Основно съдържание

Курс: Програмиране > Раздел 5

Урок 4: Вектори

Повече векторна математика

Събирането наистина беше първата стъпка. Има много математически операции, които обикновено се използват с вектори. По-долу е пълният списък на операциите като функции в PVector обект от ProcessingJS. Ще преминем през някои от ключовите сега. С нарастването на сложността на примерите към последните раздели, ще продължим да разкриваме повече подробности за функциите.

add() — събира вектори
sub() — изважда вектори
mult() — скалира вектор с умножение
div() — скалира вектор с деление
mag() — изчислява големината на вектора
normalize() — нормализира вектора до единица с големина 1
limit() — ограничава големината на вектор
heading2D() — двуизмерното заглавие на вектор, изразено като ъгъл
dist() —Евклидовото разстояние между два вектора (считани за точки)
angleBetween() — намира ъгъла между два вектора
dot() — точковото произведение на два вектора
cross() — произведението на кръст на два вектора (отнася се само за три измерения)

След като покрихме събирането, нека да започнем с изваждането. Това не е толкова зле; просто вземи знака плюс и го замени с минус!

Изваждане на вектори

\vec{w} = \vec{u} - \vec{v}

може да бъде записано като:

w_{x} = u_{x} - v_{x}

w_{y} = u_{y} - v_{y}

и така функцията вътре в PVector изглежда по този начин:

PVector.prototype.sub = function(vector2) {
    this.x = this.x - vector2.x;
    this.y = this.y - vector2.y;
};

Следващият пример демонстрира векторно изваждане като взима разликата между две точки – мястото на мишката и центъра на прозореца.

Основни числови свойства с вектори

Когато правим изчисления с реални числа, те се подчиняват на следните основни правила:

Комутативното правило:

3 + 2 = 2 + 3

Асоциативното правило:

(3 + 2) + 1 = 3 + (2 + 1)

Тези същите правила са верни и за математиката с вектори:

Комутативното правило:

\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}

Асоциативното правило:

\vec{u} + (\vec{v} + \vec{w}) = (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w}

Векторно умножение

Продължаваме с умножение и тук ще трябва да мислим по малко по- различен начин. Когато говорим за умножаване на вектор, обикновено имаме предвид скалиране на вектор. Ако искаме да скалираме вектор до два пъти или една-трета от размера му (като посоката му остане същата), бихме казали: "Да умножим вектора по 2" или "Да умножим вектора с 1/3." Обърни внимание, че умножаваме вектора скаларно – по число – а не по друг вектор.

За да мащабираме вектор, ние увеличаваме всеки компонент (x и y) скаларно.

\vec{w} = \vec{u} * n

може да се запише като:

\begin{aligned} w_{x} = u_{x} * n \\ w_{y} = u_{y} * n \end{aligned}

Да разгледаме един пример с векторна нотация.

\begin{aligned} \vec{u} = (- 3, 7) \\ n = 3 \\ \vec{w} = \vec{u} * n \\ w_{x} = - 3 * 3 \\ w_{y} = 7 * 3 \\ \vec{w} = (- 9, 21) \end{aligned}

Следователно функцията вътре в обекта PVector ще гласи следното:

PVector.prototype.mult = function(n) {
  this.x = this.x * n;
  this.y = this.y * n;
}

И можем просто да използваме mult в кода:

var u = new PVector(-3,7); 
// Този PVector вече е три пъти по-голям и е равен на (-9,21).
 u.mult(3);

Това е примерът от по-рано, но тук умножаваме вектора по 0,5 всеки път, така че скалира наполовина:

Вместо да умножаваме горното по 0,5, можем да го разделим на 2. Делението работи като умножението – просто заместваме знака за умножение (звездичка) със знака за деление (наклонена напред черта).

Ето как е имплементиран вътрешно методът div:

PVector.prototype.div = function(n) {
  this.x = this.x / n;
  this.y = this.y / n;
}

И ето как можем да го използваме в код:

var u = new PVector(8, -4);
u.div(2);

Още числови свойства на векторите

Както и при събирането, основните алгебрични правила за умножение важат за векторите.

Асоциативното правило:

(n * m) * \vec{v} = n * (m * \vec{v})

Дистрибутивното правило с 2 скалара и 1 вектор:

(n + m) * \vec{v} = n * \vec{v} + m * \vec{v}

Дистрибутивното правило с 2 вектора и 1 скалар:

(\vec{u} + \vec{v}) * n = \vec{u} * n + \vec{v} * n

Искаш ли да упражниш задачите с вектори? Можеш да научиш повече тук в Кан Академия в нашия раздел за Линейна алгебра: Вектори.

Курсът "Компютърни симулации на физични явления" е производeн на "Природата на кода" от Даниел Шифман, използвана от Creative Commons Attribution-NonCommercial 3,0 Unported License.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.