Гранично поведение на функции и техните графики

"Коя функция нараства, когато х расте в посока плюс безкрайност, и намалява, когато х намалява към минус безкрайност? Нека помислим за всяко от тези условия. Първо, коя функция нараства, когато х се увеличава, когато х расте в посока плюс безкрайност? х ще върви в тази посока. Нека първо разгледаме f(х). f(х), когато преминаваме отвъд този минимум тук, когато увеличаваме х, f(х) изглежда нараства. Така че f(х) изпълнява първото условие. Нека сега помислим за g(х). След като преминем тази точка на минимум тук, когато х става по-голямо и по-голямо, и по-голямо, когато доближава безкрайност, g(х) изглежда да става по-голяма и по-голяма, и по-голяма. g(х) се движи нагоре. Така че g(х) също изглежда изпълнява първото условие. Нека сега помислим за h(х). Когато х нараства в посока плюс безкрайност, h(х) изглежда намалява. Така че h(х) не изпълнява дори първото условие. Единствените ни две възможности сега са g(х) и f(х). Коя от тези намалява, когато х намалява в посока минус безкрайност? Нека помислим за това, х намалява в посока минус безкрайност. Ще се движим в тази посока. Първо нека разгледаме f(х). f(х) един вид се движи нагоре-надолу ето тук. Но след като стигнем до този локален максимум – това тук беше локален минимум, а не глобален – когато се придвижваме наляво от този локален максимум, когато имаме все по-малък и по-малък х, виждаме, че функцията намалява. Така че изглежда отговаря на второто условие. Намалява, когато х намалява към минус безкрайност. Така че отговаря на това условие. А какво да кажем за g(х)? След този минимум – и това изглежда като глобален минимум – след като стигнем тази точка на минимум тук, когато х намалява в посока минус безкрайност, g(х) изглежда расте, а не намалява. Така че g(х) не отговаря на второто условие. Тоест единствената функция, която изпълнява и двете условия, изглежда е f(х).