Задача за оптимизация: екстремна нормала към y=x²

Току-що ми изпратиха тази задача, която е доста сложна и многословна. Много по-трудна, отколкото тези, които са в повечето учебници. Мисля, че ще е полезно да я разберем. Това е една от онези задачи, които като ги прочетеш за първи път, и се ококорваш, но, когато разбереш за какво става дума, става много интересно. Дадено е, че кривата на чертежа е параболата у = х^2. Тази крива ето тук е у = х^2. Нека да дефинираме една нормала като линията, която в първи квадрант пресича параболата под прав ъгъл (т.е. тя е перпендикулярна). Ето това тук е първи квадрант. Казват ни, че нормалата е права, която като пресича параболата в първи квадрант, е перпендикулярна на параболата (нормална права). Ако начертая допирателна ето тук, то тази линия е нормала към нея. Това е всичко, което ни казват. Това тук е нормала, точно ето тук. Нормала. Дотук добре. 5 различни нормали са показани на чертежа. Едно, две, три, четири, пет. Много добре. И всички те изглеждат, че са перпендикулярни, или нормали към параболата, когато я пресичат в първи квадрант. Това е ясно. х координатите на точките във втори квадрант, където нормалите пресичат параболата, стават все по-малки. х координатите на пресечните точки в първи квадрант, също намаляват. Нека да видим какво се случва, когато х координатите в първи квадрант намаляват. Ето дотук бях стигнал в този обширен текст. Ако започна в ето тази точка тук, х координатата би изглеждала по следния начин. Нека да сляза по-надолу. х-координатата се намира ето тук. Когато се придвижвам към все по-малки х-координати от ето тази например, какво се случва с нормалата? Или, дори по-важно, какво се случва с пресечните точки на нормалата във втори квадрант? Това ето тук е вторият квадрант. Когато имам по-голяма стойност х, моята нормала пресича параболата ето тук във втори квадрант. Когато х стойностите намаляват, понеже това ето тук е следващата точка, стойностите на х в пресечните точки ето тук...Всъщност подборът им на думи не е добър. Дадено е, че пресечните точки във втори квадрант стават все по-малки. Действително обаче не стават все по-малки. Стават по-малко отрицателни. Предполагам по-малка може да бъде само абсолютна стойност или големина. Но в случая просто стават все по-малко отрицателни. Нарастват в ето тази посока, но действително стават по-голямо число, нали така? Стават все по-малко отрицателни, но все по-големи числа. Ако ги разглеждаме като абсолютна стойност, предполагам, че стават по-малки, нали така? Когато стигаме от тази точка до тази точка, като преместваме стойността х, при пресичането в първи квадрант, то стойностите във втори квадрант също се преместват малко към тази вертикална линия. Дотук добре. Но евентуално, пресечните точки на нормалата във втори квадрант намаляват доколкото е възможно. Ако продължаваме да намаляваме стойността х, т.е. стойността в първи квадрант, т.е. все едно ги издърпваме по параболата в първи квадрант, и достигаме до тази точка. Тогава нормалата в тази точка пресича кривата във втори квадрант ето тук. Тогава, когато стойностите за х намаляват в първи квадрант, нормалата пресича параболата във втори квадрант във все по- отдалечени отрицателни числа. Може да разглеждаш ето тази стойност като най-голяма стойност, или като най-малка абсолютна стойност, в която нормалата пресича параболата във втори квадрант. Нека да изясня това. Ето тук горе нормалата пресича параболата, когато стойността х е голяма в първи квадрант. Тогава имаш голямо отрицателно х при пресечната точка във втори квадрант. Когато стойностите х намаляват ето тук, във втори квадрант се получават по-ниски отрицателни стойности. Докато не достигнеш до ето тази точка ето тук, която може да разглеждаш като най-малката отрицателна стойност. Тогава, като издърпаш стойностите за х дори още повече, тези нормали започват да се отдалечават отново във втори квадрант. Мисля, че за това говорят в условието на задачата. Екстремната нормалa