взема началната скорост и крайната скорост, събирам ги и деля на 2... Всъщност взимам средното аритметично на тези две неща, което ще е някъде ето тук. И взимам това като средна скорост, понеже ускорението ми е постоянно. Което обикновено е предположение в повечето часове по въведение във физиката. Но не е винаги предположението. Но ако имаш постоянно ускорение, можеш да приемеш, че средната скорост ще е средното аритметично на началната скорост и крайната скорост. Ако това беше крива или ако ускорението се променяше, нямаше да можеш да направиш това. Но полезната част е – ако искаш да намериш изминатото разстояние, просто трябва да знаеш началната скорост и крайната скорост. Взимаш средно аритметичното им и после умножаваш това по изминалото време. В тази ситуация крайната ни скорост е 13 метра в секунда. Началната ни скорост беше 5 метра в секунда. Тоест имаш 13 плюс 5 е равно на 18. Делиш това на 2. Средната ти скорост е 9 метра в секунда, ако просто вземеш средното аритметично на 13 и 5. И после 9 метра в секунда по 4 секунди ти дава 36 метра. Надявам се, че това не те обърква. Исках просто да ти покажа откъде някои от тези неща, които ще видиш в час по физика, някои от тези формули – защо не трябва да ги запаметяваш, а всички те могат да бъдат изведени с разсъждение.