Основно съдържание

Курс: Основи на алгебрата > Раздел 7

Урок 6: Разлагане на квадратни изрази - 2

Разлагане чрез групиране

Научи повече за метода на разлагане, наречен "групиране". Например можем да използваме групиране, за да запишем 2x²+8x+3x+12 като (2x+3)(x+4).

Какво трябва да знаеш за този урок

Разлагането на един многочлен представлява неговото представяне като произведение от два или повече многочлена. Това е обратното на умножаването на многочлени.

Вече видяхме няколко примера на разлагане. Но за този урок трябва да познаваш много добре намирането на общи делители чрез използване на разпределителното свойство. Например

6 x^{2} + 4 x = 2 x (3 x + 2)

Какво ще научиш в този урок

В този урок ще научиш как да използваш метода на разлагане, наречен групиране.

Пример 1: Разлагане на $2 x^{2} + 8 x + 3 x + 12$ ‍

Първо, обърни внимание, че няма делител, общ за всички членове на

2 x^{2} + 8 x + 3 x + 12

. Въпреки това, ако групираме заедно първите два члена и последните два члена, всяка група има свой собствен НОД, или най-голям общ делител:

По-точно в първата група има НОД, равен на

2 x

, а във втората група има НОД, равен на

3

. Можем да изнесем тези делители, за да получим следния израз:

$2 x (x + 4) + 3 (x + 4)$ ‍

За да разложим

2 x

от

2 x^{2} + 8 x

, можем да разделим всеки член на

2 x

Първият член е: $\frac{2 x^{2}}{2 x} = x$ ‍
Вторият член е: $\frac{8 x}{2 x} = 4$ ‍

Така

2 x^{2} + 8 x = 2 x (x + 4)

За да изнесем

3

от

3 x + 12

, разделяме всеки член на

3

Първият член е: $\frac{3 x}{3} = x$ ‍
Втория член е: $\frac{12}{3} = 4$ ‍

Така

3 x + 12 = 3 (x + 4)

Следователно

2 x^{2} + 8 x + 3 x + 12 = 2 x (x + 4) + 3 (x + 4)

. Една бърза проверка чрез умножение може да потвърди, че общите делители са били разложени правилно.

Обърни внимание, че това показва още един общ делител между двата члена:

x + 4

. Можем да използваме разпределителното свойство, за да изнесем този общ делител.

Тъй като многочленът сега е изразен като произведение на два двучлена, той е в разложен вид. Можем да проверим своята работа чрез умножение и сравнение с първоначалния многочлен.

Пример 2: Разлагане на $3 x^{2} + 6 x + 4 x + 8$ ‍

Нека да обобщим направеното по-горе, като разложим друг многочлен.

\begin{aligned} 3 x^{2} + 6 x + 4 x + 8 \\ = (3 x^{2} + 6 x) + (4 x + 8) & Групирай членовете \\ = 3 x (x + 2) + 4 (x + 2) & Намери НОД \\ = 3 x (x + 2) + 4 (x + 2) & Общ делител! \\ = (x + 2) (3 x + 4) & Изнеси x + 2 \end{aligned}

Разложеният вид е

(x + 2) (3 x + 4)

Провери знанията си

1) Разложи $9 x^{2} + 6 x + 12 x + 8$ ‍.

2) Разложи $5 x^{2} + 10 x + 2 x + 4$ ‍.

3) Разложи $8 x^{2} + 6 x + 4 x + 3$ ‍.

Пример 3: Разлагане на $3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8$ ‍

Когато методът на групиране се използва за разлагане на многочлени с отрицателни коефициенти трябва да се внимава повече.

Например за разлагане на

3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8

може да се използват стъпките по-долу.

\begin{aligned} 3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8 \\ (1) & = (3 x^{2} - 6 x) + (- 4 x + 8) & Групирай членовете \\ (2) & = 3 x (x - 2) + (- 4) (x - 2) & Намери НОД \\ (3) & = 3 x (x - 2) - 4 (x - 2) & Опрости \\ (4) & = 3 x (x - 2) - 4 (x - 2) & Общ делител! \\ (5) & = (x - 2) (3 x - 4) & Изнеси x - 2 \end{aligned}

Разложеният вид на многочлена е

(x - 2) (3 x - 4)

. Можем да умножим двучлените, за да проверим своята работа.

Някои от горните стъпки може да изглеждат по-различно от това, което видя в първия пример, така че може да имаш въпроси.