е показана като удебелена линия на чертежа. Добре. Тази линия ето тук е екстремната нормала. Това е екстремната нормала. Ето тази удебелената. Екстремна нормала. След тази точка, когато издърпваш стойностите х дори още повече, пресичането във втори квадрант започва да се отдалечава. Може да разглеждаш екстремния случай, ако начертаеш нормалата ето тук долу. Пресичането във втори квадрант ще се получи някъде далеч от това място, въпреки че ще изглежда като асимптота по някакъв начин. Но не знам. Нека да прочетем останалата част от задачата. След като нормалата премине екстремната нормала, то х координатите на пресечните точки с параболата във втори квадрант започват да нарастват. Когато казват, че започват да нарастват, действително стават все по-отрицателни. Подборът на думи не е добър. Трябва да променя това на "по-големи отрицателни стойности". Стават по-големи отрицателни числа. Защото, когато нормалите слязат под екстремната нормала в първи квадрант, х-координатите на пресечните точки във втори квадрант започват да се отдалечават и намаляват. Добре. На чертежа има два чифта нормални линии. Дотук добре. Двете нормални линии от всеки чифт притежават една и съща пресечна точка с параболата във втори квадрант, но едната се намира над екстремната нормална линия в първи квадрант, а другата се намира под нея. Добре. Например тази нормала ето тук пресича параболата, когато стойността х е по-голяма. Във втори квадрант пресича в ето тази точка. Тогава, ако стойността х намалява все повече и повече и стане достатъчно малка, то преминаваш екстремната нормала и достигаш до тази точка, а другата нормала всъщност пресича параболата в тази точка. Следователно, ако достатъчно намалее стойността х, то отново нормалата пресича в същата точка във втори квадрант. Надявам се, че ме разбираш, когато се опитвам да обясня задачата. Добре. Какво ни питат в условието? Мисля, че имам време само за първата част от заданието. Може би втората ще бъде решена в друг урок. Да се намери уравнението на екстремната нормала. Това на пръв поглед изглежда много обезсърчително. Смятам обаче, че това, което знаем за производните и уравненията на права, ще ни помогне да я решим. На какво е равен наклонът на допирателната във всяка точка от кривата? Просто ще намерим производната у' на у= х^2, а у' е равно на 2*х. Това е наклонът на допирателната във всяка точка х от параболата. Ако искаме да знаем наклона на допирателната в точката х0, т.е. за някаква конкретна стойност на х, просто бих казал, че наклонът ще бъде равен на 2*х0. Или нека да кажем, че f от х0 е равно на 2*х0. Това е наклонът, в коя да е избрана точка х0, на допирателната. Нормалата е права, която има такъв наклон, че да е перпендикулярна на допирателната. Тоест перпендикулярната права – тук няма да го преговаряме – притежава наклон, който е с противоположен знак на реципрочната стойност на наклона на допирателната. Следователно наклонът на нормалата в точката х0 ще бъде с обратен знак на реципрочната стойност на 2*x0, защото това е наклонът на допирателната в точката х0. Ще бъде равен на минус 1 върху 2*х0. Дотук добре. Какво е уравнението на нормалата в точката х0? Нека да изберем тази да е конкретната точка х0. Какво е уравнението на нормалата в тази точка? Може просто по дадена точка и ъглов коефициент (наклон) да съставим уравнението. Ето тази точка тук принадлежи на нормалата. Координатите на точката са (х0; х0 на квадрат). Защото графиката е на функцията у = х^2. А нормалата минава през тази точка. Тогава може да кажем, че уравнението на нормалата... нека да го запиша... ще изглежда по следния начин. Това е просто следствие от определението за права чрез точка от правата и ъглов коефициент. Записваме у минус у на избраната точка – което е равно на х0 на квадрат, т.е. ето тази точка тук – е равно на наклона на нормалата, който е минус 1, върху 2*х0, по х минус х на точката, в която се намираме. Тоест, по х минус х0. Това е уравнението на нормалата. Нека да видим. Интересува ни следният въпрос: Кога х0 ще бъде по голямо от 0? Интересува ни нормалата, когато се намира в първи квадрант, т.