Основно съдържание

Курс: 7. клас (България) > Раздел 4

Урок 3: Уравнения от вида (ax+b)(cx+d)=0

Решаване на квадратни уравнения чрез разлагане

Научи как да решаваш квадратни уравнения като (x-1)(x+3)=0 и как да използваш разлагането на множители за решаване на други видове уравнения.

Какво трябва да знаеш, преди да започнеш този урок

Какво ще научиш в този урок

Досега решавахме линейни уравнения, които включват свободни членове (обикновени числа) и членове с променливи, повдигнати на първа степен

(x^{1} = x)

Решавали сме и някои квадратни уравнения, които включват променлива на втора степен, като сме намирали квадратния корен и от двете страни.

В този урок ще научиш нов начин за решаване на квадратни уравнения. И по-конкретно, ще научиш

Как да решаваш разложени на множители уравнения от вида $(x - 1) (x + 3) = 0$ ‍ и
как да използваш начините за разлагане, за да привеждаш други уравнения $($ ‍като $x^{2} - 3 x - 10 = 0)$ ‍ в разложен вид и да ги решаваш.

Решаване на квадратни уравнения в разложен вид

Да предположим, че от нас се иска да решим квадратното уравнение

(x - 1) (x + 3) = 0

Може да се чудиш откъде изобщо знаем, че това уравнение е квадратно, тъй като в него няма нищо, повдигнато на втора степен.

Причината това да е квадратно уравнение, е защото то представлява произведение от два израза, които съдържат променлива. Ако развием това произведение, ще получим квадратното уравнение

x^{2} + 2 x - 3 = 0

Това е произведение от два израза, което е равно на 0. Обърни внимание, че всяка стойност на

x

, при която

(x - 1)

или

(x + 3)

е равно на 0, прави произведението нула.

\begin{aligned} (x - 1) & (x + 3) = 0 \\ ↙ & ↘ \\ x - 1 = 0 & x + 3 = 0 \\ x = 1 & x = - 3 \end{aligned}

Заместването или с

x = 1

, или с

x = - 3

в уравнението ще доведе до вярното твърдение

0 = 0

, така че и двете са решения на уравнението.

Сега реши няколко подобни уравнения самостоятелно.

Реши $(x + 5) (x + 7) = 0$ ‍.

Реши $(2 x - 1) (4 x - 3) = 0$ ‍.

Въпрос за размисъл

Може ли същият метод на решение да бъде приложен към уравнението $(x - 1) (x + 3) = 6$ ‍?

Методът на решение, който току-що научихме, е приложим само в случаите, в които имаме произведение, равно на нула.

Това е така, понеже само когато произведението е равно на 0, знаем, че единият множител трябва да е 0; за нас е без значение какъв е другият множител.

В случая на произведение, което е равно на число, различно от нула като

6

, няма никакви специални изисквания за единия от множителите. Всичко, което можем да кажем, е нещо за двата множителя заедно. Например:

ако единият от множителите е $1$ ‍, другият е $6$ ‍;
ако единият от множителите е $2$ ‍, другият е $3$ ‍; или
ако единият от множителите е $\frac{1}{2}$ ‍, другият е $12$ ‍.

Това не ни позволява да превърнем квадратното уравнение в две отделни линейни уравнения.

Бележка за свойството на нулевото произведение

Откъде знаем, че при използването на този метод няма други решения, различни от двете, които намерихме?

Отговорът се определя от едно просто, но много полезно свойство, наречено свойство на нулевото произведение:

Ако произведението от две величини е равно на нула, тогава поне едната от тях трябва да е равна на нула.
Вече знаем, че произведението на всяко едно число и нула е нула, но този принцип ни казва, че ако произведението е нула, тогава е ясно, че един от множителите е нула.
Разгледай случая, в който двата множителя не са 0. В този случай произведението също няма да е 0. Например няма число, което да умножим по $2$ ‍ и да получим 0, освен самата 0.
Следователно, за да бъде едно произведение нула, единият от множителите трябва да бъде нула.

Като заместим която и да е стойност на

x

, различна от нашите решенията, ще получим произведение на две числа, различни от нула, което означава, че произведението определено не е нула. Следователно знаем, че решенията ни са единствените възможни.

Решаване чрез разлагане

Да предположим, че искаме да решим уравнението

x^{2} - 3 x - 10 = 0

, тогава всичко което трябва да направим, е да разложим

x^{2} - 3 x - 10

и да го решим както преди!

x^{2} - 3 x - 10

може да бъде разложено като

(x + 2) (x - 5)

Тъй като водещият коефициент (коефициентът на

x^{2}

) е

1

, можем да използваме формулата за произведение на сборове.

