Решен пример: сума от членовете на аритметична прогресия (сигма запис)

Тук имам сума на крайна прогресия, изразена със символа сигма и ти препоръчвам да спреш видеото на пауза и да видиш дали можеш да намериш на какво е равна тя. Тя ще бъде равна на някакво число. Приемам, че вече опита. Нека сега го направим заедно. Това е сумата за k = 1 до k = 550, така че тук ще имаме 550 члена и това е сумата за k = 1 до k = 550 от (2k + 50). Когато се опитвам да изчисля сума на някаква прогресия, обичам просто да преобразувам малко записа, за да преценя как изглежда това, така че да видим. Това ще изглежда, когато k = 1, това ще бъде 2 по 1, плюс 50. Когато k = 2, ще имаме 2 по 2, плюс 50. Когато k = 3, ще имаме 2 по 3, плюс 50. Като ще продължим нататък, чак докато стигнем до последния член. Когато k = 550, ще имаме 2 по 550, плюс 50. Да видим. Първият член ще бъде равен на 52 плюс, следващият член е 2 по 2, плюс 50, ще имаме 54, плюс следващия член, 2 по 3 е 6, плюс 50, е 56. Като ще минем през всички членове чак до последния, 2 по 550 е 1100, плюс 50, ще бъде 1150. Това ни дава добра представа за тази сума на прогресията. Ще започнем от 52 и просто продължаваме да прибавяме 2 за всеки следващ член, чак докато получим 1150. Като ще изчислим сумата от всички тези членове. Тъй като увеличаваме всеки следващ член с еднаква величина, увеличаваме с 2, можем да познаем, че това е аритметична прогресия. Увеличаваме с една и съща величина всеки път. Съществува формула за сумата на аритметичните прогресии, като първо ще приложим формулата, но след това ще разгледаме по-подробно защо тази формула върши работа. Всъщност в други клипове сме доказвали тази формула, но винаги е добре да видиш, че тази формула не идва просто от въздуха. Формулата за сума на дадена аритметична прогресия – сумата от първите n члена ще бъде първият член плюс n-тия член, върху 2. Тоест това реално е средното аритметично на първия и последния член. Можеш да кажеш средното, предполагам във всекидневния език, средното на първия и последния член и след това имаме по броя на членовете, които в действителност имаш. Ако се опитаме да я приложим в този случай, където се опитваме да изчислим сумата на първите 550 члена – ще го напиша с нов цвят, просто за да е интересно. Добре, ще изчислим сумата на първите 550 члена, като тя ще бъде равна на първия член, който е 52, плюс последния член, n-тия член, 1150. Това наистина е просто средното от тези два члена, средното на първия и последния член и след това имаме по броя на членовете, които имаме, по 550. На колко ще бъде равно това? Можем да го опростим малко. Ако изчислим 550, делено на 2, ще имаме, мога да го напиша по – всъщност нека просто го опростя по различен начин. Това ще бъде същото като, мога да го напиша като – нека първо събера. Това ще бъде 1202 върху 2. Изчислих ли го правилно? Да, 1202 върху 2, по 550. 1202, делено на 2, ще бъде 601, така че това е равно на 601 по 550. Да видим, мога да го умножа. Нека просто изчисля отстрани 550 по 601. 1 по 550 е 550, След това тук имам 0, но там имам 0, така че 0 по 550, просто ще получа няколко нули. След това отиваме на мястото на стотиците. 6 по 0 е 0. 6 по 5 е 30. 6 по 5 е 30, плюс 3, е 33. Събираш всичко заедно, получаваме 0, получаваме 5, получаваме 5, получаваме 0, получаваме 3, получаваме 3. Получаваме 330 550. Това е сборът на цялото това нещо. Преди малко казах, че ще разясним малко, защо успяхме да приложим тази формула. Нека просто помислим каква е сумата на първите 550 члена, като аз току-що го написах тук. Нека го запиша, само отново да сменя цветовете. Ще имаме сумата от първите 550 члена, която написахме тук. Вече казахме, че това ще бъде 52, плюс 54, плюс 56 плюс, като ще продължим нататък чак до 1150. Ще го напиша отново, сумата на първите 550 члена, но просто ще ги напиша на обратно. Очевидно можем да сменим реда, в който събираме. Ще имаме 1150, плюс 1150 минус 2, което е 1148, плюс това минус 2, става 1146, като стигаме чак до първия член, чак до 52. Сега искам да съберем тези две суми. Така че просто ще получа 2 пъти сумата на първите 550. Ако събера двете страни отляво, ще имам 2 по сумата на първите 550 члена. Като го направихме общо, когато доказахме тази формула в предишни клипове, но винаги обичам да разяснявам откъде идва тя. Това ще бъде равно на, ако събера тези два члена тук, какво получавам? Получавам 1202. Това число би трябвало да ни изглежда познато. След това ако събера тези двата ето тук, какво получавам? Получавам 1202. След това ако събера, мисля че виждаш накъде отиват нещата, след това ако събера тези два члена, какво получавам? Получавам 1202, чак до тези последни два члена. Събираш ги един с друг и какво получаваш? Получаваш 1202. Така че колко 1202 имаме? Имаме 550 от тях. Има 550 от тези членове. Това ще бъде равно на 550 по 1202. Ако просто искахме да намерим тази сума, просто разделяш всички тези страни на 2, разделяш на 2. Разделяш на 2. Като точно това направихме тук. 550 по 1202, делено на 2. Дано това да ти дава представа за нещата.