Идентифициране на сложни функции

В това видео ще разгледаме какво означава сложна функция и ще развием умения за разпознаване на сложни (съставни) функции. Ако не познаваш термина сложни (съставни) функции или ако първите няколко минути от това видео ти изглеждат непознати, те насърчавам да изгледаш видеата в раздел алгебра на Кан Академия върху сложни функции. Целта на това видео е да натрупаме малко практика, преди да почнем с уменията, които са ни нужни за математическия анализ и по-конкретно верижното правило за диференциране. Нека първо преговорим какво е сложна функция. Да кажем, че имаме... Да кажем, че имаме f(x) = 1 + х. Да кажем, че имаме и g(x) = cosх. На какво ще е равно f от g(x). Насърчавам те да спреш това видео и да пробваш да го решиш самостоятелно. Можем да го разгледаме сякаш аргументът на f(x) вече не е х, а е g(x). Затова навсякъде, където има х в определението за f(x), ще го заместваме с g(x). Следователно това ще бъде равно на 1 плюс... и вместо аргументът да е х, аргументът ще е g(x). Следователно стойността ще е 1 плюс g(x). A g(x), разбира се, е cosx. Вместо да запишем тук g(x), мога да запиша cosx. Можем да визуализираме това сякаш поставям х първо в g(x), т.е. х отива във функцията g и излиза стойността g(x). Тогава взимаме тази стойност g(x) и я поставяме в f(x), т.е. като аргумент във функцията f. Поставяме във функцията f и тогава това ще ни даде стойността на f от какъвто е аргументът, а той е g(x). След като минахме преговора, да видим дали можем да го направим по обратния път. Да видим дали можем да разгледаме някакъв вид дефиниция на функция и да си кажем: "Можем ли да изразим тази функция като съставена от други функции." Да започнем с g(x) равно на cos от sinx + 1. Искам да отбележа, че често има повече от един начин да съставиш/конструираш една функция, използвайки като състав други. Използвайки казаното дотук, спри това видео и си кажи: "Мога ли да изразя g(x) като съставена от две други функции, да кажем f и h от х?" Има няколко начини, по които можеш да го направиш. Може да си кажеш: "Имам този sinx тук. Ами ако го нарека f(x)? Да кажем, че така го наричам." Всъщност нека използваме друга променлива, за да не се объркаме. Нека наречем това u(x). Този sinx. Това ще е cos от u(x) + 1. Тогава ако дефинираме друга функция като v(x) равно на косинус от някакъв аргумент плюс 1. Това вече изглежда като функция, съставена от v и u от х. Вместо v(x), имаме v от u(x). Тогава това ще бъде cos от u(x) + 1. Нека го запиша. Ако запишем v от u(x), което е sinx. Ако запишем v от u(x), това ще е равно на cos от... вместо х + 1, ще бъде u(x) + 1. А u(x)...нека го запиша тук. u(x) е равно на sinx. Така го дефинирахме. Можем да запишем cos от u(x) плюс 1 или cos от sinx плюс 1, което е същото като това, което имахме. Следователно тази функция g(x)... Ако кажем, че u(x) е равно на sinx, а v(x) е равно на cos от х плюс 1, тогава можем да запишем g(x) като съставена от тези две функции. Сега можем да направим сложна функция дори от три функции. Запазваме u(x) равно на sinx. Дефинираме примерно w(x) равно на х плюс 1. Да помислим. w от u(х). Ще го направя в същия цвят. w от u(x) ще бъде равно на: Сега аргументът ми вече не е х, а ще е u(x). Следователно ще бъде u от х плюс 1 или просто sinх плюс 1. Това е sinх плюс 1. Тогава ако дефинираме трета функция... Да кажем, че ще я нарека h. Свършват ми вече променливите, макар че има доста оставащи букви. Ако кажем, че h(x) е равно на cos от какъвто аргумента сложа. Равно на cosx. Тогава h от w от u(x) ще бъде g(x). Нека го запиша. h от w от u(x) ще бъде равно на: Запомни, че h(x) е cos от съответния аргумент. Функцията ще смята косинуса. Сега аргументът е w от u(x). Вече разбрахме, че w от u(x) ще бъде това. Ще бъде sinх плюс 1, където u(x) е sinx. Но тогава вкарахме това в w и получихме sinx плюс 1. Тогава вкарахме това в h и получихме cos от това, което е нашият първоначален израз, което е равно на g(x). Целият смисъл тук е да разберем как да разпознаваме сложни функции. Сега искам да акцентирам, че не винаги ще имаме сложни функции. Например ако имам някаква функция... Нека само разчистя това. Ако имам някаква функция f(x) равно на cosx по sinx, ще бъде трудно да изразим това като сложна функция. Но можем да го изразим като произведение от функции. Например cosx... Мога да запиша като u(x) = cos(x). А за v(x)... То ще е в различен цвят. v(x) = sinx. Следователно тук f(x) няма да е сложна функция от u и v, а ще е тяхно произведение. f(x) е равно на u(x) по v(x). Ако сметнем като сложна функция... Ако кажем, че това е u от v(x)... Спри видеото и помисли какво ще е това. Това е като малък преговор. Това ще бъде да сметнем u(x), т.е. косинус от някакъв аргумент, а сега аргументът е v(x), което е sinx. И тогава ако сметнем v от u(x), това ще бъде обратния вариант. Ще бъде sin от cosx. Както и да е. Това отново е само да ти помогне да разпознаеш... "Хмм, когато погледна израз или дефиниция на функция, произведение от функции ли виждам или сложна функция?" Понякога виждаме произведение от сложни функции или частно от сложни функции. Всякакви видове комбинации на това как можем да свързваме функциите, за да създаваме нови функции.