Основно съдържание

Курс: 10. клас (България) > Раздел 2

Урок 3: Аритметична прогресия: явни и рекурентни формули

Превръщане между рекурентен и явен вид на аритметична прогресия

Научи как да превръщаш рекурентно и явно зададените формули на аритметичните прогресии една в друга.

Преди да започнеш този урок се увери, че знаеш как да намираш рекурентно зададени формули и явни формули на аритметични прогресии.

Преобразуване от рекурентна в явна формула

Аритметична прогресия има следната рекурентно зададена формула.

${\begin{cases} a (1) = 3 \\ a (n) = a (n - 1) + 2 \end{cases}$ ‍

Спомни си, че тази формула ни дава следните две сведения:

Първият член е $3$ ‍
За да получим който и да е член от предхождащия го, прибавяме $2$ ‍. С други думи разликата на редицата е $2$ ‍.

Нека намерим явната формула за прогресията.

Не забравяй, че можем да представим една прогресия, чийто първи член е

A

, а разликата е

B

, чрез стандартната явна форма

A + B (n - 1)

Следователно явната формула на прогресията е

a (n) = 3 + 2 (n - 1)

Провери знанията си

1) Запиши явната формула на прогресията $9, 5, 1, …$ ‍.

{\begin{cases} b (1) = - 22 \\ b (n) = b (n - 1) + 7 \end{cases}

b (n) =

Явната формула за аритметична прогресия е

А + B (n - 1)

, където

А

е първият член и

B

е разликата.

Според рекурентно зададената формула

първият член е $- 22$ ‍ и
разликата на аритметичната прогресия е $7$ ‍.

В заключение $b (n) = - 22 + 7 (n - 1)$ ‍.

2) Запиши явната формула за прогресията.

{\begin{cases} c (1) = 8 \\ c (n) = c (n - 1) - 13 \end{cases}

c (n) =

Преобразуване на явна в рекурентна формула

Пример 1: Формулата е дадена в нормален вид

Дадена ни е следната явна формула на аритметична прогресия.

$d (n) = 5 + 16 (n - 1)$ ‍

Тази формула е дадена в стандартния явен вид

А + B (n - 1)

, където

А

е първият член и

B

е разликата. Следователно

първият член на редицата е $5$ ‍ и
разликата на редицата е $16$ ‍.

Нека намерим рекурентно зададената формула за прогресията. Спомни си, че рекурентно зададената формула ни дава две сведения:

Първият член $($ ‍за който знаем, че е $5)$ ‍
Правилото на прогресията за получаване на всеки член от члена, който е преди него $($ ‍което знаем, че е "добави $16$ ‍" $)$ ‍

Следователно това е рекурентно зададената формула за прогресията.

{\begin{cases} d (1) = 5 \\ d (n) = d (n - 1) + 16 \end{cases}

Пример 2: Формулата е дадена в опростен вид

Дадена ни е следната явна формула на аритметична прогресия.

$e (n) = 10 + 2 n$ ‍

Обърни внимание, че тази формула не е дадена в стандартния си явен вид

А + B (n - 1)

По тази причина не можем просто да използваме структурата на формулата, за да намерим първия член и разликата. Вместо това можем да намерим първите два члена:

$e (1) = 10 + 2 \cdot 1 = 12$ ‍
$e (2) = 10 + 2 \cdot 2 = 14$ ‍

Сега виждаме, че първият член е

12

, а разликата на редицата е

2

Следователно това е рекурентно зададената формула за прогресията.

{\begin{cases} e (1) = 12 \\ e (n) = e (n - 1) + 2 \end{cases}

Провери знанията си

3) Явната формула на една аритметична прогресия е

f (n) = 5 + 12 (n - 1)

Допълни липсващите стойности в рекурентно зададената формула на прогресията.

{\begin{cases} f (1) = A \\ f (n) = f (n - 1) + B \end{cases}


$A =$ ‍ Отговорът ти трябва да бъде цяло число, като $6$ ‍ несъкратима правилна дроб, като $3 / 5$ ‍ несъкратима неправилна дроб, като $7 / 4$ ‍ смесено число като $1 3 / 4$ ‍ точна десетична дроб като $0.75$ ‍ кратно на ПИ като $12 pi$ ‍ или $2 / 3 pi$ ‍	$B =$ ‍ Отговорът ти трябва да бъде цяло число, като $6$ ‍ несъкратима правилна дроб, като $3 / 5$ ‍ несъкратима неправилна дроб, като $7 / 4$ ‍ смесено число като $1 3 / 4$ ‍ точна десетична дроб като $0.75$ ‍ кратно на ПИ като $12 pi$ ‍ или $2 / 3 pi$ ‍

В дадената рекурентно зададена формула

A

е първият член, а

B

е разликата.

Явната формула е дадена в стандартния вид

А + B (n - 1)

, където

А

е първият член и

B

е разликата.

Тъй като явната формула е

5 + 12 (n - 1)

, знаем, че първият член е

5

, а разликата е

12

В заключение $A = 5$ ‍ и $B = 12$ ‍.

4) Явната формула на една аритметична прогресия е

f (n) = - 11 - 8 (n - 1)

Допълни липсващите стойности в рекурентно зададената формула на прогресията.

