Задачи за движение: намиране на максимално ускорение

Една частица се движи по оста х, така че във всеки момент от време t по-голямо или равно на 0, скоростта ѝ се определя от функцията v(t) равно на минус t на трета степен, плюс 6 по t на квадрат, плюс 2 по t. В кой момент от време t частицата достига максимално ускорение? Искаме да намерим кога частицата достига своето максимално ускорение. Нека да преговорим отново какво ни е дадено. Дадена ни е скоростта като функция на времето. Нека само да си припомним нещо. Ако позицията ни е определена като функция на времето – нека това да е x от t като функция на времето – то ако намерим производната на тази функция, х' от t , то това ще бъде равно на скоростта на изменение на позицията спрямо времето или на скоростта като функция на времето. Ако тогава намерим производната на скоростта, тогава тя ще бъде равна на скоростта на изменение на скоростта спрямо времето. Тоест, този израз ще бъде равен на ускорението като функция на времето. Дадена ни е скоростта. Тогава от скоростта може да намерим ускорението. Нека да запиша отново дадения израз. Знаем, че v от t е равно на минус t на трета степен, плюс 6 по t на квадрат, плюс 2 по t. Оттук може да намерим ускорението като функция на времето, което ще бъде равно на производната на скоростта спрямо t. Просто ще приложим правилото за намиране производна на степен няколко пъти. Ето тук имаме трета степен, така че се получава минус 3 по t на квадрат, плюс... 2 по 6 е равно на 12... по t на първа степен, плюс 2. Този израз е ускорението като функция на времето. Искаме да намерим кога ускорението има максимална стойност. Като разглеждаме функцията на ускорението, виждаме, че е квадратно уравнение. Представлява полином от втора степен с отрицателен коефициент пред члена с най-висока степен, т.е. пред члена на втора степен. Тогава графиката ще е отворена отдолу парабола. Ще се получи парабола, която се отваря отдолу. Нека да я начертая със същия цвят. Графиката притежава ето тази основна форма и действително ще достига до максимална стойност. Как обаче ще намерим максималната стойност? Максималната стойност ще се получи, когато стойността на ускорението... или когато наклонът на допирателната е равен на 0. Може дори да проверим, че графиката е вдлъбната в тази точка, като използваме правилото на втората производна. Тоест, като покажем, че втората производна е отрицателна в тази точка. Нека да го направим. Нека да разгледаме първата и втората производни на функцията на ускорението. Ще сменя цветовете. Това е такъв, който действително е трудно да се види. Първата производна, т.е. скоростта на изменение на ускорението, ще бъде равна на следното. Получава се –6 по t плюс 12. Нека сега да видим кога този израз ще бъде равен на 0. Ако извадим 12 от двете страни, то ще получим, че минус 6 по t е равно на –12. Разделяме двете страни на –6 и получаваме, че t e равно на 2. Няколко неща. Може да си помислиш: "Добре, знам, че това е парабола, която е отворена отдолу ето тук. Коефициентът пред члена с втора степен е равен на 0. Знам, че наклонът на допирателната е равен на 0 в точката t = 2. Следователно това ще бъде точка, в която функцията достига максимум. Може да продължиш дори още по-напред. Може да намериш втората производна. Нека да го направим просто за наше удовлетворение. Може да намерим втората производна на функцията за ускорение. a'' от t ще бъде равно на –6. Производната на –6 по t е равна на –6, защото производната на константа е равна на 0. А това число, т.е. втората производна, винаги е отрицателна. Следователно графиката винаги е вдлъбната. От правилото на втората производна в точката t = 2... всъщност в точката t = 2 втората производна на ускорението ще бъде отрицателна. Следователно разбираме, че в тази точка функцията достига максимум. Максималната стойност на функцията се намира в точката t = 2. И така, за коя стойност на t частицата достига своето максимално ускорение? В момент от време t = 2.