Според формулата за произведение от сборове, ако намерим две числа

a

b

, при които

a + b = - 3

a \cdot b = - 10

, тогава

x^{2} - 3 x - 10 = (x + a) (x + b)

Като разглеждаме двойките цели числа, чието произведение е

- 10

, и след това елиминираме онези, чийто сбор не е

- 3

, намираме, че числата, които търсим, са

a = 2

b = - 5

Следователно разложеният израз е $(x + 2) (x - 5)$ ‍.

Пълното решение на уравнението ще бъде както следва:

$\begin{aligned} x^{2} - 3 x - 10 & = 0 \\ (x + 2) (x - 5) & = 0 & Разложи на множители. \end{aligned}$ ‍

$\begin{aligned} ↙ & ↘ \\ x + 2 & = 0 & x - 5 & = 0 \\ x & = - 2 & x & = 5 \end{aligned}$ ‍

Сега е твой ред да решиш няколко уравнения самостоятелно. Не забравяй, че различните уравнения изискват различни методи на разлагане.

Реши $x^{2} + 5 x = 0$ ‍.

Стъпка 1. Разлагаме $x^{2} + 5 x$ ‍ като произведение от два линейни израза.

Стъпка 2. Реши уравнението.

Реши $x^{2} - 11 x + 28 = 0$ ‍.

Стъпка 1. Разлагаме $x^{2} - 11 x + 28$ ‍ като произведение от два линейни израза.

Тъй като водещият коефициент (коефициентът на

x^{2}

) е

1

, можем да използваме формулата за произведение от сборове.

Според формулата за произведение от сборове, ако намерим две числа

a

b

, при които

a + b = - 11

a \cdot b = 28

, тогава

x^{2} - 11 x + 28 = (x + a) (x + b)

Като разглеждаме двойките цели числа, чието произведение е

28

, и след това елиминираме онези, чийто сбор не е

- 11

, намираме, че числата, които търсим, са

a = - 4

b = - 7

Следователно разложеният израз е $(x - 4) (x - 7)$ ‍.

Стъпка 2. Реши уравнението.

Вече намерихме, че

x^{2} - 11 x + 28

може да бъде разложено като

(x - 4) (x - 7)

. Следователно можем да решим уравнението както следва.

$\begin{aligned} x^{2} - 11 x + 28 & = 0 \\ (x - 4) (x - 7) & = 0 & Разложи на множители. \end{aligned}$ ‍

$\begin{aligned} ↙ & ↘ \\ x - 4 & = 0 & x - 7 & = 0 \\ x & = 4 & x & = 7 \end{aligned}$ ‍

В заключение решенията са $x = 4$ ‍ и $x = 7$ ‍.

Реши $4 x^{2} + 4 x + 1 = 0$ ‍.

Стъпка 1. Разлагаме $4 x^{2} + 4 x + 1$ ‍ като произведение от два линейни израза.

Стъпка 2. Реши уравнението.

Вече намерихме, че

4 x^{2} + 4 x + 1

може да бъде разложено като

(2 x + 1)^{2}

. Следователно можем да решим уравнението както следва.

$\begin{aligned} 4 x^{2} + 4 x + 1 & = 0 \\ (2 x + 1)^{2} & = 0 & Разложи на множители. \end{aligned}$ ‍

В този случай имаме произведение, при което двата множителя са еднакви:

2 x + 1

. Следователно няма нужда да решаваме двете уравнения. Единственият случай, при който

(2 x + 1)^{2}

може да бъде нула, е, ако

2 x + 1

е нула.

$\begin{aligned} 2 x + 1 & = 0 \\ 2 x & = - 1 \\ x & = - \frac{1}{2} \end{aligned}$ ‍

В заключение уравнението има едно решение, $x = - \frac{1}{2}$ ‍.

Реши $3 x^{2} + 11 x - 4 = 0$ ‍.

Стъпка 1. Разлагаме $3 x^{2} + 11 x - 4$ ‍ като произведение от два линейни израза.

Тъй като водещият коефициент (коефициентът на

x^{2}

) е различен от

1

, трябва да използваме метода на групирането.

За да направим това, трябва първо да намерим две числа

a

b

, за които

a + b = 11

a b = (3) (- 4) = - 12

Като разглеждаме двойките цели числа, чието произведение е

- 12

, и след това елиминираме онези, чийто сбор не е

11

, намираме, че числата, които търсим, са

a = 12

b = - 1

. Сега представяме

11 x

като

(12 x - x)

и групираме.

