Лице на триъгълник: задача от АМИП (2003 AIME II задача 6)

В триъгълник ABC страната AB е равна на 13, BC е равна на 14, а AC е равна на 15. Ще го начертая. Тази задача изглежда доста заплетена. Да видим колко добре мога да начертая триъгълник АВС. Изглежда приблизително така. Ето така. А след това ето така... О, нека да е по този начин. Мога да направя страните по-прави. Ето, че го направих! Това е триъгълник ABC. Дадено е, че страната AB е равна на 13, BC е равна на 14, а AC е равна на 15. Дадено е, че точка G е пресечната точка на медианите. Ако си гледал/а урока за медианите и медицентъра, може би си спомняш, че медицентърът е пресечната точка на медианите в триъгълника. Ще го отбележа на чертежа. Това е средата на страната АС. Отсечката от точка B до средата на страната AC е медиана. Ще го начертая по-добре. Ръката ми трепери! Това е медиана. Отсечката от точка A до средата на страната BC е друга медиана. И накрая, отсечката от точка C до средата на страната AB е третата медиана. Учихме – ако видеото за медианите и медицентъра ти е познато – че тези три медиани винаги се пресичат в една точка, наречена медицентър. Това понятие дори присъства във въпроса. В този случай това е точката G. Точки A', B', и C' са изображения съответно на A, B и C след ротация на триъгълника на 180 градуса около точка G. Колко е площта на фигурата, получена при пресичането на триъгълниците ABC и A'B'C'? Ще начертая втория триъгълник A'B'C'. Искаме да завъртим всеки един от върховете на 180 градуса около точка G. Ако точка A е тук и я завъртим на 180 градуса около точка G, ще се окаже на същото разстояние от G, но от другата страна. Следователно точка A' ще бъде ето тук. Това е изображението на точка А след завъртане на 180 градуса. Точка B се намира на ето това разстояние от G. Ако я завъртим на 180 градуса, точка B' отново ще бъде на същото разстояние от точка G. Същото е валидно и за точка C. Ако я завъртим на 180 градуса, изображението ѝ ще бъде ето тук. Това тук е точка C'. Ако искаме да начертаем триъгълник A'B'C', той ще изглежда по следния начин. Ще се постарая, доколкото мога. Ще изглежда горе-долу така. Тази страна следва да е успоредна на тази страна, защото е завъртяна на 180 градуса. А страната B'C' следва да е успоредна на страна BC. А страната A'C' следва да е успоредна на страна AC. Следователно изглежда по подобен начин. Търси се общото лице на двата триъгълника. Следователно това е лицето на ето тази звезда, на тази леко наклонена или изкривена звезда. Реших задачата предварително. Отне ми известно време да го направя и да запиша урока. Отне ми известно време, преди да се досетя за решението. Повечето подобни задачи не изискват някаква сложна математика. Обикновено важното е да забележиш нещо, или да прегрупираш така нещата, че решението да се стане очевидно. Точно такъв е случаят с настоящата задача. Това всъщност е причината да запиша този урок. В предния урок ти показах, че ако имаш медиана в един триъгълник, а медицентърът G на триъгълника се намира ето тук, то разстоянието от върха до медицентъра е два пъти по-дълго от разстоянието от медицентъра до средата на страната. На този чертеж ето това разстояние (AG) е два пъти по-дълго от това разстояние. (показва на чертежа) Но това разстояние (AG) е равно на цялото това разстояние (A'G'). Тези две разстояния са равни. (показва на екрана) Тази отсечка е завъртяна на 180 градуса, и ако това разстояние е половината от ето това, то тогава знаем, че тази пресечна точка се намира на половината разстояние от тази точка до тази точка. Или ето тази пресечна точка се намира на половината разстояние от тази точка до тази точка горе. Друг начин да го разглеждаш е следният. Знаем, че това разстояние тук е равно на ето това тук, което е равно на ето това разстояние тук, а то е равно на това разстояние тук. (поставя жълт знак на равните отсечки) Може би вече виждаш, че започват да се очертават някакви триъгълници. Да видим дали мога да ги начертая. Имам