Основно съдържание

Курс: 9. клас (България) > Раздел 4

Урок 6: Решаване на системи линейни уравнения чрез събиране.

Системи от уравнения с елиминиране

Разглеждане на примери за решаване на системи от уравнения с елиминиране.

В тази статия ще разгледаме как се решават системи от линейни уравнения с така наречения метод на елиминиране. Първо трябва да разберем, че няма проблем да съберем уравненията едно с друго.

Ключова идея: Всеки път, когато имаме две верни уравнения или равенства, можем да ги съберем или извадим, за да образуваме друго вярно уравнение или равенство.

Например ето две много прости верни равенства:

$2 = 2$ ‍
$5 = 5$ ‍

Можем да съберем тези равенства, за да образуваме друго вярно равенство:

$\begin{aligned} 2 & = 2 \\ + 5 & = 5 \\ 7 & = 7 \end{aligned}$ ‍

Или можем да извадим тези равенства, за да образуваме друго вярно равенство:

$\begin{aligned} 2 & = 2 \\ - 5 & = 5 \\ - 3 & = - 3 \end{aligned}$ ‍

Ето друг пример с по-сложни уравнения:

$\begin{aligned} 2 x + 3 & = 7 \\ + 4 x + 1 & = 9 \\ 6 x + 4 & = 16 \end{aligned}$ ‍

Чудесно! Сега като виждаме, че няма проблем да събираме или изваждаме уравненията, можем да преминем към решаването на система от уравнения, като използваме метода на елиминиране.

Решаване на система от уравнения чрез метода на елиминиране

Ще решим тази система от уравнения като пример:

$x + 3 y = 8 Уравнение 1$ ‍

$4 x - 3 y = 17 Уравнение 2$ ‍

Трудното нещо при решаването е, че има две променливи

x

y

. Ако можехме да се отървем от едната променлива...

Ето една идея! Нека съберем двете уравнения, за да съкратим променливата

y

$\begin{aligned} x + 3 y & = 8 \\ + 4 x - 3 y & = 17 \\ 5 x + 0 & = 25 \end{aligned}$ ‍

Брилянтно! Сега имаме едно уравнение само с променливата

x

, което знаем как да решим:

$\begin{aligned} 5 x + 0 & = 25 \\ 5 x & = 25 \\ x & = 5 & Раздели всяка страна на 5 \end{aligned}$ ‍

Екстра! Нека използваме първото уравнение, за да намерим

y

, когато

x

е равно на

5

$\begin{aligned} x + 3 y & = 8 & Уравнение 1 \\ 5 + 3 y & = 8 & Замести х с 5 \\ 3 y & = 3 & Извади 5 от всяка страна \\ y & = 1 & Раздели всяка страна на 3 \end{aligned}$ ‍

Чудесно! Следователно решението на системата от уравнения е

(5; 1)

Използвай метода на елиминиране, за да решиш следната система от уравнения.

$4 y - 2 x = 4$ ‍

$5 y + 2 x = 23$ ‍

x =

y =

Нека съберем тези две уравнения, за да се отървем от променливата

x

$\begin{aligned} 4 y - 2 x & = 4 \\ + 5 y + 2 x & = 23 \\ 9 y + 0 & = 27 \end{aligned}$ ‍

Сега имаме уравнение само с променливата

y

, което знаем как да решим:

$\begin{aligned} 9 y + 0 & = 27 \\ 9 y & = 27 \\ y & = 3 & Раздели всяка страна на 9 \end{aligned}$ ‍

Нека използваме второто уравнение, за да намерим колко е

x

, когато

y

е равно на

3

$\begin{aligned} 5 y + 2 x & = 23 & Уравнение 2 \\ 5 (3) + 2 x & = 23 & Замести у с 3 \\ 15 + 2 x & = 23 \\ 2 x & = 8 & Извади 15 от всяка страна \\ x & = 4 & Раздели всяка страна на 4 \end{aligned}$ ‍

Умножаване на едното от уравненията по някаква константа и след това използване на метода на елиминиране

Последният пример се получи добре, защото се отървахме от променливата

y

, когато събрахме уравненията. Понякога не е чак толкова лесно.