$\begin{aligned} 3 x^{2} + 11 x - 4 \\ = 3 x^{2} + 12 x - x - 4 \\ = 3 x (x + 4) - 1 (x + 4) \\ = (3 x - 1) (x + 4) \end{aligned}$ ‍

В заключение $3 x^{2} + 11 x - 4$ ‍ може да бъде разложено като $(3 x - 1) (x + 4)$ ‍.

Стъпка 2. Реши уравнението.

Вече намерихме, че

3 x^{2} + 11 x - 4

може да бъде разложено като

(3 x - 1) (x + 4)

. Следователно можем да решим уравнението както следва.

$\begin{aligned} 3 x^{2} + 11 x - 4 & = 0 \\ (3 x - 1) (x + 4) & = 0 & Разложи на множители. \end{aligned}$ ‍

$\begin{aligned} ↙ & ↘ \\ 3 x - 1 & = 0 & x + 4 & = 0 \\ 3 x & = 1 & x & = - 4 \\ x & = \frac{1}{3} \end{aligned}$ ‍

В заключение решенията са $x = \frac{1}{3}$ ‍ и $x = - 4$ ‍.

Подреждане на уравнението преди разлагане

Една от страните трябва да бъде нула.

Ето как става решаването на уравнението

x^{2} + 2 x = 40 - x

$\begin{aligned} x^{2} + 2 x & = 40 - x \\ x^{2} + 2 x - 40 + x & = 0 & Извади 40 и прибави x . \\ x^{2} + 3 x - 40 & = 0 & Събери подобните членове. \\ (x + 8) (x - 5) & = 0 & Разложи на множители. \end{aligned}$ ‍

\begin{aligned} ↙ & ↘ \\ x + 8 & = 0 & x - 5 & = 0 \\ x & = - 8 & x & = 5 \end{aligned}

Преди да разложим, преработихме уравнението така, че всичките членове да са от една и съща страна, а другата страна остана нула. Само така е възможно да разложим и да използваме този метод на решаване.

Премахване на общите множители

Ето как става решаването на уравнението

2 x^{2} - 12 x + 18 = 0

$\begin{aligned} 2 x^{2} - 12 x + 18 & = 0 \\ x^{2} - 6 x + 9 & = 0 & Раздели на 2. \\ (x - 3)^{2} & = 0 & Разложи на множители. \\ ↓ \\ x - 3 & = 0 \\ x & = 3 \end{aligned}$ ‍

Всички членове първоначално имаха общ множител

2

, така че разделихме всичките страни на

2

(нулевата страна остана нула), което направи разлагането по-лесно.

Сега реши няколко подобни уравнения самостоятелно.

Намери решенията на уравнението.

$2 x^{2} - 3 x - 20 = x^{2} + 34$ ‍

Намери решенията на уравнението.

$3 x^{2} + 33 x + 30 = 0$ ‍

Намери решенията на уравнението.

$3 x^{2} - 9 x - 20 = x^{2} + 5 x + 16$ ‍

\begin{aligned} 3 x^{2} - 9 x - 20 & = x^{2} + 5 x + 16 \\ 3 x^{2} - 9 x - 20 - x^{2} - 5 x - 16 & = 0 & Извади (x^{2} + 5 x + 16) . \\ 2 x^{2} - 14 x - 36 & = 0 & Обедини подобните членове. \\ x^{2} - 7 x - 18 & = 0 & Раздели на 2. \\ (x + 2) (x - 9) & = 0 & Разложи на множители. \end{aligned}

$\begin{aligned} ↙ & ↘ \\ x + 2 & = 0 & x - 9 & = 0 \\ x & = - 2 & x & = 9 \end{aligned}$ ‍

В заключение решенията са $x = - 2$ ‍ и $x = 9$ ‍.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

7. клас (България)

Курс: 7. клас (България) > Раздел 4

Какво трябва да знаеш, преди да започнеш този урок

Какво ще научиш в този урок

Решаване на квадратни уравнения в разложен вид

Въпрос за размисъл

Бележка за свойството на нулевото произведение

Решаване чрез разлагане

Реши x2+5x=0‍ .

Реши x2−11x+28=0‍ .

Реши 4x2+4x+1=0‍ .

Реши 3x2+11x−4=0‍ .

Подреждане на уравнението преди разлагане

Една от страните трябва да бъде нула.

Премахване на общите множители

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Реши $x^{2} + 5 x = 0$ ‍.

Реши $x^{2} - 11 x + 28 = 0$ ‍.

Реши $4 x^{2} + 4 x + 1 = 0$ ‍.

Реши $3 x^{2} + 11 x - 4 = 0$ ‍.