Очаквана стойност на биномиална променлива

Имам една биномна променлива х и ще я опиша по много общ начин. Тя е броят успехи след n опита, където вероятността за успех за всеки опит е p. Това е логичен начин да опишем всяка случайна биномна променлива. Приемаме, че всеки от тези опити е независим, вероятността остава константа, имаме краен брой опити, всеки опит води или до ясен успех, или до провал. В това видео ще се фокусираме върху това каква ще е очакваната стойност на тази биномна променлива. На колко ще е равна очакваната стойност на х? И направо ще ти дам отговора, а по-късно в това видео ще го докажем малко по-математически. Очакваната стойност на X се оказва, че ще е равна на броя опити по вероятността за успех за всеки от тези опити и ако искаш да направиш това малко по-конкретно, представи си, че един опит е един наказателен удар, удар от линията за наказателно хвърляне. Успехът е вкаран кош, вероятността е... ще използвам този жълт цвят... това ще е процентът наказателни удари и, да кажем, че е 30% или 0,3 и, за целта на дискусията, да кажем, че правим 10 наказателни удара, така че n = 10. Това прави нещата доста по-конкретни. В този сценарий очакваната стойност, ако X е броят вкарани наказателни удари след хвърляне на 10 наказателни удара, с процент успешни наказателни удари от 30%, въз основа на това, което ти казах, тя ще е n*р... броят опити по вероятността за успех във всеки един от тези опити, по 0,3 и което, разбира се, ще е равно на 3. Логично ли е това? Ако правиш 10 хвърляния с 30% успеваемост, естествено е да очаквам да вкараш 3 хвърляния. Като изяснихме това, нека математически се уверим в това и ще използваме някои от свойствата на очакваната стойност, по-специално, ще използваме факта, че ако имам очакваната стойност на сбора на две независими случайни променливи, да кажем, X + Y, това ще е равно на очакваната стойност на X плюс очакваната стойност на Y, както говорим в други видеа. Като приемем това, нека въведем нова случайна променлива, нека наречем нашата случайна променлива Y. И знаем няколко неща за Y. Вероятността Y да е равно на 1 е равна на р и вероятността Y да е равно на 0 е равна на 1 – р. И това са единствените два резултата за тази случайна променлива. И може да виждаш накъде отива това. Можеш да гледаш на тази случайна променлива... тя представлява един опит, става 1 при успех, става 0, когато нямаш успех... и може да гледаш на случайната променлива X като равна на Y + Y и ще имаме 10 от тези. Така че ще имаме 10 Y. Можеш да гледаш на тази случайна променлива Y като равна на 1, ако вкараш един свободен удар, и равна на 0, ако не вкараш свободен удар. Това всъщност представлява един от тези опити. И можеш да гледаш на X като сбора от n такива опити. Нека изясня. Незабавно преминах към конкретен пример, но всъщност трябва да кажа n Y, понеже искам примерът да е общ. Тук има n Y. Това беше специфичен пример, но ще остана в общия случай за останалата част от видеото, понеже сега опитваме да докажем този резултат тук. Нека просто вземем очакваната стойност на двете страни. Колко ще е това? Получаваме, че очакваната стойност на X е равна на – това е очакваната стойност на цялото това нещо, но според това свойство тук ще е очакваната стойност на Y плюс очакваната стойност на Y, плюс... и ще направим това n пъти... плюс очакваната стойност на Y... и ще имаме n от тези, така че можеш да запишеш, че това е равно на, това тук е n... това е n пъти по очакваната стойност на Y. Каква е очакваната стойност на Y? Това е доста лесно и можем да го направим директно. Очакваната стойност на Y... нека го запиша ето тук: очакваната стойност на Y е вероятността за претеглените резултати и след като тук има само два дискретни резултата, доста е лесно да изчислим това. Имаме вероятността р да получим 1, тоест р*1, плюс... имаме вероятност от 1 – р да получим 0, така че до колко се опростява това? 0 по което и да е число е 0, а после имаш 1*р и това е просто р, така че очакваната стойност на Y е просто равна на р и готово... получаваме, че очакваната стойност на X е 10 пъти по очакваната стойност или очакваната стойност на X е n пъти по очакваната стойност на Y и очакваната стойност на Y е р, така че очакваната стойност на X е равна на np. Надявам се, че се увери в това.