е. където се намират всички стойности ето тук. Следователно това е уравнението на нормалата. Нека да го представим изцяло чрез х. у като функция на х. Прибавям х0 на квадрат към двете страни на уравнението. Получавам, че у е равно на...Нека всъщност да умножа този член по това в скобите. Получава се –1 върху 2*х0 по х, а след това имам плюс... защото минус по минус е равно на плюс... т.е. плюс 1 върху 2. х0 върху х0 се съкращават. Сега ще прибавя х0 на квадрат към двете страни на уравнението. А какво записах дотук? Това е ето този израз. Равен е на записания израз ето тук. А сега следва да прибавя х0 на квадрат към двете страни на уравнението. Тогава се получава плюс х0 на квадрат. Това е уравнението на нормалата във вида у = mx + b. Това е наклонът, т.е. това е m, а тази стойност е пресечната точка с у, ето тук. Това е коефициентът b. Какво ни интересува за това уравнение? Интересува ни къде тази права, т.е. нормалата, пресича параболата. Това ще бъде сравнително лесно, защото у е равно на х на квадрат. Тогава, за да намерим къде се пресичат, просто следва да приравним двата израза за у. Търсим стойността х, където се пресичат. Приравняваме този израз за у с този израз за у. Или може просто да заместим този израз в това уравнение. Получава се х на квадрат е равно на минус 1 върху 2*х0, по х, плюс 1 върху 2, плюс х0 на квадрат. Дотук добре. Ще се опитам да съставя квадратно уравнение, така че да го реша като квадратно уравнение. Нека да прехвърлим целия този израз от лявата страна. Получава се х на квадрат, плюс 1 върху 2*х0, по х, минус - целия този израз... т.е. 1 върху 2 плюс х0 на квадрат, е равно на 0. Всичко, което направих, е да взема целия този израз и да го прехвърля от лявата страна на уравнението. Това вече е общ вид на обикновено квадратно уравнение. Може да намерим кои стойности на х удовлетворяват уравнението, което ще ни даде отговор къде нормалата и параболата се пресичат. Нека просто да го решим като квадратно уравнение. Търсим стойностите на х, където двете линии се пресичат. х е равно на минус b, като тук просто прилагам формулата за корените на квадратно уравнение. Минус b е равно на минус 1 върху 2*х0, плюс или минус квадратен корен от b на квадрат. Тоест, този израз на квадрат. Следователно 1 върху 4*х0 на квадрат минус 4*ас. Тоест, минус 4 по 1, по този израз с минус. Ще се получи минус по минус, което е равно на плюс, така че това е просто 4 по ето този израз. Тоест плюс 4 по този израз тук. 4 по този израз е равно на 2 плюс 4 по х0 на квадрат. Този израз ето тук е равен на 4*ac. Добре, минус 4*ас. Минус по минус се унищожават, така че се получава плюс. Коефициентът тук е равен на 1, така че 4*с е равно на 2 плюс 4 по х0 на квадрат. Просто умножавам този израз по 2. Разбира се, целият този израз следва да е върху 2*а, като а е равно на 2. Нека да видим дали мога да опростя получения израз. Припомни си какво правим в момента. Просто търсим къде нормалата и параболата се пресичат. А сега какво се получава тук? Този израз изглежда като страховит звяр. Нека да видя дали мога да го опростя. Нека да го разложим на множители. Нека да го запиша по друг начин. Това е равно на следното. Просто ще разделя всичко на 1 върху 2, така че ще се получи минус 1 върху 4 по х0. Разделих този член на 2. Плюс или минус 1 върху 2 – което е това число 1/2 ето тук; по квадратен корен от този израз. Нека да видя дали мога да опростя израза под радикала. Ако изнеса 4 върху х0 на квадрат, то на какво ще бъде равен този израз? Този член тук ще бъде равен на х на четвърта степен, т.е. х0 на четвърта степен. А този член как ще се промени? Този член ще стане 1 върху 2 по х0 на квадрат. И просто за да го проверим, ако умножим 4 по 1 върху 2, ще получим 2, а след това х0 на квадрат се съкращава. Тогава този член по ето този ще бъде равно на 2. След това имаме плюс... изнесохме 4 от този израз и х0 на квадрат, т.