Логаритмичен мащаб

Предполагам, че сравнително добре познаваш линейните скали. Това са скалите, които обикновено виждаш в повечето от часовете си по математика. И за да се уверим, че знаем за какво говорим и може би да помислим за това малко по-различно, нека нарисувам линейна числова ос. Нека започна с 0. И сега ние ще си кажем: "Ако се придвижа с това разстояние ето тук, и ако се придвижа с това разстояние надясно, това е еквивалентно на добавяне на 10." Ако започнеш от 0 и добавиш 10, това очевидно ще те доведе до 10. Ако се придвижиш отново с това разстояние надясно, тогава отново ще добавиш 10 и това ще те доведе до 20. Очевидно можем да продължим да правим това и да достигнем до 30, 40, 50 и така нататък. Също така, просто като погледнем това, което направихме, ако преминем в другата посока... Ако започнем оттук и се придвижим със същото разстояние наляво, очевидно изваждаме 10. 10 минус 10 е равно на 0. Ако отново се придвижим с това разстояние наляво, тогава ще стигнем до -10. Ако го направим отново, ще стигнем до -20. Генералната идея е, че колкото пъти се придвижваме с това разстояние, добавяме – или колкото пъти се придвижваш с това разстояние надясно – добавяме това кратно на 10. Ако го направим 2 пъти, добавяме 2 по 10. И това работи не само за цели числа, то върши работа и за дроби. Къде ще е 5? За да стигнем до 5, трябва да умножим 10 – или предполагам един начин да помислим за това е, че 5 е половината от 10. И ако искаме да преминем само до половината на 10, трябва да изминем само половината от това разстояние. Ако изминем половината от това разстояние, това ще ни доведе до 1/2 по 10. В този случай това ще е 5. Ако преминем наляво, това ще ни доведе до -5. И няма – нека начертая това малко по-центрирано, -5 – и няма нищо ново тук. Просто мислим за това по малко по-различен начин, който ще е полезен, когато започнем да мислим върху логаритмите. Но това е просто числовата ос, която познаваш. Ако искаме да поставим 1 тук, щяхме да се придвижим с 1/10 от разстоянието, понеже 1 е 1/10 от 10. Това ще е 1, 2, 3, 4 и мога да поставя... мога да отбележа всяко число тук. Това беше ситуация, при която добавяхме или изваждахме 10. Но е напълно основателно да имаме различен начин да мислим за това, което правиш, когато изминеш това разстояние. И нека помислим върху това. Да кажем, че тук имам друга права. И може да познаеш, че това ще е логаритмична числова ос. Нека ни дам малко пространство. Да започнем тази логаритмична числова ос в 1. И след това видео ще те оставя да помислиш защо не започнах от 0. Ако започнеш от 1 и вместо да се придвижваш... ще определя същото това разстояние. Но вместо да казвам, че това същото разстояние е добавяне на 10 при придвижване надясно, сега ще казвам, че когато се придвижвам надясно, това разстояние на тази нова числова ос, която създадох, е същото като умножаване по 10. Ако се придвижа с това разстояние, ако започна от 1, умножавам по 10. Това ме води до 10. После, ако умножа отново по 10, ако се придвижа отново с това разстояние, отново умножавам по 10. Това ще ме доведе до 100. Мисля, че виждаш разликата. А какво да кажем за придвижването наляво с това разстояние? Вече донякъде казахме какво се случва. Понеже ако започнем тук, започваме от 100 и се придвижваме наляво с това разстояние, какво се случва? Разделям на 10. 100, делено на 10, ми дава 10. 10, делено на 10, ми дава 1. И ако отново се придвижа с това разстояние наляво, тогава отново ще разделя на 10. Това ще ме доведе до 1/10. Ако отново се придвижа с това разстояние наляво, това ще ме доведе до 1/100. Цялостната идея е че колкото пъти се придвижа с това разстояние надясно, умножавам началната си точка по 10 толкова пъти. Например когато се придвижа 2 пъти по това разстояние, цялото това разстояние ето тук, изминах това разстояние 2 пъти. Тоест това е по 10 по 10, което е същото като по 10 на втора степен. Тоест повдигам 10 на степен – умножавам го по 10 на такава степен, колкото пъти минавам надясно. Същото нещо правя, ако отивам наляво. Ако отида наляво 2 пъти това разстояние – нека направя това в нов цвят – това ще е същото нещо като да разделя два пъти на 10. Деля на 10, деля на 10, което е същото нещо като умножаване по – един начин да мислим за това е – умножавам по 1/10 на квадрат. Или деля на 10 на квадрат – това е друг начин да мислим за това. Това може да... Надявам се, че това е малко по-логично. Вече можеш да видиш защо това е полезно. На тази числова ос вече можем да поставим много по-широк спектър неща, отколкото можем на тази числова ос. Можем да стигнем до 100 и после можем да получим голяма детайлност, ако преминем надолу до 1/10 и 1/100. Тук при малките скали нямаме тази детайлност, а също така не можем да стигнем до по-големи числа. Ако изминем малко по-голямо разстояние, стигаме до 1000 и после стигаме до 10 000 и така нататък. Така че можем да покрием много по-широк спектър на тази ос ето тук. Но друго хубаво нещо е, че когато се придвижваш с определено разстояние, тоест когато се придвижваш с определено разстояние на тази линейна числова ос, добавяш или изваждаш това тази стойност. Тоест ако се придвижиш с това определено разстояние, добавяш 2 надясно. Ако отидеш наляво, изваждаш 2. Когато правиш същото нещо на логаритмичната числова ос, това е вярно за всяка логаритмична числова ос, ще умножаваш или делиш на определен (фиксиран) коефициент. Един начин да помислим за това какъв е този фиксиран коефициент е тази идея за степените. Да кажем, че искаш да попиташ: "Къде ще стои 2 на тази числова ос?" Тогава просто ще си помислиш: "Ако се запитам къде стои 100 на тази числова ос..." – всъщност това може би е по-добро място за начало. Ако не беше вече поставено и попитам къде стои 100 на тази числова ос... Щях да кажа: "Колко пъти ще трябва да умножим 10 по себе си, за да получим 100?" Това е колко пъти трябва да се придвижа с това разстояние. Тоест като цяло ще питам 10 на каква степен е равно на 100. После ще получа, че този въпросителен е равен на 2. После ще измина толкова разстояния, за да поставя моето 100. Или, друг начин да заявим същото това нещо е логаритъм при основа 10 от 100 е равно на "въпросителен". И този въпросителен очевидно е равен на 2. Това казва, че трябва да поставя 100 на 2 пъти това разстояние надясно. За да открием къде поставям 2, трябва да направя точно същото нещо. Ще попитам 10 на каква степен е равно на 2. Или на колко е равен логаритъм при основа 10 от 2? И можем да извадим верния си калкулатор, и можем да кажем "log" – на повечето калкулатори, ако има "log" без да е уточнена основата, те приемат, че основата е 10 – така, "log" (логаритъм) от 2 е равен приблизително на 0,3. 0,301. Това е равно на 0,301. Това ни казва, че трябва да изминем тази част от това разстояние, за да стигнем до 2. Ако се придвижим с цялото това разстояние, това е като да умножим по 10 на първа степен. Но след като искаме да стигнем само до 10 на степен 0,301, искаме да изминем само 0,301 от това разстояние. Тоест приблизително 1/3 от това. Това ще е приблизително – всъщност малко по-малко от 1/3. 0,3 а не 0,33. Тоест 2 ще стои – нека направя това малко по-надясно – 2 ще стои ето тук. Готиното на това е това разстояние, като цяло, на тази логаритмична числова ос означава умножаване по 2. И ако преминеш отново със същото това разстояние, тогава ще стигнеш до 4. Ако умножиш това същото разстояние отново, тогава ще умножиш по 4. Ако преминеш същото това разстояние отново, тогава ще стигнеш до 8. А къде ще поставим 5? Къде ще поставим 5 на тази числова ос? Има два начина да направим това. Можеш буквално да намериш колко е логаритъм при основа 10 от 5 и да намериш къде е това на числовата ос. Или можеш да си кажеш: "Ако започна от 10 и се придвижа с това разстояние наляво, тогава ще деля на 2." Тоест ако се придвижа с това разстояние наляво, ще деля на 2. Знам, че сега става малко объркано. Може би ще направя друго видео, в което ще се научим как да чертаем по-ясна версия на това. Ако започна от 10 и измина същото това разстояние, тогава деля на 2. Това ето там ще е 5. Следващият въпрос, който може да си зададеш: "Къде да поставя 3?" Можем да направим същото нещо, което направихме с 2. Питаме се на каква степен трябва да повдигнем 10, за да получим 3. За да получим това, отново ще извадим калкулатора си. Логаритъм при основа 10 от 3 е равна на 0,477. Това е почти на половината. Това ще е почти половината от това разстояние. Половината от това разстояние. ще изглежда нещо подобно на това ето тук. 3 ще е ето тук. И можеш да направиш логаритъма – да видим, липсват ни 6, 7 и 8. О, имаме 8. Липсва ни 9. За да получим 9, просто трябва да умножим 3 отново. Това е 3 и ако изминем същото това разстояние, умножаваме отново по 3, така че 9 ще е "смачкано" ето тук. 9 ще е "смачкано" ето тук. Ако искаме да стигнем до 6, просто трябва да умножим по 2. Вече знаем разстоянието за умножаване по 2, то е това нещо ето тук. Умножаваш това по 2, създаваш същото това разстояние, и ще стигнеш до 6. И ако искаш да намериш къде е 7, отново можеш да вземеш логаритъм при основа – нека направя това ето тук – ще вземеш логаритъм от 7 и той е 0,8... приблизително 0,85. 7 ще е притиснато приблизително ето тук. Няколко хубави неща, които вече осъзна... Първо, можем да поберем повече на тази логаритмична скала. И, както го направих във видеото с Ви Харт, където тя говореше за това как възприемаме много неща с логаритмичните скали. Това е добър начин да разберем някои от човешките възприятия. Но другото наистина чудесно нещо е, че когато изминаваме дадено разстояние на тази логаритмична скала, умножаваме по дадена константа. Едно донякъде странно нещо относно това, и може би вече го забеляза тук, е, че не виждаме числата подредени по начина, по който обикновено ги виждаме. Има голям скок от 1 до 2, после по-малък скок от 2 до 3, после по-малък скок от този от 3 до 4, после още по-малък от 4 до 5, после още по-малък от 5 до 6. После, 7, 8, 9, знаеш, че 7 ще е някъде тук. Те стават по-притиснати едно до друго, по-притиснати, по-натясно, по-натясно и по-натясно, и после стигаш до 10. После още един голям скок. Понеже, отново, ако искаш да стигнеш до 20, трябва просто да умножиш по 2. Това разстояние отново ни води до 20. Ако изминеш това разстояние ето тук, това ще те доведе до 30, понеже умножаваш по 3. Това ето тук е 3 пъти разстоянието. Ако направиш това отново, ако изминеш това разстояние, тогава това те води до 30. Умножаваш по 3. После можеш да поставиш същите неща ето тук. Надявам се, че това ти показа логиката зад това защо логаритмичните числови оси изглеждат по начина, по който изглеждат. Или защо логаритмичната скала изглежда така, както изглежда. И също, че успя да оцениш защо може да е полезна.