Симетрия на алгебрични модели

В тази статия ще разгледаме как да интерпретираме симетрията в една графика в контекста на приложна задача.

Но нека първо да опресним спомените си по отношение на симетрията на функциите.

Нека сега разгледаме един пример.

Енергията, съхранявана в една пружина, $E(x)$‍, в джаули, е функция от преместването на пружината $x$‍ в метри от положението ѝ в покой, като положително $x$‍ означава разпъната пружина, а отрицателно $x$‍ означава свита пружина. Графиката на $y=E(x)$‍ е показана по-долу.

Какво можем да научим за функцията от симетрията на графиката ѝ?

Нека приложим това, което знаем за симетрията, към функция $Е$‍.

Образът на графиката на функцията $Е$‍ при осева симетрия спрямо оста $у$‍ съвпада със самата графика.

Следователно функцията $E$‍ е четна функция. Изразено алгебрично, това означава, че $E(-x)=E(x)$‍ за всяко $x$‍.

Какво означава “$E(-x)=E(x)$‍ за всяко $x$‍”?

Понеже това твърдение е вярно за *всяко** $х$‍, можем да кажем, че $E(-x)=E(x)$‍ е вярно, когато $x=2$‍, $x=4$‍, $x=10$‍, т.н. Да разгледаме какво означава това твърдение за една конкретна стойност на $х$‍, в този случай за $х=2$‍.

Когато $х=2$‍, това твърдение става $E(-2)=E(2)$‍.

Ако се фокусираме върху това какво представя всяка променлива, това ще ни помогне в тълкуването. Спомни си, че положителна входяща стойност означава разтягане на пружината, а отрицателна входяща стойност означава свиване на пружината, и че изходящата стойност представлява енергията, съхранена в пружината.

В тази връзка виждаме, че $E(-2)=E(2)$‍ означава, че $\text{свиване на пружината с }2\text{ метра}$‍ представлява същото количество $\text{ енергия}$‍, както при $\text{разтягане на същата пружина с }2\text{ метра}$‍.

Сега сме готови да интерпретираме по-общото твърдение $E(-x)=E(x)$‍, което е крайната ни цел.

Като използваме горните примери за ориентиране, виждаме, че $E(-x)=E(x)$‍ означава, че една пружина, свита с $х$‍ метра, съхранява същото количество енергия като една пружина, опъната с $х$‍ метра.

С други думи: Една пружина, свита с определена дължина, съхранява същото количество енергия, както ако я разпънем със същата дължина.

Нека направим още един пример.

За да поддържа температурата в дома си $25$‍ градуса по Целзий, Пранав обикновено изгаря в печката си $20$‍ килограма дърва на ден. Той променя количеството дърва, $w$‍, което използва, за да види как се променя температурата. По-конкретно, положителна стойност на $w$‍ показва допълнително използвани $w$‍ килограма дърва, а отрицателна стойност $w$‍ означава намаляване на количеството дърва с $w$‍ килограма. Графиката на $y=T(w)$‍ е показана по-долу, където $T(w)$‍ показва промяната на температурата в къщата на Пранав.

Графиката на функцията $Т$‍ е симетрична спрямо началото на координатната система.

Следователно функцията $Т$‍ е нечетна функция. Изразено алгебрично, това означава, че $T(-w)=-T(w)$‍ за всяко $w$‍.

За да интерпретираме симетрията в този случай, трябва да намерим връзката между математическото твърдение “за всяко $w$‍ е вярно $T(-w)=-T(w)$‍" и конкретния практически пример.

Отново първо да разгледаме значението на това за една конкретна стойност $w$‍. После можем да се върнем и да обобщим.

Не забравяй, че положителна стойност на аргумента означава добавяне на дърва, а отрицателна входяща стойност означава намаляване на количеството дърва, и че стойностите на функцията означават промяна на температурата в къщата.

Виждаме, че $T(-1)=-T(1)$‍ означава, че $\text{промяната на температурата}$‍, която следва от изгарянето на $1\text{ килограм по-малко дърва}$‍, е противоположна на тази, която се получава при изгарянето на $1\text{ килограм повече дърва}$‍.

Сега сме готови да обобщим и да интерпретираме твърдението за симетрията за произволна стойност $w$‍.

С други думи: Увеличаването и намаляването на изгорените дърва с едно и също количество имат точно противоположен ефект върху температурата в къщата.

Като цяло, за да интерпретираме значението на симетрията в графиката на една функция, е полезно да направим следните неща:

Стъпка $1$‍: Реши дали функцията е четна или нечетна и определи какво означава това алгебрично.

Стъпка $2$‍: Разбери какво представлява всяка променлива по отношение на контекста.

Стъпка $3$‍: Направи твърдение, което стъпва на значението на променливите и сравнява изходните стойности за противоположни стойности на аргумента.

Труди се учи да кара нов вид превозно средство. Скоростта на превозното средство се определя от позицията на въртящ се бутон. Скоростта на превозното средство $V(x)$‍ в мили за час е функция от позицията на бутона $х$‍. Забележи, че $x>0$‍ означава, че бутонът е обърнат с $х$‍ единици по часовниковата стрелка и $x<0$‍ означава, че бутонът е обърнат с $х$‍ единици обратно на часовниковата стрелка.

Графиката на $y=V(x)$‍ е показана по-долу.