Откъде дойде знакът "+" между групите?

В стъпка

(1)

един знак „+“ е добавен между групите

(3 x^{2} - 6 x)

(- 4 x + 8)

. Това е така, защото третият член

(- 4 x)

е отрицателен и знакът на члена трябва да бъде включен в групирането.

Изваждането на знака минус извън втората група е сложна работа. Например често срещана грешка е това да групираме

3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8

като

(3 x^{2} - 6 x) - (4 x + 8)

. Но това групиране води до

3 x^{2} - 6 x - 4 x - 8

, което не е същото като първоначалния израз.

Защо изнасяме $- 4$ ‍ вместо $4$ ‍?

В стъпка

(2)

изнесохме

- 4

, за да разкрием общ делител на

(x - 2)

между членовете. Ако вместо това бяхме изнесли положително

4

, нямаше да получим този общ двучленен делител, който виждаме по-горе:

$\begin{aligned} (3 x^{2} - 6 x) + (- 4 x + 8) & = 3 x (x - 2) + 4 (- x + 2) \end{aligned}$ ‍

Когато водещият член в една група е отрицателен, често трябва да изнесем отрицателен общ делител.

Провери знанията си

4) Разложи $2 x^{2} - 3 x - 4 x + 6$ ‍.

\begin{aligned} 2 x^{2} - 3 x - 4 x + 6 \\ = (2 x^{2} - 3 x) + (- 4 x + 6) & Групирай членовете \\ = x (2 x - 3) + (- 2) (2 x - 3) & Намери НОД \\ Разложи - 2 от 2 -ата група \\ тъй като водещият член е отрицателен. \\ = x (2 x - 3) - 2 (2 x - 3) & Опрости \\ = x (2 x - 3) - 2 (2 x - 3) & Общ делител! \\ = (2 x - 3) (x - 2) & Изнеси 2 x - 3 \end{aligned}

Разложеният вид е

(2 x - 3) (x - 2)

5) Разложи $3 x^{2} + 3 x - 10 x - 10$ ‍.

6) Разложи $3 x^{2} + 6 x - x - 2$ ‍.

Задача за упражнение

7*) Разложи $2 x^{3} + 10 х^{2} + 3 x + 15$ ‍ .

Кога можем да използваме този метод на групиране?

Методът на групирането може да се използва за разлагане на многочлени, винаги когато между групите съществува общ делител.

Например можем да използваме метода на групиране, за да разложим

3 x^{2} + 9 x + 2 x + 6

, тъй като той може да бъде записан както следва:

$\begin{aligned} (3 x^{2} + 9 x) + (2 x + 6) & = 3 x (x + 3) + 2 (x + 3) \end{aligned}$ ‍

Не можем обаче да използваме метода на групирането, за да разложим

2 x^{2} + 3 x + 4 x + 12

, защото намирането на НОД от двете групи не дава общ делител!

$\begin{aligned} (2 x^{2} + 3 x) + (4 x + 12) & = x (2 x + 3) + 4 (x + 3) \end{aligned}$ ‍

Използване на групиране при разлагане на тричлени

Можеш да използваш групиране, за да разлагаш определени квадратни изрази с три члена (т.е. тричлени) като

2 x^{2} + 7 x + 3

. Това е така, защото можеш да преобразуваш израза както следва:

$2 x^{2} + 7 x + 3 = 2 x^{2} + 1 x + 6 x + 3$ ‍

Тогава можеш да използваш групиране, за да разложиш

2 x^{2} + 1 x + 6 x + 3

като

(x + 3) (2 x + 1)

За повече информация за разлагането чрез метода на групиране на тричлени от втора степен като тези виж следващия ни урок.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Основи на алгебрата

Курс: Основи на алгебрата > Раздел 7

Какво трябва да знаеш за този урок

Какво ще научиш в този урок

Пример 1: Разлагане на 2x2+8x+3x+12‍

Пример 2: Разлагане на 3x2+6x+4x+8‍

Провери знанията си

Пример 3: Разлагане на 3x2−6x−4x+8‍

Провери знанията си

Задача за упражнение

Кога можем да използваме този метод на групиране?

Използване на групиране при разлагане на тричлени

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Пример 1: Разлагане на $2 x^{2} + 8 x + 3 x + 12$ ‍

Пример 2: Разлагане на $3 x^{2} + 6 x + 4 x + 8$ ‍

Пример 3: Разлагане на $3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8$ ‍