Основно съдържание

Курс: Алгебра (цялото съдържание) > Раздел 7

Урок 14: Комбиниране на функции чрез аритметични действия

Събиране и изваждане на функции

Виж как можем да съберем или извадим две функции, за да създадем нова функция.

По същия начин, по който събираме и изваждаме числа, можем да събираме или изваждаме функции. Ако имаме например функциите

f

g

, можем да образуваме две нови функции:

f + g

f - g

Събиране на две функции

Пример

Нека разгледаме един пример, за да видим как става това.

Като е дадено, че

f (x) = x + 1

g (x) = x^{2} - 2 x + 5

, намери

(f + g) (x)

Решение

Най-трудната част от комбинирането на функции чрез аритметични действия е разбирането на означението. Какво означава

(f + g) (x)

(f + g) (x)

просто означава да намерим сбора от

f (x)

g (x)

. На математически език това означава, че

(f + g) (x) = f (x) + g (x)

Сега това се превръща в позната задача.

\begin{aligned} (f + g) (x) & = f (x) + g (x) Определи. \\ = (x + 1) + (x^{2} - 2 x + 5) Замести. \\ = x + 1 + x^{2} - 2 x + 5 Премахни скобите. \\ = x^{2} - x + 6 Обедини подобните членове. \end{aligned}

Можем да видим това и представено графично:

Изображенията по-долу показват графиките на

y = f (x)

y = g (x)

y = (f + g) (x)

Можем да видим от първата графика, че

f (2) = 3

g (2) = 5

. От втората графика виждаме, че

(f + g) (2) = 8

Следователно

f (2) + g (2) = (f + g) (2)

, защото

3 + 5 = 8

Сега ти опитай. Убеди се, че

f (1) + g (1) = (f + g) (1)

Изчисли всеки от изразите.

f (1) =

g (1) =

(f + g) (1) =

Нека опитаме да решим няколко задачи за упражнение.

В задачи 1 и 2 нека

a (x) = 3 x^{2} - 5 x + 2

b (x) = x^{2} + 8 x - 10

Задача 1

Намери $(a + b) (x)$ ‍.

\begin{aligned} (a + b) (x) & = a (x) + b (x) Определи. \\ = (3 x^{2} - 5 x + 2) + (x^{2} + 8 x - 10) Замести. \\ = 3 x^{2} - 5 x + 2 + x^{2} + 8 x - 10 Премахни скобите. \\ = 4 x^{2} + 3 x - 8 Обедини подобните членове. \end{aligned}

Задача 2

Изчисли $(a + b) (- 1)$ ‍.

Има два начина да намерим

(a + b) (- 1)

Метод 1: Намери

(a + b) (x)

и го изчисли при

x = - 1

В последната задача намерихме, че

(a + b) (x) = 4 x^{2} + 3 x - 8

. Нека заместим с

x = - 1

$\begin{aligned} (a + b) (x) & = 4 x^{2} + 3 x - 8 \\ (a + b) (- 1) & = 4 (- 1)^{2} + 3 (- 1) - 8 \\ = 4 - 3 - 8 \\ = - 7 \end{aligned}$ ‍

Метод 2: Намери

a (- 1)

b (- 1)

и събери двата резултата.

Нека първо намерим колко е

a (- 1)

$\begin{aligned} a (x) & = 3 x^{2} - 5 x + 2 \\ a (- 1) & = 3 (- 1)^{2} - 5 (- 1) + 2 \\ = 3 + 5 + 2 \\ = 10 \end{aligned}$ ‍

Сега нека намерим

b (- 1)

$\begin{aligned} b (x) & = x^{2} + 8 x - 10 \\ b (- 1) & = (- 1)^{2} + 8 (- 1) - 10 \\ = 1 - 8 - 10 \\ = - 17 \end{aligned}$ ‍

Следователно получаваме, че:

$\begin{aligned} (a + b) (- 1) & = a (- 1) + b (- 1) \\ = 10 + (- 17) \\ = - 7 \end{aligned}$ ‍

Тъй като намерихме

(a + b) (x)

в последната задача, метод 1 може би е по-ефективен.

Изваждане на две функции

Изваждането на две функции става по подобен начин. Ето един пример:

Пример

p (t) = 2 t - 1

q (t) = - t^{2} - 4 t - 1

Нека намерим

(q - p) (t)

Решение

Отново най-сложната част тук е разбирането на означението. Но след като решихме примера със сбора,

(q - p) (t)

означава точно това, което си мислиш!

Според определението

(q - p) (t) = q (t) - p (t)

. Сега можем да решим задачата.

\begin{aligned} (q - p) (t) \\ = q (t) - p (t) Определи. \\ = (- t^{2} - 4 t - 1) - (2 t - 1) Замести. \\ = - t^{2} - 4 t - 1 - 2 t + 1 Разпредели отрицателния знак. \\ = - t^{2} - 6 t Обедини подобните членове. \end{aligned}

(q - p) (t) = - t^{2} - 6 t .

