Въведение в геометричните прогресии (за напреднали)

Нека говорим за геометрични прогресии, при които започваме с някакво число, после всяко следващо число е предишното число, умножено по същото нещо. За какво говоря? Нека умножим а по r. И после ще получа аr. За да получим третия член, нека умножим втория член по r. И какво ще имам тогава? Ще имам – това е различен нюанс жълто – ще имам ar на квадрат. Умножаваме отново по r, тогава ще получим ar на трета степен и просто ще продължим така. И начинът, по който отбелязах това, това е безкрайна геометрична прогресия. Продължаваме и продължаваме, и продължаваме. И различните начини, по които можем да отбележим това, можем да го обозначим изрично. Можем да кажем, че нашата прогресия е а с подчинено n, започвайки с първия член и стигайки до безкрайност, като а с подчинено n е равно – виждаме а тук за всеки член – ще е а по r. Да поясня, това ето тук, а е същото нещо като а по r на степен 0, r на степен 0 е просто 1. Вторият член е ar на степен първа. Третият член е ar на степен трета. Изглежда n-тият член ще е ar на степен n - 1. ar на степен n - 1. И можеш да се увериш в това. Ако искаш втория член, казваш а по r на степен 2 - 1, а по r на степен първа. Върши работа. Това е изрично определение. Можем също да го определим рекурсивно. Можем да кажем, че а с подчинено n от n равно на 1 до безкрайност, със а с подчинено 1 равно на а. Това е основният случай. а с подчинено 1 е равно на а, ar на степен 0 е просто а. Или можем да кажем, за n равно на 1 и после можем да кажем, че а – и дори не трябва да записвам това, понеже изясняваме, че а с подчинено 1 е равно на а – и после можем да кажем, че а с подчинено n е равно на предишния член, а с подчинено n минус 1, по r, за n по-голямо от или равно на 2. Това казва, че първият член ще е а, това ето тук е а, ar на степен 0 е просто а и после всеки следващ член ще е предишният член по r, което е точно това, което направихме тук. Нека разгледаме някои геометрични прогресии. Мога да имам такава геометрична прогресия. Мога да имам а с подчинено n, n е равно на 1 до безкрайност с... да кажем, а с подчинено n е равно на, да кажем, че първият ни член е равен на 20. И после r, числото, което умножаваме, за да получим всеки следващ член, да кажем, че е равно на 1/2. 1/2 на степен n - 1. Как ще изглежда тази прогресия? Нека помислим за това. Първият член е 20. Ако n е 1, това ще е 1/2 на степен 0. Тоест ще е 1 по 20. Първият член и 20 и после всеки път умножаваме по колко? Тук всеки път умножаваме по 1/2. Това може да е 20 по 1/2 е 10, 10 по 1/2 е 5, 5 по 1/2 е 2,5 – нека просто да запиша това като дроб, е 5/2, 5/2 по 1/2 е 5/4 и можеш да продължиш още и още, и още. Това е геометрична прогресия. Нека ти дам друга редица и ми кажи дали е геометрична прогресия. Да кажем, че започваме от 1, така че после да отида до 2, а после ще отида до 6, а после ще отида – да видим какво искам да направя – искам да отида до 24. И после мога да отида до 120 и така нататък, и така нататък, и така нататък. Това геометрична прогресия ли е? Нека помислим какво става. За да премина от 1 до 2, умножих по 2. За да премина от 2 до 6, умножих по 3. За да премина от 6 до 24, умножих по 4. Винаги умножавам, но НЕ по едно и също число. Трябва да умножаваш по същото число, за да бъде това геометрична прогресия. Тук умножавам по различни числа. Така че тази редица, която построих, има вида... имам първия си член и после втория си член ще е 2 по първия член, а после третият член ще е 3 по втория член, тоест, 3 по 2 по а. Четвъртият е 4 по третия член, тоест, 4 по 3 по 2 по а. И продължаваме, и продължаваме. Тази редица, която не е геометрична прогресия, можем също да дефинираме изрично. Можем да кажем, че е множество или е последователността а с подчинено n от n равно на 1 до безкрайност с а с подчинено 1 равно на, да видим, четвъртия е 4 факториел по а. Ако разгледаме това в частност, тези определени числа, нашето а е 1. Това – нека го запиша – е 1, това е 2 по 1, това е 3 по 2 по 1, това е 4 по 3 по 2 по 1. Тоест а с подчинено n е просто равно на n факториел. Това тук, което не е геометрична прогресия, описва точно тази последователност ето тук. Просто за да се упражняваме малко – тук я дефинираме изрично, но можем също да го дефинираме рекурсивно. Можем също да кажем – ще го направя в бяло – да кажем, че а с подчинено n ни води от n равно на 1 до безкрайност, като а с подчинено 1 или може би при а с подчинено 1 е равно на 1. Това е първият ни член. И после всеки последователен член ще е равен на предишния член по n. Вторият член е равен на предишния член по 2. n-тият член ще е равен на предишния член по n. Това е друг приемлив начин за дефиниране.