Основно съдържание

Курс: 11. клас (България) Профилирана подготовка Модул 2 Елементи на математическия анализ > Раздел 4

Урок 4: Действия с функции

Умножение и деление на функции

Виж как можем да умножим или разделим две функции, за да създадем нова функция.

Точно както умножаваме и делим числа, можем да умножаваме и делим функции. Например, ако имаме функциите

f

g

, можем да образуваме две нови функции:

f \cdot g

\frac{f}{g}

Умножение на две функции

Пример

Нека разгледаме един пример, за да видим как става това.

Като е дадено, че

f (x) = 2 x - 3

g (x) = x + 1

, намери

(f \cdot g) (x)

Решение

Най-трудната част от комбинирането на функции чрез аритметични действия е разбирането на означението. Какво означава

(f \cdot g) (x)

(f \cdot g) (x)

просто означава да намерим произведението от

f (x)

g (x)

. На математически език това означава, че

(f \cdot g) (x) = f (x) \cdot g (x)

Сега това се превръща в позната задача.

\begin{aligned} (f \cdot g) (x) & = f (x) \cdot g (x) & Дефинирай. \\ = (2 x - 3) \cdot (x + 1) & Замести. \\ = 2 x^{2} + 2 x - 3 x - 3 & Разкрий скобите и умножи. \\ = 2 x^{2} - x - 3 & Обедини подобните членове. \end{aligned}

Забележка: Опростихме резултата, за да получим по-хубав израз, но това не е необходимо.

Нека опитаме да решим няколко задачи за упражнение.

Задача 1

\begin{aligned} c (y) = 3 y - 4 \\ d (y) = 3 - 2 y \end{aligned}

Намери колко е $(c \cdot d) (y)$ ‍.

Задача 2

\begin{aligned} m (x) = x^{2} - 3 x \\ n (x) = x - 5 \end{aligned}

Изчисли $(m \cdot n) (- 1)$ ‍.

Деление на две функции

Делението на две функции става по подобен начин. Ето един пример.

Пример

h (n) = 2 n - 1

and

j (n) = n + 3

Нека намерим колко е

(\frac{j}{h}) (n)

Решение

Според определението

(\frac{j}{h}) (n) = \frac{j (n)}{h (n)}

Сега можем да решим задачата.

\begin{aligned} (\frac{j}{h}) (n) & = \frac{j (n)}{h (n)} & Дефинирай. \\ = \frac{n + 3}{2 n - 1} & Замести. \end{aligned}

Две важни забележки, свързани с тази функция:

Тази функция е опростена до настоящия си вид.
Входящата стойност $n = \frac{1}{2}$ ‍ не е валидна входяща стойност за тази функция. Това е така, понеже $2 n - 1 = 0$ ‍ за $n = \frac{1}{2}$ ‍, а делението на $0$ ‍ е недефинирано.

Нека опитаме да решим няколко задачи за упражнение

Задача 3

\begin{aligned} g (t) = t^{2} - 4 \\ h (t) = t + 8 \end{aligned}

Намери $(\frac{g}{h}) (t)$ ‍.

Задача 4

\begin{aligned} p (r) = 5 r - 2 \\ q (r) = r + 2 \end{aligned}

Изчисли колко е $(\frac{p}{q}) (4)$ ‍.

Задача 5

\begin{aligned} f (x) = x + 4 \\ g (x) = x - 3 \end{aligned}

За коя стойност на $x$ ‍ функцията $(\frac{f}{g}) (x)$ ‍ е неопределена?

Приложение

Разстоянието и времето, което Джордан бяга всеки ден, зависят от часовете

h

, които тя работи. Разстоянието

D

в мили и времето

T

в минути, което тя бяга, са дадени чрез функциите

D (h) = - 0, 5 h + 8, 5

и съответно

T (h) = - 6 h + 90

Нека функция

S

представя средната скорост, с която Джордан бяга през даден ден, в който работи в продължение на

h

часа.

Задача 6

Кой от следните изрази вярно определя функция $S$ ‍?

Задача с повишена трудност

Графиките на

y = f (x)

y = g (x)

са показани в координатната система по-долу.

Коя е графиката на $y = (f \cdot g) (x)$ ‍?

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.