Предимства и недостатъци на линеен и експоненциален растеж: от данни (пример 2)

"Температурата на чаша топла вода, след като е поставена във фризер, е представена от следната таблица." Имаме времето в минути и после имаме съответната температура при различно време в минути. "Кой модел за С(t) – температурата на чаша вода t минути след като е сервирана – най-добре съвпада с данните?" Спри видеото на пауза и виж кой от тези модели най-добре съвпада с данните. Добре, нека сега решим това заедно. За да направим това, виждаме тези подточки. Някои от тях са експоненциални модели. Някои от тях са линейни модели. За да бъде един линеен модел добро описание, когато имаш фиксирана промяна във времето, трябва да имаш фиксирана промяна в температурата. Ако си имаш работа с експоненциален модел, тогава докато имаш фиксирана промяна във времето, трябва да променяш това със същия множител, тоест количеството, което променяш, от, да кажем, минута 1 до минута 2 или от минута 2 до минута 3, няма да е точно същото количество, но трябва да е със същия множител, с който започваш. Нека помислим за това. Тук промяната във времето е 2 минути. Каква е абсолютната промяна в температурата? Абсолютната ни промяна в температурата е -15,7. -15,7. И колко е, ако гледаме на това като умножение? С колко умножаваш 80, за да получиш 64,3? Мога да извадя калкулатор. 64,3 делено на 80 е равно на 0,8 и ще кажа приблизително 0,8. Тоест можем да умножим по 0,8. Това ще е приблизително изчисление. За да стигнем от 80 до 64,3 мога или да извадя 15,7 ако си имам работа с линеен модел, или мога да умножа по 0,8. Ако отново увелича времето си 2 пъти, преминавам от минута 2 до минута 4, тоест делта t е равно на 2, каква е абсолютната промяна тук? Това няма да е 12. Това ще е... умът ми не функционира на най-висока степен. Това беше 64,7 и тогава това ще е 12, но то е с 0,4 по-малко от това, така че е 11,6. -11,6. Но ако го разгледаш като умножение по нещо, приблизително по колко ще трябва да умножиш? Нека отново извадим калкулатора. Казах 52,7 делено на 64,3. Делено на 64,3 е равно на... това е около 0,82. Тоест по 0,82. Просто като гледам това, мога да продължа, но изглежда за дадената ни промяна във времето, абсолютната ми промяна в числото дори не е близо до една и съща стойност. Ако това беше 15,6 щях да си мисля, че може би има грешка. Данните, които събираш в реалния свят, никога няма да са перфектни. Това са модели, които се опитват да ни доближат до описването на данните. Но тук продължаваме да умножаваме по число приблизително равно на 0,8... прибизително 0,8. Сега може да ти се иска веднага да кажеш: "Добре, това означава, че С(t) ще е равно на първоначалната ни температура, 80 по 0,8 на степен броя изминали минути." Това е много изкушаващо и щеше да е вярно, ако това беше 1 минута и ако това беше 2 минути, но промяната ни в температурата всеки път е 2 минути, така че трябва да кажем – това е един начин да помислим върху това – отнема 2 минути за да имаме промяна от 0,8 или за да бъде умножено по 0,8. Истинският начин да опишем това ще е t върху 2. На всеки 2 минути... Когато t е 0, ще сме на 80. След 2 минути ще имаме 80 по 0,8 което е това, което имаме тук. След 4 минути това ще е 80 по 0,8^2. Всъщност нека се уверим, че това е вярно. Ако имах нещо такова... Така, t и С(t). Когато t е 0, С(t) е 80. Когато t е... нека запиша същите данни, които имаме тук. Когато t е 2, имаме 80 по – 2 върху 2 е 1 – тоест, 80 по 0,8 което е доста близо до това, което имаме тук. Когато t е 4, това ще е 80 по 0,8^2, което е доста близо до това, което имаме тук. Мога да го пресметна. Ако имам 0,8^2 по 80, 51,2... Доста близо. Това е доста добро приблизително изчисление. Доста добър модел. Харесвам този модел. Това не е точно една от подточките, така че как малко да променим това? Можем да си припомним, че това е същото нещо като 80 по 0,8 на степен 1/2, и после това на степен t. И колко е 0,8 на степен 1/2? Така, 0,8... Това е същото като да вземем корен квадратен от 0,8. Това е приблизително 0,89. Това е приблизително 80 по 0,89 на степен t. Ако погледнеш всички тези подточки, тази е доста близо до това. Този модел съвпада най-добре с данните, особено с дадените възможности, това е доста близо до модела, който току-що измислих. Сега, има друг начин да направим това, който може би щеше да е по-лесен. Предпочитам да го правя така, понеже дори ако нямам подточките, щяхме да стигнем до нещо логично. Друг начин да направим това е да си кажем: "80 е началното ни състояние. Всички тези, без значение дали говориш за експоненциални или линейни модели, започват с 80, когато t е равно на 0, но това очевидно не е линеен модел, понеже не променяме с дори приблизително същото количество всеки път, но изглежда на всеки 2 минути променяме с множител от 0,8." Тоест ще имаме експоненциален модел, така че си казваш, че ще е една от тези 2 подточки. Тази тук долу можеш да изключиш, понеже не променяме с множител 0,8 или 0,82 на всяка минута. Променяме с множител 0,81 на всеки 2 минути, така че можеше да изключиш това и после щеше да заключиш, че е това ето тук и можеше да си кажеш, че ако променяш с множител от 0,9 на всяка минута, тогава това щеше да е 0,81 на всеки 2 минути, което е доста близо до това, което виждаме тук, променяне с множител от около 0,8 или 0,81 на всеки 2 минути. Отново, ето защо предпочитаме тази първата подточка.