този триъгълник ето тук. (повтаря го в синьо) Тази отсечка по същество ще бъде медиана на ето този триъгълник тук и е равна на медианата или на еквивалентната отсечка в ето този триъгълник. По същество това е и височина, защото все едно чертаем ромб, а диагоналите на ромба са перпендикулярни. Тогава тези отсечки са височини. Тогава тази височина тук ще бъде равна на ето тази височина тук. Тази страна ще бъде равна на ето тази страна и за двата триъгълника. (повтаря ги със зелено) Тази страна ще бъде равна на ето тази страна. Тук трябва да внимавам. Вече знаем, че тази страна ще бъде равна на ето тази страна. Знаем, че тези две страни са еднакви, защото тази отсечка играе ролята на медиана в този триъгълник. Вече знаем, че тази страна в розово – ще поставя две жълти чертички – е равна на жълтата страна в долната част. Ако тази страна е равна на тази, а тази отсечка е еднаква и в двата триъгълника, то знаем, че тази страна следва да е равна на ето тази страна, (повтаря ги с оранжево) която по същата логика е равна на тази страна ето тук. (повтаря с оранжево) А тя следва да е равна на тази страна ето тук. Разгледано по друг начин, този триъгълник има същото лице като ето този триъгълник. (щрихова на екрана) А този триъгълник ще има същото лице като ето този триъгълник. Може да го разглеждаш и по друг начин. Този лилав триъгълник тук ще има еднакво лице с този триъгълник тук. Всъщност двата триъгълника са еднакви. Страните им са равни. Дори имат обща страна. Може да използваме аналогичен подход, за да докажем, че този триъгълник тук (чертае с цикламено) е абсолютно еднакъв на този триъгълник тук. Всичките им страни са равни. По същество дори знаем, че тези два триъгълника тук са еднакви на тези двата тук горе. Следователно всички тези триъгълници са еднакви. Нека да разгледаме сега един друг триъгълник. Да разгледаме този триъгълник тук. Ще начертая едни други триъгълници тук. Ще ги начертая ето тук. Знаем, че това разстояние тук, т.е. разстоянието, когато започнахме да говорим за медиани, от медицентъра до основата, е равно на точно същото разстояние (чертае със зелено) като това ето тук. Ако начертаем една успоредна отсечка тук, то очевидно тази отсечка тук горе и тази отсечка тук са успоредни. Тази отсечка е успоредна на тази, но няма да навлизам в детайли, за да го доказвам. Не е трудно да се направи. Можеш да докажеш, че това разстояние е равно на ето това разстояние. Ето тази цикламена страна тук е обща за тези триъгълници. Знаем, че тази страна ще бъде равна на ето тази страна. Тогава този триъгълник ще бъде еднакъв с този триъгълник. Може да вземем симетричното изображение. Ще използваме същата логика, за да докажем, че този триъгълник е еднакъв на този триъгълник тук. Аналогично може да докажем, че този триъгълник тук е еднакъв с този триъгълник ето тук, който е еднакъв с този триъгълник ето тук. А след това ще го приложим и за другата страна. Ще се получи същото нещо. Мисля, че разбираш какво ще се получи. Всички тези триъгълници са еднакви! Този цикламен триъгълник е еднакъв на този триъгълник ето тук, който е еднакъв на този триъгълник ето тук. Който от своя страна е еднакъв на този триъгълник ето тук. А пък същият е еднакъв и на този триъгълник ето тук. Има много начини да го докажеш. Няма да навлизам в детайли. Използвахме същия подход, за да докажем, че тези цикламени триъгълници са еднакви. Можем да докажем, че това разстояние е равно точно на половината от цялото това разстояние. Подходът е същият, за да се докаже, че този триъгълник е еднакъв на този триъгълник. А този е еднакъв на ето този. Този е еднакъв на ето този. А пък този е еднакъв на ето този. Цялата тази фигура – действително бях малко повърхностен в обяснението – но мисля, че виждаш, че строгото доказателство не е сложно. Тази фигура, т.е. тази наклонена звезда, е съставена от един, два, три, четири, пет, шест, седем, осем, девет, десет, единадесет, дванадесет еднакви триъгълника. 