If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Курс: 12. клас (България) Профилирана подготовка Модул 3 Практическа математика > Раздел 1

Урок 6: Изпъкналост и вдлъбнатост на функция. Инфлексни точки
Математика
12. клас (България) Профилирана подготовка Модул 3 Практическа математика
Приложения на математическия анализ
Изпъкналост и вдлъбнатост на функция. Инфлексни точки
© 2024 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки

Обосноваване, използвайки втората производна

Класна стая на Google
"Математическото мислене" с втората производна на функция могат да се използват, за да се обосноват твърдения за изпъкналост и вдлъбнатост на първоначалната функция и за инфлексните ѝ точки.
Научихме, че първата производна f′ ни дава информация за това къде първоначалната функция f расте или намалява, и къде f има екстремуми.
Втората производна f″ ни дава информация за изпъкналост и вдлъбнатост на първоначалната функция f и за това къде f има инфлексни точки.

Нека преговорим какво е вдлъбнатост и изпъкналост.

Една функция е изпъкнала, когато наклонът ѝ е растящ. Графично: графика, която е изпъкнала, има форма на чаша, ∪.
Дадена е графиката на функцията f. Оста х не е номерирана. Графиката представлява крива, която започва във втори квадрант, спуска се надолу с изпъкналост до оста у, после се издига с изпъкналост през 2 точки и завършва в квадрант 1. Две допирателни прави се издигат нагоре и докосват всяка от двете точки. Правата през по-високата точка, която има по-голяма стойност на координатата х, има по-стръмен наклон от правата, която минава през долната точка.
Графиката на f е изпъкнала (забележи формата ѝ: ∪). Забележи как когато x расте, наклонът е растящ.
Аналогично една функция е вдлъбната, когато наклонът ѝ е намаляващ. Графично: графика, която е вдлъбната, има форма на шапка, ∩.
Дадена е графиката на функцията g. Оста х не е номерирана. Графиката представлява крива, която започва във втори квадрант, спуска се надолу с вдлъбнатост до оста у, после се спуска с вдлъбнатост през 2 точки и завършва в квадрант 4. Две допирателни прави се спускат надолу и докосват всяка от двете точки. Правата през по-ниската точка, която има по-голяма стойност на координатата х, има по-стръмен наклон от правата, която минава през по-високата точка.
Графиката на g е вдлъбната (забележи нейната форма: ∩). Забележи как когато x расте, наклонът е намаляващ.
Инфлексна точка е когато функцията променя изпъкналостта си (вдлъбнатостта си).
Дадена е графиката на функцията f. Оста х не е номерирана. Графиката представлява крива, която започва в квадрант 2, спуска се надолу с изпъкналост до точка в квадрант 1, издига се с изпъкналост до инфлексна точка, продължава нагоре с вдлъбнатост до точка, спуска се надолу с вдлъбнатост и завършва в квадрант 4.

Как f″ ни информира за изпъкналостта на f

Когато втората производна f″ е положителна, това означава, че първата производна f′ е растяща, което означава, че f е изпъкнала. Аналогично отрицателната f″ означа, че f′ е намаляваща и f е вдлъбната.
f″f′f
положителна +растяща ↗изпъкнала ∪
отрицателна −намаляваща ↘вдлъбната ∩
пресичащта оста x (промяна на знака)екстремум (промяна на посоката)инфлексна точка (промяна на изпъкналост)
Ето един графичен пример:
f″f′f
Забележи как f е вдлъбната отляво на x=c и е изпъкнала вдясно от x=c.
Задача 1
Нека f е двойно диференцируема функция. Това е графика на нейната втора производна f″.
В кой интервал f е винаги изпъкнала?
Избери един отговор:

Често срещана грешка: Да объркаме връзката между f, f′ и f″

Запомни, че за да бъде изпъкнала функцията f, първата производна f′ трябва да е растяща, а втората производна f″ трябва да е положителна. Други поведения на f, f′ и f″ може да не са обвързани.
Например в първа задача по-горе втората производна f″ е изпъкнала в интервала [−8;−2] но това не означава, че функцията f е изпъкнала в този интервал.
Задача 2
Нека h е двойно диференцируема функция. Това е графика на нейната втора производна, h″.
Къде функцията h има инфлексна точка?
Избери един отговор:

Искаш ли да се упражняваш още? Опитай това упражнение.

Често срещана грешка: погрешно да тълкуваме показаната графична информация

Представи си ученик, който решава Задача 2 по-горе, мислещ че графиката е на първата производна на h. В този случай h ще има инфлексна точка в A и B, защото това са точките, в които h′ си променя посоката. Този ученик ще греши, защото това е графиката на втората производна, а верният отговор е D.
Не забравяй винаги да се уверяваш, че разбираш дадената информация. Графиката на функцията f ли ни е дадена, на първата производна f′ или на втората производна f″?
Задача 3
Начертани са двойно диференцируемата функция g и нейната втората производна g″.
Четирима ученици трябвало да дадат подходяща математическа обосновка за факта, че g има инфлексна точка в x=−2.
Можеш ли да свържеш коментарите на учителя с обосновките?
1

Използване на втората производна за определяне дали екстремумът е минимум или максимум

Представи си, че ни е дадена функция f, която има екстремум в x=1, и че тя е изпъкнала в интервала [0;2]. От тази информация можем ли да кажем дали този екстремум е минимум или максимум?
Отговорът е ДА. Спомни си, че една функция, която е изпъкнала, има форма на чаша ∪. В тази форма една крива може да има само един минимум.
Аналогично, ако една функция е вдлъбната, когато тя има екстремум, този екстремум трябва да е максимум.
Дадена е графиката на функцията f. Оста х не е номерирана. Графиката представлява крива, която започва в квадрант 2, спуска се надолу с изпъкналост до точка в квадрант 1, издига се с изпъкналост и после с вдлъбнатост до максимална точка в квадрант 1, спуска се надолу с вдлъбнатост и завършва в квадрант 4.
Задача 4
Начертани са двойно диференцируемата функция h и нейната втора производна h″.
Ако е дадено, че h′(−4)=0, коя е подходящата математическа обосновка за факта, че h има локален максимум в x=−4?
Избери един отговор:

Искаш ли още да се упражняваш? Опитай това упражнение.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила
Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.