Използвай тази система от уравнения като пример:

$6 x + 5 y = 28 Уравнение 1$ ‍

$3 x - 4 y = 1 Уравнение 2$ ‍

Ако съберем тези уравнения, нито променливата

x

, нито променливата

y

ще бъде елиминирана, така че това няма да ни свърши работа. Ето стъпките за задачи като тази:

Стъпка 1: Умножи едното от уравненията по някаква константа, за да можем да се отървем от едната променлива, когато го съберем с другото уравнение.

$\begin{aligned} - 2 (3 x - 4 y) & = - 2 (1) & Умножи второто уравнение по - 2 \\ - 6 x + 8 y & = - 2 & Опрости, за да получиш ново уравнение \end{aligned}$ ‍

Стъпка 2: Прибави новото уравнение към уравнението, което не използвахме в стъпка 1, за да елиминираш една от променливите.

$\begin{aligned} 6 x + 5 y & = 28 & Уравнение 1 \\ + - 6 x + 8 y & = - 2 & Новото уравнение \\ 13 y & = 26 \end{aligned}$ ‍

Стъпка 3: Намери колко е $y$ ‍.

$\begin{aligned} 13 y & = 26 \\ y & = 2 & Раздели двете страни на 13 \end{aligned}$ ‍

Стъпка 4: Замести с $y = 2$ ‍ в едно от първоначалните уравнения и намери колко е $x$ ‍.

$\begin{aligned} 3 x - 4 y & = 1 & Уравнение 2 \\ 3 x - 4 (2) & = 1 & Замести у с 2 \\ 3 x - 8 & = 1 \\ 3 x & = 9 & Прибави 8 към всяка страна \\ x & = 3 & Раздели всяка страна на 3 \end{aligned}$ ‍

Следователно решението е

(3; 2)

Използвай метода на елиминиране, за да решиш следната система от уравнения.

$8 x + 14 y = 12$ ‍

$- 6 x - 7 y = - 16$ ‍

x =

y =

Ето какво получаваме, ако оставим първото уравнение както си е и умножим второто уравнение по

2

$8 x + 14 y = 12$ ‍

$- 12 x - 14 y = - 32$ ‍

Сега нека съберем тези уравнения:

$- 4 x = - 20$ ‍

Намираме

x

$x = 5$ ‍

Въведи го в едно от първоначалните уравнения и намери

y

$8 x + 14 y = 12$ ‍

$8 (5) + 14 y = 12$ ‍

$40 + 14 y = 12$ ‍

$14 y = - 28$ ‍

$y = - 2$ ‍

Отговор:

$x = 5$ ‍

$y = - 2$ ‍

Умножаване на двете уравнения по някаква константа и след това използване на метода на елиминиране

Понякога ще трябва да умножим двете уравнения по някаква константа, когато използваме метода на елиминиране.

Например разгледай тази система от уравнения:

$5 x + 3 y = 14 Уравнение 1$ ‍

$3 x + 2 y = 8 Уравнение 2$ ‍

Ето стъпките за решаване на една система от уравнения като тази:

Стъпка 1: Умножи всяко уравнение по някаква константа, за да можем да елиминираме едната променлива.

$5 x + 3 y = 14 \Rightarrow Умножи по 2 \Rightarrow 10 x + 6 y = 28$ ‍

$3 x + 2 y = 8 \Rightarrow Умножи по 3 \Rightarrow 9 x + 6 y = 24$ ‍

Стъпка 2: Обедини новите уравнения, за да елиминираш едната променлива.

$\begin{aligned} 10 x + 6 y & = 28 \\ 9 x + 6 y & = 24 \\ x + 0 & = 4 & Извади уравненията \end{aligned}$ ‍

Стъпка 3: Замести с $x = 4$ ‍ в едно от първоначалните уравнения и намери $y$ ‍.