12 еднакви триъгълника. А колко от тези еднакви триъгълници се съдържат в триъгълника ABC? Имаме един, два, три, четири, пет, шест, седем, осем, девет Имаме 12 еднакви триъгълника в тази звезда. Имаме 9 еднакви триъгълника, които лежат в триъгълник ABC. Следователно лицето на звездата е равно на 12/9 от лицето на триъгълник ABC. Тогава можем да намерим лицето на триъгълник ABC. Знаем, че всеки един от тези триъгълници има 1/9 от лицето на триъгълник ABC. Умножаваме по 12 и получаваме лицето на звездата. Да намерим лицето на триъгълника ABC. Ще начертая отново триъгълника ABC. Изглежда приблизително така. Ако дължините на страните са известни, то има формули за намиране лицето на триъгълник. Винаги ги забравям, но си спомням косинусовата теорема. Помага ми да изведа тези формули за намиране лице на триъгълник. Лицето на един триъгълник е равно на 1/2 по основата, по височината. Тогава, ако успеем да намерим тази височина, ще умножим 1/2 по 14, т.е. ще я умножим по 7, за да изчислим лицето на целия триъгълник. Как да го направим? Ще използваме малко тригонометрия. Нека този ъгъл тук да е равен на тета. Косинусовата теорема гласи следното: квадратът на срещулежащата страна на ъгъла, т.е. 15 на квадрат, е равен на сбора от квадратите на останалите страни, т.е. 13 на квадрат плюс 14 на квадрат, минус 2 по произведението на дължините на тези две страни – тоест по 13, по 14, по косинус от тета. А на какво е равен косинус от ъгъл тета? Косинусът е равен на прилежащия катет върху хипотенузата. Тоест ето тази страна върху хипотенузата. Да означим тази дължина тук с х. Това разстояние тук очевидно е равно на 14 минус х. А това разстояние е х. Косинус от тета е равно на х върху 13. Мога да заместя този член с х върху 13. Ако изразим х, то може да изразим и височината h чрез питагоровата теорема. Тези два члена се съкращават и ни остава следното. 15 на квадрат е равно на 225. Равно е на 13 на квадрат, т.е. 169. 14 на квадрат е равно на 140 + 40 + 16, което е равно на 196, минус 2 по 14, по х, т.е. 28 по х. Сега да изразим х. Ще прибавим 28 по х към двете страни на уравнението. Ще направим няколко неща. Ще извадим 225 от двете страни на уравнението, и ще прибавим 28 по х към двете страни на уравнението. Това ще ни помогне със знаците. От лявата страна имаме останало 28 по х равно на... Ще го пресметна. 169 плюс 196. 6 плюс 9 е равно на 15. Това е равно на 16 и се получава 365. Правилно ли го изчислих? 15, 16, 365. От полученото искаме да извадим 225. Тук ще бъде 0, тук е 4. Тоест ще се получи 140. Следователно 28 по х е равно на 140. Тогава х е равно на 140 върху 28. 28 се съдържа в 140... Да видим. Съдържа се 5 пъти. 5 пъти по 20 е равно на 100, а 5 пъти по 8 е равно на 40. Тогава 5 пъти 28 е равно на 140. В такъв случай х е равно на 5. Сега може да използваме тази информация, за да намерим височината. От питагоровата теорема знаем, че 5 на квадрат плюс h на квадрат е равно на 13 на квадрат, равно е на квадрата на хипотенузата или 169, или h на квадрат е равно на 169 минус 25, което е равно на 144. Следователно h е равно на 12. Сега можем да изчислим лицето на триъгълника. Лицето, което понякога се поставя в скоби [ABC], лицето на триъгълник АВС е равно на 1/2 по 14, по 12. Това е равно на 7 по 12, което е равно на 84. Обаче това е лицето само на 9 от тези еднакви триъгълници. Знаем, че лицето на цялата фигура е равно на 12/9 от лицето на триъгълника. Това е площта на 9 еднакви триъгълника, а ние търсим на 12 еднакви триъгълника. Следователно лицето на цялата "звезда" ще бъде равно на 12/9 по 84. Разделяме числителя и знаменателя на 3 и получаваме 4/3, което умножаваме по 84. Колко пъти се съдържа 3 в 84? Дали е равно на 28? Да проверим. 84 делено на 3 е равно на... 2 по 3 е 6. Изваждаме от 8. Остава 20. Да, това е равно на 4 по 28! Значи това е равно на 80 плюс 32, което е равно на 112. Ще направя проверка на изчисленията. Не искам да допусна груба грешка. 4 по 20 е равно на 80, плюс 32 е равно на 112. И сме готови!