Приблизително определяне на производни чрез две последователни секущи прави

В таблицата е показан броят на обектите на популярна верига за кафе в САЩ от 2000 г. до 2006 г. Броят на магазините е даден към 1 януари за всяка година. През 2000 г. е имало 1996 обекта, през 2005 има 6177 и така нататък. Намери разумно приближение на моментната скорост на изменение на броя на магазините за кафе за година в началото на 2003 г... значи ни интересува 2003 г., като средна стойност на наклоните на две съседни секущи прави. Ще начертая това. Ето тук съм нанесъл всички точки. сега да се уверим, че ни е ясно какво отразяват осите. На хоризонталната ос, оста t, е нанесена годината. На вертикалната ос е броят на магазините. Можем да кажем даже, че той е функция на времето. Пред 2000 г. имаме 1996 магазина. През 2003 г. има 4272 магазина. 2003 – ще използвам синьо. 2003 г. 4272 магазина. Представи си, че непрекъснато се откриват нови магазини, можеш да си представиш, че минута след минута добавят магазини. Това е просто броят на магазините на 1-ви януари. Но ако трябва да начертаем това като непрекъсната функция, тя би изглеждала ето така. Старая се да се получи максимално добре. Това е някаква крива, която изглежда като нещо подобно на това. И отново, това е просто приближение на това как би изглеждала действително. Когато ни питат за моментната скорост на изменение на броя на магазините за година, това е промяната, моментната скорост на изменение на броя на магазините за единица време. Искат да изчислим приблизително наклона на допирателната за 2003 година. Допирателната права може да изглежда някак така. Искам да я начертая, това е тази права, която е допирателна. Сега можем да апроксимираме. Нямаме информация, за да я намерим точно. Но имаме някои данни наоколо и можем да определим наклоните на секущите прави между тази точка и тези точки. Можем да намерим средната стойност на наклоните на секущите, за да апроксимираме наклона на тази допирателна. Например можем да намерим наклона на секущата права ето тук, когато отиваме от 2002 в 2003 г. После можем да намерим наклона на тази секуща, когато отиваме от 2003 до 2004. Като намерим средната стойност на това, можем да получим много добра апроксимация на моментната скорост на изменение през 2003 г. Да го направим. Наклонът на тази розова секуща права, като отиваме от 2002 до 2003, това е броят магазини през 2003 минус броя магазини през 2002 г. Това е промяната в броя на магазините върху промяната на времето. Значи това е 2003 минус 2002. На колко е равно това? Да видим, през 2003 имаме 4272 магазина. През 2002 имаме 3501. Това ще бъде върху... знаменателят е просто 1. Това се опростява до... да видим. Ще направя изчисленията отстрани, за да не допуснем грешка от небрежност. –3501, 2 минус 1 е 1, 7 минус 0 е 7, 42 – 35 е 7. Това е равно на 771. Средната скорост на изменение от 2002 до 2003 е 771 магазина за година. Сега да направим същото за тази червена секуща права между 2003 и 2004. Наклонът на тази секуща е равен на броят магазини през 2004 минус броя магазини през 2003, върху 2004 – 2003, което е равно на... да видим. Има 5239 магазина през 2004 година. Има 4272 магазина през 2003 година. Изминала е само 1 година, 2004 – 2003 е 1. Това е равно на... Ще извадя ето тук. 5239 минус 4272. Да видим. 9 минус 2 е 7. Добре, изглежда че трябва да прегрупираме. Да вземем 1 хиляда от 5000, остава 4. Това става 10 стотици Това става 1200. Сега взимаме една от тези стотици към десетиците. Сега става 1100 и даваме това 10. Значи тук става 13. Взимаме 100 от тук и стават 10 десетици. Вече можем да извадим. 13 – 7 е 6, 11 – 2 е 9, после 4 – 0 е 0. Значи това е 967. Това е равно на 967 магазина за година. Сега просто трябва да намерим средната стойност на това число и на това число и да апроксимираме моментната скорост на изменение. Да го направим. Взимаме 967 + 771, после делим на 2. Да видим колко е това. Добавям 771 тук. 7 плюс 1 е 8. 6 плюс 7 е 13. После 1 плюс това и тук става 17. И това ще разделим на 2. 2 се съдържа в 1739, съдържа се 8 пъти в 17. 8 по 2 е 16. Изваждаме, получава се 13, в което се съдържа 6 пъти. 12. Изваждаме, получаваме 18. Съдържа се 9 пъти. И няма никакъв остатък. Значи 18 цяло, без остатък. Нашата апроксимация на моментната скорост на изменение за наклона на тази допирателна права е 869 магазина за година.