$\begin{aligned} 3 x + 2 y & = 8 & Уравнение 2 \\ 3 (4) + 2 y & = 8 & Замести х с 4 \\ 12 + 2 y & = 8 \\ 2 y & = - 4 & Извади 12 от всяка страна \\ y & = - 2 & Раздели всяка страна на 2 \end{aligned}$ ‍

Следователно решението е

(4; - 2)

Използвай метода на елиминиране, за да решиш следната система от уравнения.

$5 x + 4 y = - 14$ ‍

$3 x + 6 y = 6$ ‍

x =

y =

Ето какво получаваме, когато умножим първото уравнение по

3

, а второто уравнение по

5

$15 x + 12 y = - 42$ ‍

$15 x + 30 y = 30$ ‍

Сеа нека извадим тези уравнения:

$- 18 y = - 72$ ‍

Намери

y

$y = 4$ ‍

Замести го в едно от първоначалните уравнения и намери

x

$3 x + 6 y = 6$ ‍

$3 x + 6 (4) = 6$ ‍

$3 x + 24 = 6$ ‍

$3 x = - 18$ ‍

$x = - 6$ ‍

Отговор:

$x = - 6$ ‍

$y = 4$ ‍

Да се упражняваме малко!

1) Използвай метода на елиминиране, за да решиш следната система от уравнения.

$3 y + x = 7$ ‍

$2 y - x = - 2$ ‍

x =

y =

2) Използвай метода на елиминиране, за да решиш следната система от уравнения.

- 7 y - 4 x = 1

7 y - 2 x = 53

x =

y =

3) Използвай метода на елиминиране, за да решиш следната система от уравнения.

$- 9 y + 4 x - 20 = 0$ ‍

$- 7 y + 16 x - 80 = 0$ ‍

x =

y =

Ето какво получаваме, когато умножим първото уравнение по

- 4

и оставим второто уравнение както си е

$36 y - 16 x + 80 = 0$ ‍

$- 7 y + 16 x - 80 = 0$ ‍

Сега нека съберем тези уравнения:

$29 y = 0$ ‍

Намери

y

$y = 0$ ‍

Замести го в едно от първоначалните уравнения и намери

x

$- 7 y + 16 x - 80 = 0$ ‍

$- 7 (0) + 16 x - 80 = 0$ ‍

$16 x - 80 = 0$ ‍

$16 x = 80$ ‍

$x = 5$ ‍

Отговор:

$x = 5$ ‍

$y = 0$ ‍

4) Използвай метода на елиминиране, за да решиш следната система от уравнения.

$3 x - 11 y = - 1$ ‍

$2 x - 5 y = - 3$ ‍

x =

y =

Ето какво получаваме, когато умножим първото уравнение по

2

, а второто уравнение по

- 3

$6 x - 22 y = - 2$ ‍

$- 6 x + 15 y = 9$ ‍

Сега нека съберем тези уравнения:

$- 7 y = 7$ ‍

Намери

y

$y = - 1$ ‍

Замести го в едно от първоначалните уравнения и намери

x

$2 x - 5 y = - 3$ ‍

$2 x - 5 (- 1) = - 3$ ‍

$2 x + 5 = - 3$ ‍

$2 x = - 8$ ‍

$x = - 4$ ‍

Отговор:

$x = - 4$ ‍

$y = - 1$ ‍

Задача с повишена трудност

Едно училище продава билети за една игра. През първия ден от продажбата училището е продало

6

билета за възрастни и

10

ученически билета с обща стойност

140

долара. През втория ден от продажбата училището е продало

7

билета за възрастни и

3

ученически билета на обща стойност

94

долара.

Напиши и реши система от уравнения, за да намериш каква е цената на билет за възрастен и каква е цената на ученически билет.

Цената за един билет за възрастен е

долара.

Цената на един ученически билет е

долара.

Нека

x

представлява цената на един билет за възрастен, а

y

представлява цената на един ученически билет.

Имайки информацията от задачата, можем да напишем система от две уравнения:

$6 x + 10 y = 140$ ‍

$7 x + 3 y = 94$ ‍

Сега би трябвало да можеш да решиш тази система от уравнения!

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.