е. плюс 1/16. Нека се преместя малко. Може да се увериш, че сме работили вярно. Ако разкриеш скобите и умножиш тук, следва да получиш ето този израз тук. Ако извършиш умножението под радикала. Вече сме към края с опростяването, защото действително този израз може да се разложи по подходящ начин. Тогава на какво е равно х? Пресечната точка на нормалата и параболата ще бъде равно на следното. Минус 1 върху 4*х0 плюс или минус 1 върху 2, по квадратен корен от този израз. А квадратен корен от този израз тук е равно на 4 върху х0 на квадрат. А на какво е равен този израз? За щастие, това се получава точен квадрат. Няма да навлизам в детайли, защото това видео ще стане твърде дълго, но мисля, че разбираш, че това е равно на х0 на квадрат плюс 1 върху 4. Ако не ми вярваш, повдигни на квадрат този израз тук. Ще получиш този израз ето там. За щастие това е точен квадрат, така че действително може да намерим квадратен корен от него. И така намираме точката, в която се пресичат нормалата и параболата. Това е доста трудна задача. Точките, в които се пресичат, са –1 върху 4*х0, плюс или минус 1 върху 2 по квадратен корен от този израз. Квадратен корен от този израз се получава просто 2 върху х0 по квадратен корен от израза в скобите, т.е. х0 на квадрат плюс 1 върху 4. Ако искаме да опростим израза, то ще получим минус 1 върху 4*х0, плюс... нека да видим... това 1 върху 2 и това 2 се съкращават. Тези двойки се съкращават. Плюс или минус, а сега имам 1 върху х0, по х0 на квадрат. Тоест, имам 1 върху х0. О, съжалявам! Нека да бъда много внимателен тук. х0 на кавдрат, разделено на х0 е просто равно на х0. Нека да го запиша в жълто, за да се отличава за кое става дума. Този член, умножен по този член, е равно на х0. След това имаш плюс 1 върху 4*х0. Целият този израз тук е в скоби. Това са двете точки, в които нормалата и параболата се пресичат. Нека да го изясня много добре. Тези две точки са...“ ако това е равно на х0, което сме избрали ето тук, то това са тази точка и тази точка. И имаме плюс или минус в израза, така че тази ще бъде случаят с плюс, а тази ще бъде случаят с минус. Всъщност при точката с плюс следва всичко да се опрости до х0. Нека да проверим дали ще се получи. Нека да видим дали със знак плюс изразът действително се опростява до х0. Това са нашите две точки. Ако избера случаят с плюс, то това следва да бъде точката на пресичане в първи квадрант. х е равно на –1 върху 4*х0, плюс х0 плюс 1 върху 4*х0. За щастие тези два члена се унищожават. Унищожават се. х0 е една от точките на пресичане, което е напълно разбираемо да получим. Защото дори по такъв начин дефинирахме задачата. Това обаче е пресечната точка в първи квадрант. Това е пресичането в първи квадрант. Пресечната точка във втори квадрант ще бъде там, където избираме знак минус във формулата за х. Следователно за х, където е пресичането във втори квадрант, ще се получи 1 върху 4*х0, минус ето този израз в скобите. Минус ето този израз в скобите. Тоест, минус х0 минус 1 върху 4*х0. Какво ще се получи сега? Нека да видим. Имаме минус 1 върху 4*х0, минус 1 върху 4*х0. Това е равно на минус х0, минус 1 върху 2*х0. Ако събера –1/4 и –1/4, то получавам –1/2. Тогава за пресечната точка във втори квадрант от всичко дотук се получава този резултат. Пресичането във втори квадрант – надявам се, че ще имам свободно място – пресичането във втори квадрант на нормалата и параболата е в точката с координата х, равна на минус х0 минус 1 върху 2*х0. Това, което получихме, е доста добър резултат, но за съжаление не сме приключили със задачата. Защото в условието се иска да намерим най-голямата стойност, в която има пресичане. Ето тази линия е избрана да е екстремната нормала. Екстремната нормала е тази, която пресича параболата във втори квадрант, и точката на пресичане е с най-голяма координата х (точка на максимум). Знам, че я наричат най-малката точка, но това е най-малката отрицателна стойност, така че е нещо като точка на максимум. Тогава как ще намерим тази максимална точка? Е, разполагаме с пресечната точка във втори квадрант, като функция на х за пресечната точка в първи квадрант. Мога да го запиша по следния начин. Пресечната точка във втори квадрант като функция на х0, е равно на минус х, минус 1 върху 2*х0. Тази функция ще има минимална или максимална стойност, когато производната ѝ е равна на 0. Това е много необичаен запис и това е може би най-трудната част от задачата. Нека обаче да намерим тази производна спрямо х0. Пресичането във втори квадрант, т.