{\begin{cases} g (1) = A \\ g (n) = g (n - 1) + B \end{cases}


$A =$ ‍ Отговорът ти трябва да бъде цяло число, като $6$ ‍ несъкратима правилна дроб, като $3 / 5$ ‍ несъкратима неправилна дроб, като $7 / 4$ ‍ смесено число като $1 3 / 4$ ‍ точна десетична дроб като $0.75$ ‍ кратно на ПИ като $12 pi$ ‍ или $2 / 3 pi$ ‍	$B =$ ‍ Отговорът ти трябва да бъде цяло число, като $6$ ‍ несъкратима правилна дроб, като $3 / 5$ ‍ несъкратима неправилна дроб, като $7 / 4$ ‍ смесено число като $1 3 / 4$ ‍ точна десетична дроб като $0.75$ ‍ кратно на ПИ като $12 pi$ ‍ или $2 / 3 pi$ ‍

В дадената рекурентно зададена формула

A

е първият член, а

B

е разликата.

Явната формула е дадена в стандартния вид

А + B (n - 1)

, където

А

е първият член и

B

е разликата.

Тъй като явната формула е

- 11 - 8 (n - 1)

, знаем, че първият член е

- 11

, а разликата е

- 8

В заключение $A = - 11$ ‍ и $B = - 8$ ‍.

5) Явната формула на една аритметична прогресия е

h (n) = 1 + 4 n

Допълни липсващите стойности в рекурентно зададената формула на прогресията.

{\begin{cases} h (1) = A \\ h (n) = h (n - 1) + B \end{cases}


$A =$ ‍ Отговорът ти трябва да бъде цяло число, като $6$ ‍ несъкратима правилна дроб, като $3 / 5$ ‍ несъкратима неправилна дроб, като $7 / 4$ ‍ смесено число като $1 3 / 4$ ‍ точна десетична дроб като $0.75$ ‍ кратно на ПИ като $12 pi$ ‍ или $2 / 3 pi$ ‍	$B =$ ‍ Отговорът ти трябва да бъде цяло число, като $6$ ‍ несъкратима правилна дроб, като $3 / 5$ ‍ несъкратима неправилна дроб, като $7 / 4$ ‍ смесено число като $1 3 / 4$ ‍ точна десетична дроб като $0.75$ ‍ кратно на ПИ като $12 pi$ ‍ или $2 / 3 pi$ ‍

В дадената рекурентно зададена формула

A

е първият член, а

B

е разликата.

Обърни внимание, че явната формула не е дадена в стандартен вид

А + B (n - 1)

Нека намерим първите два члена:

$h (1) = 1 + 4 \cdot 1 = 5$ ‍
$h (2) = 1 + 4 \cdot 2 = 9$ ‍

Сега виждаме, че първият член е

5

, а разликата на прогресията е

4

Следователно $A = 5$ ‍ и $B = 4$ ‍.

6) Явната формула на една аритметична прогресия е

l (n) = 23 - 6 n

Допълни липсващите стойности в рекурентно зададената формула на прогресията.

{\begin{cases} i (1) = A \\ i (n) = i (n - 1) + B \end{cases}


$A =$ ‍ Отговорът ти трябва да бъде цяло число, като $6$ ‍ несъкратима правилна дроб, като $3 / 5$ ‍ несъкратима неправилна дроб, като $7 / 4$ ‍ смесено число като $1 3 / 4$ ‍ точна десетична дроб като $0.75$ ‍ кратно на ПИ като $12 pi$ ‍ или $2 / 3 pi$ ‍	$B =$ ‍ Отговорът ти трябва да бъде цяло число, като $6$ ‍ несъкратима правилна дроб, като $3 / 5$ ‍ несъкратима неправилна дроб, като $7 / 4$ ‍ смесено число като $1 3 / 4$ ‍ точна десетична дроб като $0.75$ ‍ кратно на ПИ като $12 pi$ ‍ или $2 / 3 pi$ ‍

В дадената рекурентно зададена формула

A

е първият член, а

B

е разликата.

Обърни внимание, че явната формула не е дадена в стандартен вид

А + B (n - 1)

Нека намерим първите два члена:

$i (1) = 23 - 6 \cdot 1 = 17$ ‍
$i (2) = 23 - 6 \cdot 2 = 11$ ‍

Сега виждаме, че първият член е

17

, а разликата на редицата е

- 6

Следователно $A = 17$ ‍ и $B = - 6$ ‍.

Задача с повишена трудност

7*) Избери всички формули, които вярно представят аритметичната прогресия $101, 114, 127, …$ ‍

Първият член на редицата е

101

, а разликата е

13

Следователно това е правилната рекурентно зададена формула за прогресията.

${\begin{cases} j (1) = 101 \\ j (n) = j (n - 1) + 13 \end{cases}$ ‍

Другите рекурентно зададени формули имат грешен първи член.

Това е стандартният вид на явната формула на прогресията.

$j (n) = 101 + 13 (n - 1)$ ‍

Можем да опростим, за да намерим друга правилна формула.

$\begin{aligned} j (n) & = 101 + 13 (n - 1) \\ = 101 + 13 n - 13 \\ = 88 + 13 n \end{aligned}$ ‍

Другите явни формули не са еквивалентни на горната и следователно са грешни.

Можем да направим заключението, че това са верните формули:

${\begin{cases} j (1) = 101 \\ j (n) = j (n - 1) + 13 \end{cases}$ ‍
$j (n) = 101 + 13 (n - 1)$ ‍
$j (n) = 88 + 13 n$ ‍

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.