Теорема за двамата полицаи: пример

По-долу са дадени графиките на f от х, g от x и h от x. Избери и премести картите, за да създадеш сложно неравенство, което да подреди стойностите на f от х, g от х и h от х за стойности х близки до 2, но не при самото 2. Така че за всички стойности на х, които са описани тук, например за х равно на 3, виждаме, че h от 3 е най-голямото, f от 3 е най-малкото, а g от 3 се намира по средата. Като това е така за всички стойности на х, които сме обхванали тук. Ако погледнем когато х е равно на 1, h от 1 е най-голямото, f от 1 е най-малкото, g от 1 се намира по средата. За всички стойности на х, които са описани, f от х е по-малко или равно на g от х, което е по-малко или равно на h от х. Като единственото място, където знакът за равно влиза в действие въз основа на тази графика изглежда, че е когато клоним към х равно на 2. Изглежда, че всички функции клонят към 1. Така че това е мястото, където знакът за равно влиза в действие. Но нека продължим да разглеждаме, какво се иска от нас след това. След това е казано, че от това води до следното. Вместо да са написали f от х, g от х и h от х, са написали действителните им определения. Нека само си припомним, че f от х е 2х по корен квадратен от х минус 1, минус 1. Това синьото тук. Вместо да го пишем като f от х, можем да го напишем като 2 по корен квадратен от х минус 1, е по-малко или равно на g от х. g от х беше този рационален израз ето тук. Нека се върнем тук долу. Слагаме този рационален израз. И после това ще бъде по-малко или равно h от х, което беше, е на степен х минус 2. Вярно ли е това? Да, е на степен х минус 2. Всичко, което наистина направихме, е да заместим f, g и h с техните определения. тогава това означава, че границата -- гледайки границата когато х клони към 2 от тези различни изрази. Следователно границата, когато х клони към 2 на този израз ще бъде по-малка или равна на границата, когато х клони към 2 на този израз, което е точно ето тук, което ще бъде по-малко или равно на границата, когато х клони към 2 при този израз. Което е точно ето там. След това накрая казваме, че стойността на границата, когато х клони към 2 на това нещо ето тук е -- това е мястото, където теоремата за двамата полицаи влиза в действие Трябва просто да се сетим. Можем ли да намерим каква е границата, когато х клони към 2 на това тук? Границата, когато х клони към 2 -- да видим, 2 минус 1. Изчисляваме главния корен от 2 минус 1, което е главният корен от 1. Имаме 2 по 1 минус 1. Това е 1. Това тук е е на степен 2 минус 2. Това е на степен 0 или това е също 1. Границата на всичко това ще бъде по-голяма или равна на 1, и ще бъде по-малка или равна на 1. Или се намира точно между 1 и 1. Като единственият начин това да бъде между 1 и 1, е ако е равно на 1. Това тук е теоремата за двамата полицаи в действие. g от х в рамките на дефиниционното множество, което разглеждаме или за стойностите на х, които ни интересуват -- g от х беше по-малко или равно на h от х, което беше -- или f от х беше по-малко или равно на g от х, което беше по-малко или равно на h от х. И след това взехме границата за всички тях, когато х клони към 2. За по-ниската функция, за f от х, тя клони към 1. Като го виждаме на графиката тук За по-ниска функция f от х клони към 1, h от х клони към 1 и следователно g от х трябва също да клони към 1. Като всъщност го виждаме в тази графика тук. Но за всеки случай можем да проверим отговора си, за да сме сигури. Получили сме го вярно.