е. производната на този израз спрямо х0 се получава сравнително лесно. Равна е на –1, а след това имам –1/2, умножено по този член, който е равен на същото като х на степен –1. Получава се –1 по х0 на степен –2, нали така? Можех да го запиша като –1 /2 по х0 на степен –1. Просто записваме степенния показател отпред и го намаляваме с единица. Следователно на това е равна производната спрямо пресичането в първи квадрант. Нека да го опростя. х, пресичането във втори квадрант, т.е. производната на пресечната точка, спрямо пресечната точка в първи квадрант, е равно на –1... от –1/2 и –1 се получава положителен знак при умножението им, така че следва 1/2*х0 на квадрат. Функцията достига минимум или максимум, когато полученият израз е равен на 0. Нека да го приравним на 0, а след това да го решим. Прибавяме 1 към двете страни на уравнението. Получаваме 1/2*х0 на квадрат е равно на 1. Може просто да кажем, че това означава, че 2*х0 на квадрат трябва да е равно на 1, ако просто разменим двете страни на това уравнение. Или може да кажем, че х0 на квадрат е равно на 1/2. Или ако коренуваме (корен квадратен) двете страни на уравнението, то получаваме, че х0 е равно на 1 върху квадратен корен от 2. Наистина, наистина вече сме близо до решението. Току-що намерихме стойността х0, която се определя от екстремната нормала. Това е стойността ето тук. Нека да я означа с приятен, тъмен цвят. Тази стойност ето тук се получава при екстремната нормала. Тази точка тук е х0 равно на 1 върху квадратен корен от 2. От нас се иска да намерим уравнението на екстремната нормала. Уравнението на екстремната нормала вече сме го намерили ето тук. Ето това е уравнението. Уравнението на нормалата е това равенство ето тук. Ако искаме уравнението на нормалата в тази екстремна точка, тази, която определя екстремна нормала, то просто ще заместя в него 1 върху квадратен корен от 2 на мястото на х0. И какво ще се получи? Ще се получи... това вече е финалът на задачата, но това е и страшилището в задачата... у минус х0 на квадрат, което е равно на 1/2. 1 върху квадратен корен от 2 на квадрат, което е равно на 1/2. Това е равно на –1 върху 2*х0. Нека да бъдем внимателни тук. Имаме –1/2, по 1/х0. 1/х0 е равно на квадратен корен от 2, нали така? Всичко това е умножено по (х – х0), което е равно на 1 върху квадратен корен от 2. х0 е равно на 1 върху квадратен корен от 2. Нека малко да опростим това уравнение. Уравнението на нормалата... ако предположим, че не съм направил някакви груби грешки... е равно на следното. у – 1/2 е равно на... Нека да видим. Ако умножим тези два члена, се получава минус квадратен корен от 2 върху 2 по х. Тогава, ако умножим по другия член в скобите, то квадратен корен от 2 се съкращава с квадратен корен от 2 и става равно на 1. Получава се минус по минус, т.е. плюс 1 върху 2. Мисля, че това е вярно. Да, този член по този член е равно на плюс 1/2. Сега сме почти на финалната права. Просто прибавяме 1/2 към двете страни на уравнението. Получаваме, уравнението на екстремната нормала, т.е. у е равно на минус квадратен корен от 2 върху 2 по х. Ако прибавим 1/2 към двете страни на уравнението, то ето тук се получава плюс 1. И сме готови. Това е уравнението на тази права ето тук, като предполагам, че не съм допуснал някакви груби грешки. Но дори и да съм, надявам се, че разбираш идеята на решението на тази задача, която всъщност е доста страховита.