Системи от втора степен: и двете променливи са повдигнати на квадрат

Какви са решенията на системата от уравнения у = 1/2х и 2х^2 – у^2 = 7. Казано е решенията, защото тези две уравнения, ако ги разглеждаме като две криви, могат много добре да се пресекат една с друга два пъти. Да видим какво се случва тук. Имаме у = 1/2х и 2х^2 – у^2 = 7. Най-добрият начин да започнем, е просто да се опитаме да заместим с едното условие в другото или да заместим едното уравнение в другото. Изглежда по-лесно да заместим у с 1/2х в това уравнение, защото тук вече имаме у, изразено чрез х. Тук е много по-трудно да намерим х или у, така че нека го направим. Навсякъде, където виждаме у, ще го заместим с това, това у трябва също да бъде равно на 1/2х и после да видим дали можем да намерим х. В това уравнение имаме 2х^2 минус у^2. Но сега казваме също, че у е равно и на 1/2х. Като това цялото е равно на 7. Сега да видим дали можем да намерим х, като извършим няколко алгебрични действия. Получаваме 2х^2 минус... 1/2 на квадрат е 1/4 и после имаме х на квадрат. Можем да кажем х^2 върху... нека го напиша като 1/4. Да кажем, че 1/4х^2 е равно на 7. Имам 2х^2 и изваждам от тях 1/4х^2, така че ще имам 1 и 3/4х^2. Или можеш да го разглеждаш като 8/4 – 1/4 е 7/4х^2. 7/4х^2 е равно на 7. Умножаваме двете страни по реципрочното на 7/4, така че имаме по 4/7. Умножаваме двете страни по 4/7. И получаваме х^2 = 4. х на квадрат е равно на 4. х може да бъде плюс или минус 2. То е плюс или минус корен квадратен от 4. х е равно на плюс или минус корен квадратен от 4. х е равно на плюс 2 или минус 2. Като знаем, че х е плюс или минус 2, нека го заместим обратно в едно от тези уравнения, за да намерим колко е у, какво е съответното у за всяко от тези. Ако х е 2, у ще бъде 1/2 от това. То ще бъде 1. Следователно имаме точката (2; 1). Тук просто казах: виж, х е 2. 1/2 по 2 е 1. Ако х е –2, тогава у ще бъде 1/2 по –2, което ще бъде –1. И те и двете определено удовлетворяват това първо условие. Като можеш да провериш, че те също така удовлетворяват и второто условие тук. 2 по 2 на квадрат е... 2 на квадрат е 4, 2 по 4 е 8. –1 на квадрат е 7. 2 по –2 на квадрат е... цялото това нещо ще бъде 8. Минус –1 на квадрат е равно на 7. Така че решенията на системата от уравнения е: едното е (2 ; 1). х е 2, у е 1. Другото е ( –2; –1). х е –2, а у е –1.