Разлагане на биноми

Имаме (3у^2 + 6х^3) и повдигаме цялото това на 5-та степен, и очевидно можем да използваме Нютоновия бином или триъгълника на Паскал, за да намерим как се разлага това. Но искам, като упражнение, да опитаме да се съсредоточим върху само един от членовете и, в частност, върху члена, който е някакъв коефициент по х^6 по y^6. При разлагането на това някой член ще има х^6 по у^6, и искам да намеря какъв ще е коефициентът пред този член и те окуражавам да спреш видеото на пауза и да опиташ да намериш това самостоятелно. Приемам, че се опита и може в началото да сметнеш това за объркващо. "Повдигам го само на 5-та степен, как получавам х^6, у^6?" Но после, когато разгледаш реалните членове на бинома, това става очевидно. Добре, имам член у^2, имам член х^3, така че когато повдигна тези на друга степен, ще получа – може да имам степени, по-високи от 5-та степен. Но за да помислим кой от тези членове има (х^6 по у^6), нека просто разгледаме модела на самото разлагане, без да мислим за коефициентите му. Виждали сме това множество пъти преди – където трябва да вземеш първия член от бинома и той ще започне от... степента, на която повдигаме целия бином и после всеки член ще има по-ниска и по-ниска степен. Нека копирам и поставя това. Това ще е – копирам го и това е първият член, вторият член, нека се уверя, че имам достатъчно място. Втори член, трети член, четвърти член, пети член и шести член – това ще има 6 члена, винаги ще имаш с един член повече, отколкото е степенният показател. И после, но преди да поставя степенните показатели, нека се фокусираме върху втория член. Вторият член – ще го запиша ето така. Вторият член е по 6х^3, нека копирам и поставя това. Нека копирам и поставя това. Ще поставим това тук. Това тук. И това там. И това там. И после това е извън екрана. Записах го ето тук. Ще видим дали трябва да стигнем дотам. И после нека поставим степенните показатели. Този степенен показател – това ще е пета степен, четвърта степен, трета степен, втора степен, първа степен и нулева степен. И за този син израз, за 6х^3, това ще е нулева степен, първа степен, втора степен, трета степен, четвърта степен, а после ето тук ще имаме пета степен. После, разбира се, всеки от тях ще има коефициент отпред. Всеки от тях ще има коефициент пред себе си. Пред този ще има определен коефициент, пред този също и пред този, а после ги събираме. Но кой от тези членове е този, за който говорим? Който има (х^6 по у^6). Тук имаме х, ако вземем у^2 на четвърта това ще е у^8, така че това не е нашият член. Ако преминем тук – имаме у^2 на трета степен, което е у^6 и това е (х^3)^2, което е х^6. Така че искаме да помислим какъв ще е коефициентът пред този член? Ако го поставиш по този начин, този член, който ни интересува, ще е третият член. Какъв ще е коефициентът? Този коефициент... каквото поставим тук – можем да използваме Нютоновия бином, за да го открием – няма да е това нещо тук. Това, което имаме, ще е реалното ни решение на задачата, която поставихме, ще е произведението на този коефициент и каквито други коефициенти имаме тук. Понеже ще имаме 3^3, 6^2. Така че ще трябва да открием колко е това. Но нека първо видим какъв е този член, този член при разлагането. Каква е тази жълта част? И има два начина, по които можем да направим това. Можем да използваме триъгълника на Паскал или можем да използваме комбинаторика. Ако използваме комбинаторика, знаем, че коефициентите тук – това ще е комбинация от 5 елемента 0 клас ('5 над 0'). Коефициентът тук ще е комбинация от 5 елемента 1 клас ('5 над 1'). Виждали сме това множество пъти. Можеш да го разгледаш като горната част тук е степенният показател, на който повдигаме целия бином, тоест 5 (в случая), и после като кажем "над... това число", това е степенният показател на втория член. Предполагам може да се каже така. Това ще е "5 над 1". И тук коефициентът – това нещо в жълто – това ще е "5 над 2". 5 над 2. На колко е равно "5 над 2"? Това е равно на 5 факториел върху (2 факториел по (5 - 2) факториел). Нека го поставя тук. По (5 - 2) факториел. И това ще е равно на... Да видим, 5 факториел е 5 по 4 по 3 по 2, можем да запишем и 'по 1', но това няма да промени стойността. Върху 2 факториел. Всъщност нека запиша това, за да е ясно, че това тук е 'по 1'. 2 факториел е 2 по 1 и после тук имаме 3 факториел – по 3 по 2 по 1. Да видим, това 3 и това 3 се съкращават. Това 2 и това 2 се съкращават. Единиците нямат значение, няма да променят стойността. После 4/2 е 2. Така че това е просто 2 и ни остава 5 по 2 е равно на 10. Това ще е ето това число тук. Това ще е 10. Друго нещо, което можехме да направим, е да използваме триъгълника на Паскал. Можехме да кажем: "Добре, това е бином, това е, когато го повдигна на втора степен, тоест коефициентите са 1, 2, 1. Когато го повдигна на трета степен, коефициентите са 1, 3, 3, 1. Когато го повдигна на четвърта степен, коефициентите са 1, 4, 6, 4, 1. Когато го повдигна на пета степен, която ни интересува, коефициентите ще са 1, 5, 10, 5 – извинявай, 10, 10, 5 и 1. И знаем, че когато отидем до... Това ще е третият член, тоест това тук ще е коефициентът. Трети член – 1, 2, 3. И по двата начина знаем, че това е 10. Но нека сега изпробваме отговора си с първоначалния въпрос. Колко ще е това? Какво умножаваме по по (х^6 по у^6)? И сега трябва да преобразуваме този израз. Това ще е 10 по (3^3) по (у^2)^3, а (y^2)^3 е y^6. у^6. По 6^2 по (x^3)^2, което е х на степен (3 по 2) или х^6 и това ще е равно на... Да видим, това ще е 10 по 27 по 36 по 36 и после, разбира се, имаме (х^6)(у^6). Това ще е... да видим, 270 по 36, нека извадим калкулатор. 270 – можех да направя това на ръка, но просто ще го направя така този път, по 36, е 9720. Това е коефициентът. Цялото ще е 9720(х^6)(у^6). 9720(х^6)(у^6) и сме готови.