Нека опитаме да решим няколко задачи за упражнение.

Задача 3

j (n) = 3 n^{3} - n^{2} + 8

k (n) = - 8 n^{2} + 3 n - 5

Намери $(j - k) (n)$ ‍.

$\begin{aligned} (j - k) (n) & = j (n) - k (n) Определи. \\ = (3 n^{3} - n^{2} + 8) - (- 8 n^{2} + 3 n - 5) Замести. \\ = 3 n^{3} - n^{2} + 8 + 8 n^{2} - 3 n + 5 Разпредели отрицателния знак. \\ = 3 n^{3} + 7 n^{2} - 3 n + 13 Обедини подобните членове. \end{aligned}$ ‍

Задача 4

g (x) = 4 x^{2} - 7 x + 2

h (x) = 2 x - 5

Изчисли $(h - g) (3)$ ‍.

Има два начина да намерим

(h - g) (3)

Метод 1: Намери

h (3)

g (3)

и извади двата резултата.

Нека първо намерим колко е

h (3)

$\begin{aligned} h (x) & = 2 x - 5 \\ h (3) & = 2 (3) - 5 \\ = 1 \end{aligned}$ ‍

Сега нека намерим

g (3)

$\begin{aligned} g (x) & = 4 x^{2} - 7 x + 2 \\ g (3) & = 4 (3)^{2} - 7 (3) + 2 \\ = 36 - 21 + 2 \\ = 17 \end{aligned}$ ‍

Следователно имаме:

$\begin{aligned} (h - g) (3) & = h (3) - g (3) \\ = 1 - 17 \\ = - 16 \end{aligned}$ ‍

Метод 2: Намери

(h - g) (x)

и го изчисли при

x = 3

$\begin{aligned} (h - g) (x) & = (2 x - 5) - (4 x^{2} - 7 x + 2) \\ = 2 x - 5 - 4 x^{2} + 7 x - 2 \\ = - 4 x^{2} + 9 x - 7 \end{aligned}$ ‍

Когато

x = 3

, имаме:

$\begin{aligned} (h - g) (3) & = - 4 (3)^{2} + 9 (3) - 7 \\ = - 36 + 27 - 7 \\ = - 16 \end{aligned}$ ‍

Използвайки и двата метода виждаме, че

(h - g) (3) = - 16

Приложение

От един колеж твърдят, че броят на мъжете

M

и броят на жените

W

, които получават бакалавърска степен

t

години от 1980 насам, може да бъде представен чрез функциите

M (t) = 526 - t

и съответно

W (t) = 474 + 2 t

Нека

N

е общият брой на студентите, които получават бакалавърска степен в този колеж

t

години след 1980 г.

Напиши израз за $N (t)$ ‍.

N (t) =

Задача с повишена трудност

Графиките на

y = f (x)

y = g (x)

са показани в координатната система по-долу.

Коя е графиката на $y = (f + g) (x)$ ‍?

Да намерим

(f + g) (x)

за конкретна стойност на

x

. След това можем да използваме това, за да изберем вярната графика. Нека опитаме с

x = 4

\begin{aligned} (f + g) (4) & = f (4) + g (4) \\ = 4 + g (4) Тъй като f (4) = 4 \\ = 4 + 0 Тъй като g (4) = 0 \\ = 4 \end{aligned}

Следователно

(f + g) (4) = 4

, което означава, че графиката на

y = (f + g) (x)

трябва да минава през точката

(4; 4)

. Тъй като само графика

A

минава през

(4; 4)

, тя трябва да е вярната графика.

Горното обяснение беше дадено за

x = 4

, но можеш да мислиш по същия начин за всяка една стойност на

x

. Таблицата по-долу включва информация за други "хубави" стойности на

x

$x$ ‍	$f (x)$ ‍	$g (x)$ ‍	$(f + g) (x)$ ‍
$- 8$ ‍	$- 8$ ‍	$0$ ‍	$- 8$ ‍
$- 6$ ‍	$- 6$ ‍	$1$ ‍	$- 5$ ‍
$- 4$ ‍	$- 4$ ‍	$0$ ‍	$- 4$ ‍
$- 2$ ‍	$- 2$ ‍	$- 1$ ‍	$- 3$ ‍
$0$ ‍	$0$ ‍	$0$ ‍	$0$ ‍
$2$ ‍	$2$ ‍	$1$ ‍	$3$ ‍
$4$ ‍	$4$ ‍	$0$ ‍	$4$ ‍
$6$ ‍	$6$ ‍	$- 1$ ‍	$5$ ‍
$8$ ‍	$8$ ‍	$0$ ‍	$8$ ‍

Следователно графиката на функцията

y = (f + g) (x)

трябва да минава през точките

(- 8; - 8)

(- 6; - 5)

(- 4; - 4)

(- 2; - 3)

(0; 0)

(2; 3)

(4; 4)

(6; 5)

(8; 8)

. Това съответства на графика

A

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.