Пример: дефиниционно множество на алгебрични функции

Нека видим още няколко примера за намиране на дефиниционното множество на функции. Имаме функция g(x). Определението за функция тук ни казва, че за аргумент x стойността на функцията g(x) = 1 върху корен квадратен от (6 минус... Ще го напиша малко по-ясно. 1 върху корен квадратен от (6 – |х|). Спри видеото на пауза и виж дали можеш да намериш дефиниционното множество на тази функция. Въз основа на определението на функцията какво е дефиниционното множество на g? Какво е множеството от всички аргументи, за които функцията е определена? За да намерим всички аргументи, които ще направят тази функция определена, може да е по-лесно да установим кога тази функция не е определена. Ако разделим на 0, тогава тя няма да е определена. Или ако имаме минус под знака за корен. Ако това, което имаме под знака за корен, е 0 или е отрицателно число. Ако е 0 можеш да получиш корен от 0. Той е 0. Но тогава трябва да разделиш на нула и това ще бъде неопределено. И ако числото под корена е отрицателно, коренът не е определен за отрицателно число, поне традиционният корен не е определен за отрицателно число. Следователно, когато 6 – |х| е нула или отрицателно, това нещо няма да бъде определено. Друг начин да го разглеждаме е, че това ще бъде определено, g е определена, ако 6 минус... Може би мога да го напиша ако и само ако. Понякога хората пишат ако и само ако с две букви f тук, iff (ако). g е определена, ако и само ако – това е един математически начин да кажем "ако и само ако"... 6 – |х| е по-голямо от 0, то трябва да бъде положително число. Ако е нула, ще имаме корен квадратен от 0 е 0. След това разделяш на 0. Това е неопределено. Ако е по-малко от нула, се опитваш да намериш корен от отрицателно число, което не е определено. И така, да видим: g е определена ако и само ако това е вярно. Можем да прибавим абсолютната стойност на х към двете страни. Можем да прибавим абсолютната стойност на х към двете страни и тогава това ще ни даде 6 е по-голямо от |х|, или |х| е по-малка от 6. Или бихме могли да кажем, че... сещаш се, нека го напиша по този начин. |х| е по-малка от 6. Друг начин да го кажем е, че х трябва да е по-малко от 6 и по-голямо от –6. Или х е между –6 и 6. Тези две неща са еквивалентни. Ако |х| е по-малка от 6, тогава х ще е по-голямо от –6 и по-малко от + 6. Ако искаме да напишем дефиниционното множество с малко по-модерно обозначение, можем да напишем, че дефиниционното множество на g ще бъде всички х, които принадлежат към реалните числа, при които –6 е по-малко от х, което е по-малко от 6. И сме готови. Нека направим още една. И тя ще бъде дори малко по-сложна, просто за отскок. Да кажем, че имаме h(х) е равно на... Ще имам един вид сложно определение тук. Да кажем, че (х + 10)/(х + 10)(x – 9)(x – 5) и това е ако... h(х) е такова, ако х не е равно на 5, и е равно на числото пи, ако х = 5 Още веднъж – спри видеото. Помисли върху това какво е дефиниционното множество на h или погледнато по друг начин, какво прави h да е неопределена? Нека помислим. Кое ще направи функция h неопределена? Ако х е всичко, различно от 5 –тръгваме от това условие. Според това условие тук горе, кое ще направи това нещо неопределено? Най-очевидното нещо е, ако разделим на 0. До какво ще доведе деленето на 0? Ако х е равно на... Нека го напиша тук – ще разделим на 0. Това ще се случи, ако х е равно на 9. Това ще се случи, ако х е равно на –10. Сега трябва да внимаваме, ще се случи ли това, ако това беше единственото определение тук? Щеше ли да се случи, ако х е равно на 5? Не забравяй, че за х = 5 не гледаме тази част от условието, а гледаме тази част. Вярно е, че тук горе щеше да делиш на 0, ако х = 5. Но за х = 5 дори нямаше да погледнеш там. За аргумент равен на 5 използваш тази част от определението. Така че ще разделиш на 0. Може би трябваше да го напиша по този начин – делено на 0. Предполагам, че можеш да кажеш от горното условие или от горната част от определението. Ако х = 9 и х = –10. И това е всичко, тъй като х = 5 не се отнася за тази горната част. Ако това условие не беше тук, тогава да, щеше да напишеш х равно на 5. Почти сме готови. Но някой може да каже: "А не мога ли да опростя това? Имам (х + 10) в числителя и (х + 10) в знаменателя. Не мога ли просто да го опростя и това ще изчезне?" Ако го направиш, тогава създаваш различно определение за функцията. Защото ако опростиш това, ти просто казваш 1/(х – 9)(х – 5) Това сега е различна функция. Тя всъщност ще бъде определена при х = –10. Но тази, с която започнахме, не е. Тук ще получиш накрая 0 върху 0. Накрая ще получиш тази неопределена форма. Така че за тази функция, точно по начина по който е написана, няма да бъде определена, когато х е равно на 9 или х е равно на –10. Още веднъж, ако искаш да го напишеш по нашия модерен начин за дефиниционно множество. Дефиниционното множество ще бъде всички х, които принадлежат към реалните числа, при които х не е равно на 9 и х не е равно на –10. Всяко друго реално число х ще става, включително 5. Ако х е равно на 5, h(5) ще бъде равно на пи, защото не е изпълнено това тук. h(5), т.е. х е равно на 5, правим това там. Но ако сложиш х = 9, ще трябва да разделиш на 0. Ако х = –10, ще трябва да разделиш на 0, но това ще става за всичко останало. Така че това тук е дефиниционното множество.