Оптимизация: обем на кутия (Част 2)

В предния урок успяхме да добием представа за това колко голям размер х следва да изрежем от всеки ъгъл, за да достигне обемът максимална стойност. Решихме задачата графично. В настоящия урок искам да използвам методи от математическия анализ, за да проверя, дали може получим същия или дори по-добър резултат. За да постигна това, първо следва да намеря критичните точки за обема, който е функция на х. А за да направя това, следва да намеря производната на обема. Нека го направя. Преди въобще да я търся, ще опростя уравнението, така че да не се налага да използвам правилото за намиране производна на произведение. За целта просто ще разкрия скобите и ще умножа отделните изрази. Нека да преобразуваме обема като функция на х. Ще го запиша в жълто. Ще се получи х, умножено по... първо ще умножа тези два бинома. 20 по 30 е равно на 600. След това имам 20 по –2х, което е равно на –40х. След това имам 2х по 30, което е равно на –60х. Тогава имам минус 2х по –2х, което е равно на плюс 4х на квадрат. Тази част тук ще се опрости и мога да сменя реда на 4х^2 минус 100х плюс 600. Просто смених местата на събираемите. Дотук добре. Мога да запиша обема като v от х, и е равен на х по целия този израз. Нека само да се уверя, че имам достатъчно място. Нека да го направя малко по-високо. Обемът е равен на 4х на степен 3, минус 100х на квадрат, плюс 600х. Ще бъде сравнително лесно да намерим производната. Нека да кажем, че v' от х ще бъде равно на... просто ще приложа правилото за намиране производна на степен няколко пъти: 4 по 3 е равно на 12. х на степен 3 минус 1, 12х на квадрат минус 200 по х на първа степен, което е равно просто на х плюс 600. А сега просто следва на намеря кога този израз е равен на 0. Трябва да намерим кога 12х на квадрат минус 200х плюс 600 е равно на 0. За коя стойност на х производната ще бъде равна на 0? Кога наклонът ще бъде равен на 0? Мога и да потърся критични точки, където производната не е дефинирана. Тази производна обаче е дефинирана в рамките на дефиниционното множество за х, което ни интересува, т.е. межуду 0 и 10. Мога се опитам да разложа този израз на множители, или да се опитам да го опростя малко. Но сега просто ще го изчисля директно като използвам формулата за корените на уравнението. За да удовлетворява х уравнението, х следва да бъде равно на... Получава се минус b, което е равно на 200. Минус минус 200 е равно на плюс 200. Плюс или минус квадратен корен от b на квадрат, което е равно на –200 на квадрат. Мога просто да го запиша като 200 на квадрат. Няма значение дали е –200 на квадрат или 200 на квадрат. Ще се получи една и съща стойност. Нека да си осигуря малко повече място. И така, имаме –200 на квадрат. Това ще бъде равно на 4 с четири нули. Едно, две, три, четири. Получава се 40 000 минус 4ac. Тоест –4 по 12, по 600. Все още не съм си осигурил достатъчно място. Всичко това е върху 2а. Тоест, всичко това е върху 24. Отново ще използвам калкулатора, за да изчисля този израз. Нека да изляза от режим на графика. Добре, първо ще опитам, като прибавя радикала. Ще се получи 200 плюс квадратен корен от 40 000. Можеше просто да го запиша като 200 на квадрат, но и така е добре. 40 000 минус 4 по 12, по 600. Получава се 305, което следва да разделя на 24. Разделям го на 24 и получавам 12,74. Следователно това е една от възможните стойности за х. Равно е на 12,74. Нека сега да разгледам случая, когато изваждам това, което е под знака за радикал. Нека отново да използвам калкулатора. Нека сега да запиша 200... вероятно можеше да го направя малко по-ефективно, но и така е добре... минус квадратен корен от 40 000... едно, две, три, четири... минус 4 по 12, по 600. И това дотук е само числителят. След това ще разделя полученото на 24 и получавам 3,92. Направих ли го както трябва? 200 минус 40 000, минус 4 по 12, по 600 и всичко това, разделено на 24. Предишният ми отговор, след разделяне на 24, се получава 3,92. Следователно е равно на 12,74 или на 3,92. Коя от тези стойности мога да използвам? х = 12,74 не принадлежи на дефиниционното множество на х. Ако х беше равно на 12,74, то тогава страните щяха да се припокриват една с друга. Следователно х не може да бъде равно на 12,74. Получаваме, че критична точка за х е стойността 3,92. Може отново да погледнеш графиката и да кажеш, че това изглежда като максимална стойност. Но ако не разполагаш с графиката, можеш да използваш правилото на втората производна, и да провериш дали функцията е изпъкнала или вдлъбната, когато х е равно на 3,92. За да използваме правилото на втората производна, следва да намерим втората производна. Нека го направим. v'' от х ще бъде равно на 24х на първа степен, по минус 200. Сега може само за справка да погледнеш, че това число ето тук е по-малко от 4. Следователно този резултат тук ще се получи по-малък от 100. Изваждаш 200. Тогава може да запишем, че втората производна от 3,92 ще бъде по-малка от 0. Може да изчислиш и точната стойност, ако искаш. След като v'' от х е по-малко от 0, то функцията е вдлъбната. Функцията е вдлъбната. С други думи, наклонът намалява през цялото време. Вдлъбната функция. Когато наклонът намалява през цялото време, то формата на функцията изглежда ето така. Наклонът започва с висока стойност. Намалява, намалява, става равен на 0, намалява още повече, още повече и още повече. Това се вижда и на графиката ето тук. Поради това, че функцията е вдлъбната, това означава, че критичната точка се намира в интервала, където функцията е вдлъбната. Следователно в тази критична точка има локален максимум. Има локален максимум. Тогава това е стойността х, за която функцията достига максимална стойност. А на какво е равна максималната стойност? Може да заместим това отново в първоначалния израз за обем и да изчислим на какво е равно. Нека да изчислим обема, когато х е равно на 3,92. На какво е равна максималната стойност? Отново ще използвам калкулатора. Очевидно е приблизително 3,92. Мога използвам закръглената стойност. Действително, просто ще използвам 3,92, за да добия представа на какво е равна максималната стойност, т.е. максималният обем. Замествам х равно на 3,92. Просто ще използвам израза за обема като функция на х. 3,92, по 20 минус 2 по 3,92, по 30 минус 2 по 3,92. Получава се – и тук заслужаваме поздравления – че е равно на 1056,3. 1056,3 е по-голям обем, отколкото получихме, когато решихме задачата графично. Може би щеше да се получи малко по-прецизно, ако бяхме увеличили мащаба повече. Тогава щяхме да получим малко по-добър отговор, но ето че сега се получи. Аналитично успяхме действително да получим даже още по-добър отговор, отколкото, когато решихме задачата графично първия път.