Основно съдържание

Курс: 8. клас (България) > Раздел 6

Урок 5: Вписани ъгли

Доказване на теоремата за вписан ъгъл

Доказване на това, че вписаният ъгъл е половината от централния ъгъл, който отговаря на същата дъга.

Започваме

Преди да започнем да говорим за доказателството, нека се уверим, че разбираме някои от особените термини, свързани с окръжностите.

Ето едно кратко упражнение, за да провериш, дали можеш да използваш термините самостоятелно:

Използвайки чертежа, свържи променливите с членовете.

1

Един ъгъл е

централен ъгъл

, когато върхът му е центърът на окръжността, като

θ

, показан на чертежа.

Един ъгъл е

вписан ъгъл

, когато върхът му лежи на окръжността, като

ψ

, показан на чертежа.

Лъчите на вписания и централния ъгъл отсичат част от обиколката на окръжността. Наричаме тази част от обиколката

отсечената дъга

Добра работа! Ще използваме тези членове до края на упражнението.

Какво ще докажем

Ще докажем, че нещо много интересно се случва, когато даден вписан ъгъл

(ψ)

и даден централен ъгъл

(θ)

отсичат една и съща дъга: Мярката на централния ъгъл е два пъти мярката на вписания ъгъл.

θ = 2 ψ

Преглед на доказателството

За да докажем, че

θ = 2 ψ

за всички

θ

ψ

(както ги определихме по-горе), трябва да разгледаме три отделни случая:

Случай A	Случай B	Случай C

Заедно тези случаи важат за всички възможни ситуации, при които вписаният и централният ъгъл отсичат една и съща дъга.

Случай A: Диаметърът лежи по дължината на един от лъчите на вписания ъгъл, $ψ$ ‍.

Стъпка 1: Намери равнобедрените триъгълници.

Отсечки

\overset{―}{B C}

\overset{―}{B D}

са и двете радиуси, така че имат еднаква дължина. Това означава, че

△ C B D

е равнобедрен, което означава също, че ъглите в основата му са еднакви:

m ∠ C = m ∠ D = ψ

Стъпка 2: Намери правия ъгъл.

Ъгъл

∠ A B C

е прав ъгъл, така че

\begin{aligned} θ + m ∠ D B C & = 180^{\circ} \\ m ∠ D B C & = 180^{\circ} - θ \end{aligned}

Стъпка 3: Състави уравнение и намери $ψ$ ‍.

Вътрешните ъгли на

△ C B D

са

ψ

ψ

(180^{\circ} - θ)

, а ние знаем, че вътрешните ъгли на всеки триъгълник имат сбор от

180^{\circ}

\begin{aligned} ψ + ψ + (180^{\circ} - θ) & = 180^{\circ} \\ 2 ψ + 180^{\circ} - θ & = 180^{\circ} \\ 2 ψ - θ & = 0 \\ 2 ψ & = θ \end{aligned}

Чудесно. Завършихме доказателството на Случай A. Останаха само още два случая!

Случай B: Диаметърът е между лъчите на вписания ъгъл, $ψ$ ‍.

Стъпка 1: Постъпи умно и начертай диаметъра

Използвайки диаметъра, нека разделим

ψ

на

ψ_{1}

ψ_{2}

, а

θ

на

θ_{1}

, и

θ_{2}

, както следва:

Стъпка 2: Използвай това, което научихме от Случай A, за да съставиш две уравнения.

На новия чертеж диаметърът разделя окръжността на две половини. Всяка половина има вписан ъгъл с лъч върху диаметъра. Това е същата ситуация, както в Случай A, така че знаем, че

(1) θ_{1} = 2 ψ_{1}

(2) θ_{2} = 2 ψ_{2}

заради това, което научихме в Случай A.

Стъпка 3: Събери уравненията.

\begin{aligned} θ_{1} + θ_{2} & = 2 ψ_{1} + 2 ψ_{2} & Прибави (1) и (2) \\ (θ_{1} + θ_{2}) & = 2 (ψ_{1} + ψ_{2}) & Групирай променливите \\ θ & = 2 ψ & θ = θ_{1} + θ_{2} и ψ = ψ_{1} + ψ_{2} \end{aligned}

Случай B е готов. Остана само още един случай!

Случай C: Диаметърът е извън лъчите на вписания ъгъл.

Стъпка 1: Постъпи умно и начертай диаметъра

Използвайки диаметъра, нека образуваме два нови ъгъла:

θ_{2}

ψ_{2}

, както следва:

Стъпка 2: Използвай това, което научихме от Случай A, за да съставиш две уравнения.

Подобно на това, което направихме в Случай B, направихме чертеж, който ни позволява да използваме наученото от Случай A. От този чертеж знаем следното:

(1) θ_{2} = 2 ψ_{2}

(2) (θ_{2} + θ) = 2 (ψ_{2} + ψ)

Стъпка 3: Замести и опрости.

\begin{aligned} (θ_{2} + θ) & = 2 (ψ_{2} + ψ) & (2) \\ (2 ψ_{2} + θ) & = 2 (ψ_{2} + ψ) & θ_{2} = 2 ψ_{2} \\ 2 ψ_{2} + θ & = 2 ψ_{2} + 2 ψ \\ θ & = 2 ψ \end{aligned}

И сме готови! Доказахме, че

θ = 2 ψ

във всичките три случая.

Резюме на това, което направихме

Опитахме се да докажем, че мярката на централния ъгъл е два пъти мярката на вписания ъгъл, когато двата ъгъла отсичат една и съща дъга.

Започнахме доказателството, установявайки три случая. Заедно тези случаи важат за всички възможни ситуации, при които вписан ъгъл и централен ъгъл отсичат една и съща дъга.

Случай A	Случай B	Случай C

В Случай A намерихме равнобедрен триъгълник и прав ъгъл. От това съставихме няколко уравнения, като използвахме

ψ

θ

. С помощта на малко алгебрични изчисления доказахме, че

θ = 2 ψ

В случаи B и C въведохме умело диаметъра:

Случай B	Случай C

Това прави възможно да използваме резултата от Случай A, който разгледахме. И в Случай B, и в Случай C съставихме уравнения, свързващи променливите във фигурите, което беше възможно само заради това, което научихме в Случай A. След като съставихме уравнението, извършихме малко алгебрични изчисления, за да покажем, че

θ = 2 ψ

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

8. клас (България)

Курс: 8. клас (България) > Раздел 6

Започваме

Какво ще докажем

Преглед на доказателството

Случай A: Диаметърът лежи по дължината на един от лъчите на вписания ъгъл, ψ‍ .

Стъпка 1: Намери равнобедрените триъгълници.

Стъпка 2: Намери правия ъгъл.

Стъпка 3: Състави уравнение и намери ψ‍ .

Случай B: Диаметърът е между лъчите на вписания ъгъл, ψ‍ .

Стъпка 1: Постъпи умно и начертай диаметъра

Стъпка 2: Използвай това, което научихме от Случай A, за да съставиш две уравнения.

Стъпка 3: Събери уравненията.

Случай C: Диаметърът е извън лъчите на вписания ъгъл.

Стъпка 1: Постъпи умно и начертай диаметъра

Стъпка 2: Използвай това, което научихме от Случай A, за да съставиш две уравнения.

Стъпка 3: Замести и опрости.

Резюме на това, което направихме

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Случай A: Диаметърът лежи по дължината на един от лъчите на вписания ъгъл, $ψ$ ‍.

Стъпка 3: Състави уравнение и намери $ψ$ ‍.

Случай B: Диаметърът е между лъчите на вписания ъгъл, $ψ$ ‍.