Основно съдържание

Курс: 10. клас (България) > Раздел 4

Урок 6: Решаване на произволен триъгълник със синусовата и косинусовата теореми

Синусова и косинусова теореми - преговор

Преговори синусовата и косинусовата теореми и ги използвай за решаването на задачи при всеки вид триъгълник.

Синусова теорема

\frac{a}{\sin (α)} = \frac{b}{\sin (β)} = \frac{c}{\sin (γ)}

Косинусова теорема

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (γ)

Искаш ли да научиш повече за синусовата теорема? Виж това видео.
Искаш ли да научиш повече за косинусовата теорема? Виж това видео.

Упражнения 1: Задачи за решаване на произволен триъгълник със синусовата теорема

Тази теорема е полезна за намирането на неизвестен ъгъл, когато са известни един от ъглите и две от страните, или за намирането на неизвестна страна, когато имаме два известни ъгъла и една страна.

Пример 1: Намиране на неизвестна страна

Намери страната

A C

в следния триъгълник:

Съгласно синусовата теорема,

\frac{A B}{\sin (∠ C)} = \frac{A C}{\sin (∠ B)}

. Сега можем да въведем стойностите и да решим задачата:

\begin{aligned} \frac{A B}{\sin (∠ C)} & = \frac{A C}{\sin (∠ B)} \\ \frac{5}{\sin (33^{\circ})} & = \frac{A C}{\sin (67^{\circ})} \\ \frac{5 \sin (67^{\circ})}{\sin (33^{\circ})} & = A C \\ 8, 45 & \approx A C \end{aligned}

Пример 2: Намиране на неизвестен ъгъл

Намери

m ∠ A

в следния триъгълник:

Съгласно синусовата теорема,

\frac{B C}{\sin (∠ A)} = \frac{A B}{\sin (∠ C)}

. Сега можем да въведем стойностите и да решим задачата:

\begin{aligned} \frac{B C}{\sin (∠ A)} & = \frac{A B}{\sin (∠ C)} \\ \frac{11}{\sin (∠ A)} & = \frac{5}{\sin (25^{\circ})} \\ 11 \sin (25^{\circ}) & = 5 \sin (∠ A) \\ \frac{11 \sin (25^{\circ})}{5} & = \sin (∠ A) \end{aligned}

Изчисляване с помощта на калкулатор и закръгляне:

m ∠ A = \sin^{- 1} (\frac{11 \sin (25^{\circ})}{5}) \approx 68, 4^{\circ}

Запомни, че, ако неизвестният ъгъл е тъп, трябва да вземем

180^{\circ}

и да извадим каквото сме получили с калкулатора.

Задача 1.1

B C =

Закръгли до най-близката десета.

Искаш ли да се опиташ да решиш други подобни задачи? Виж това упражнение.

Упражнения 2: Задачи за решаване на произволен триъгълник с косинусовата теорема

Тази теорема е полезна най-вече за намирането на мярка на ъгъл при известни дължини на всичките страни. Тя е полезна също така за намиране на неизвестната страна, когато другите страни и мярката на един от ъглите са известни.

Пример 1: Намиране на ъгъл

Намери

m ∠ B

в следния триъгълник:

Съгласно косинусовата теорема:

(A C)^{2} = (A B)^{2} + (B C)^{2} - 2 (A B) (B C) \cos (∠ B)

Сега можем да въведем стойностите и да решим задачата:

\begin{aligned} (5)^{2} & = (10)^{2} + (6)^{2} - 2 (10) (6) \cos (∠ B) \\ 25 & = 100 + 36 - 120 \cos (∠ B) \\ 120 \cos (∠ B) & = 111 \\ \cos (∠ B) & = \frac{111}{120} \end{aligned}

Изчисляване с помощта на калкулатор и закръгляне:

m ∠ B = \cos^{- 1} (\frac{111}{120}) \approx 22, 33^{\circ}

Пример 2: Намиране на неизвестна страна

Намери страната

A B

в следния триъгълник:

Съгласно косинусовата теорема:

(A B)^{2} = (A C)^{2} + (B C)^{2} - 2 (A C) (B C) \cos (∠ C)

Сега можем да въведем стойностите и да решим задачата:

\begin{aligned} (A B)^{2} & = (5)^{2} + (16)^{2} - 2 (5) (16) \cos (61^{\circ}) \\ (A B)^{2} & = 25 + 256 - 160 \cos (61^{\circ}) \\ A B & = \sqrt{281 - 160 \cos (61^{\circ})} \\ A B & \approx 14, 3 \end{aligned}

Задача 2.1

m ∠ A =

^{\circ}

Закръгли до най-близкия градус.

Искаш ли да се опиташ да решиш други подобни задачи? Виж това упражнение.

Упражнения 3: Текстови задачи за решаване на произволен триъгълник

Задача 3.1

"Остава само един." Райън подава сигнал до брат си от своето скривалище.

Мат кима в знак на съгласие, защото е забелязал последния зъл робот.

34

градуса." Мат подава обратно сигнал и информира Райън за ъгъла, който е забелязал между Райън и робота.

Райън записва тази стойност на своя чертеж (показан по-долу) и пресмята. Като калибрира лазерното си оръдие спрямо правилното разстояние, той се изправя, прицелва се и стреля.

На какво разстояние е калибрирал Райън лазерното си оръдие?
Не закръглявай при изчисленията си. Закръгли крайния си отговор до най-близкия метър.

м

Искаш ли да опиташ още задачи като тази? Виж това упражнение.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.