Основно съдържание

Курс: 10. клас (България) > Раздел 1

Урок 3: Решаване на ирационални уравнения

Решаване на ирационални уравнения

Упражни се с няколко задачи преди да започнеш упражнението.

Въведение

В тази статия ще решим няколко уравнения с квадратен корен. Те са малко по-различни от уравненията, които сме решавал преди: изискват повече работа при решаването и в някои от по-трудните задачи се появяват и чужди корени.

Задача за упражнение 1: Изолиране на члена под корен

Реши следното уравнение и намери $x$ ‍.

\sqrt{2 x - 7} - 3 = 4

x =

Стъпка 1: Изолиране на члена, съдържащ корен.

Преди да повдигнем на квадрат двете страни, трябва да отделим от едната страна на знака за равенство члена под корен.

$\begin{aligned} \sqrt{2 x - 7} - 3 & = 4 \\ \sqrt{2 x - 7} & = 7 \end{aligned}$ ‍

Стъпка 2: Повдигане на квадрат на двете страни.

Сега, след като отделихме члена, съдържащ корен, от едната страна на знака за равенство, можем да повдигнем на квадрат двете страни, за да елиминираме знака за корен:

$\begin{aligned} \sqrt{2 x - 7} & = 7 \\ {(\sqrt{2 x - 7})}^{2} & = (7)^{2} \\ 2 x - 7 & = 49 \\ 2 x & = 56 \\ x & = 28 \end{aligned}$ ‍

Стъпка 3: Проверка за чужди корени.

Първоначалното уравнение е

\sqrt{2 x - 7} - 3 = 4

Когато

x = 28

, получаваме:

$\begin{aligned} \sqrt{2 x - 7} - 3 & = 4 \\ \sqrt{2 (28) - 7} - 3 & \overset{?}{=} 4 \\ \sqrt{49} - 3 & \overset{?}{=} 4 \\ 7 - 3 & \overset{?}{=} 4 \\ 4 & = 4 \end{aligned}$ ‍

Следователно

x = 28

наистина е решение.

Задача за упражнение 2: Две възможни решения

Какви са решенията на следното уравнение?

6 + 3 x = \sqrt{2 x + 12} + 2 x

Стъпка 1: Изолиране на члена, съдържащ корен.

$\begin{aligned} 6 + 3 x & = \sqrt{2 x + 12} + 2 x \\ 6 + x & = \sqrt{2 x + 12} \end{aligned}$ ‍

Стъпка 2: Повдигане на квадрат на двете страни.

$\begin{aligned} 6 + x & = \sqrt{2 x + 12} \\ {(6 + x)}^{2} & = {(\sqrt{2 x + 12})}^{2} \\ 36 + 12 x + x^{2} & = 2 x + 12 \\ x^{2} + 10 x + 24 & = 0 \\ (x + 6) (x + 4) & = 0 \end{aligned}$ ‍

Намерихме две възможни решения:

x = - 6

x = - 4

Стъпка 3: Проверка за чужди корени.

Първоначалното уравнение е

6 + 3 x = \sqrt{2 x + 12} + 2 x

Когато

x = - 6

, получаваме:

$\begin{aligned} 6 + 3 x & = \sqrt{2 x + 12} + 2 x \\ 6 + 3 (- 6) & \overset{?}{=} \sqrt{2 (- 6) + 12} + 2 (- 6) \\ - 12 & \overset{?}{=} \sqrt{0} - 12 \\ - 12 & \overset{?}{=} 0 - 12 \\ - 12 & = - 12 \end{aligned}$ ‍

Следователно

x = - 6

е наистина решение.

Когато

x = - 4

, получаваме:

$\begin{aligned} 6 + 3 x & = \sqrt{2 x + 12} + 2 x \\ 6 + 3 (- 4) & \overset{?}{=} \sqrt{2 (- 4) + 12} + 2 (- 4) \\ - 6 & \overset{?}{=} \sqrt{4} - 8 \\ - 6 & \overset{?}{=} 2 - 8 \\ - 6 & = - 6 \end{aligned}$ ‍

Следователно

x = - 4

също е решение!

Заключение

Намерихме, че това уравнение има две решения! И

x = - 6

, и

x = - 4

са решения на уравнението.

Задача за упражнение 3

Какви са решенията на следното уравнение?

\sqrt{7 x^{2} + 15 x} - 2 x = 5 + x

Стъпка 1: Изолиране на члена, съдържащ корен.

$\begin{aligned} \sqrt{7 x^{2} + 15 x} - 2 x & = 5 + x \\ \sqrt{7 x^{2} + 15 x} & = 5 + 3 x \end{aligned}$ ‍

Стъпка 2: Повдигане на квадрат на двете страни.

$\begin{aligned} \sqrt{7 x^{2} + 15 x} & = 5 + 3 x \\ {(\sqrt{7 x^{2} + 15 x})}^{2} & = {(5 + 3 x)}^{2} \\ 7 x^{2} + 15 x & = 25 + 30 x + 9 x^{2} \\ 0 & = 2 x^{2} + 15 x + 25 \\ 0 & = (2 x + 5) (x + 5) \end{aligned}$ ‍

Намерихме две възможни решения:

x = - 5

x = - \frac{5}{2}

Стъпка 3: Проверка за чужди корени.

Първоначалното уравнение е

\sqrt{7 x^{2} + 15 x} - 2 x = 5 + x

Когато

x = - 5

, получаваме:

$\begin{aligned} \sqrt{7 x^{2} + 15 x} - 2 x & = 5 + x \\ \sqrt{7 {(- 5)}^{2} + 15 (- 5)} - 2 (- 5) & \overset{?}{=} 5 + (- 5) \\ \sqrt{100} + 10 & \overset{?}{=} 0 \\ 10 + 10 & \overset{?}{=} 0 \\ 20 & \neq 0 \end{aligned}$ ‍

Следователно

x = - 5

не е решение.

Когато

x = - \frac{5}{2}

, получаваме:

$\begin{aligned} \sqrt{7 x^{2} + 15 x} - 2 x & = 5 + x \\ \sqrt{7 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 15 (- \frac{5}{2})} - 2 (- \frac{5}{2}) & \overset{?}{=} 5 + (- \frac{5}{2}) \\ \sqrt{\frac{175}{4} - \frac{75}{2}} + 5 & \overset{?}{=} \frac{5}{2} \\ \sqrt{\frac{25}{4}} + 5 & \overset{?}{=} \frac{5}{2} \\ \frac{5}{2} + 5 & \overset{?}{=} \frac{5}{2} \\ \frac{15}{2} & \neq \frac{5}{2} \end{aligned}$ ‍

Следователно

x = - \frac{5}{2}

също не е решение.

Заключение

Намерихме, че това уравнение няма решение.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.